新高考数学二轮复习讲义第二十一讲空间向量在立体几何中的应用（含解析）

第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用【考点梳理】1.法向量的求解=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一个平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量SKIPIF1<0是平面的法向量，向量SKIPIF1<0是与平面平行或在平面内，则有SKIPIF1<0．第一步：写出平面内两个不平行的向SKIPIF1<0；第二步：那么平面法向量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．第三步：化解方程组令SKIPIF1<0其中一个为1，求其它两个值.2.判定直线、平面间的位置关系=1\*GB3①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．=2\*GB3②直线与平面的位置关系：直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3.平面与平面的位置关系平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．4.空间角公式．（1）异面直线所成角公式：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为异面直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的方向向量，SKIPIF1<0为异面直线所成角的大小，则SKIPIF1<0．（2）线面角公式：设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的斜线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小，则SKIPIF1<0．（3）二面角公式：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，二面角的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（需要根据具体情况判断相等或互补），其中SKIPIF1<0．5.点到平面的距离SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0外一点（如图），SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的斜线SKIPIF1<0及垂线SKIPIF1<0．SKIPIF1<0【典型题型讲解】考点一：直线与平面所成的角【典例例题】例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且SKIPIF1<0，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.【解析】(1)由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，E为CD的中点SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系.因为三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，SKIPIF1<0CD=12，AC=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设平面PAE的一个法向量为由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线EF与平面PAE所成的角为SKIPIF1<0SKIPIF1<0【方法技巧与总结】设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的斜线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小，则SKIPIF1<0．【变式训练】1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.(1)求证：AF⊥CD；(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.【解析】（1）连接EC，则△ABE､△BCE､△CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为面SKIPIF1<0面BCDE，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABE，所以SKIPIF1<0面BCDE，又因为SKIPIF1<0面BCDE，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知FB､FC､FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面ADE的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面AFC的法向量为SKIPIF1<0，设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为SKIPIF1<0.2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，五面体ABCDE的体积为SKIPIF1<0，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.【解析】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面ABC，则SKIPIF1<0面ABC，又SKIPIF1<0面ABC，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的一个法向量，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0面ABC，SKIPIF1<0面ABED，则面ABEDSKIPIF1<0面ABC，故SKIPIF1<0到面ABED的距离，即为△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0上的高，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上的高SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面ABC，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角梯形，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面ABED的一个法向量，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为SKIPIF1<0.3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的内接正三角形，且SKIPIF1<0，P是线段SKIPIF1<0上一点.(1)是否存在点P，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由；(2)当SKIPIF1<0为何值时，直线SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的角的正弦值最大.【解析】（1）解：由题得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以△SKIPIF1<0是圆的内接三角形，所以SKIPIF1<0，由题得SKIPIF1<0.假设SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：如图所示，建立以点SKIPIF1<0为坐标原点的空间直角坐标系SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，由题得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的角的正弦值最大.考点二：二面角【典例例题】例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形SKIPIF1<0的边长为3，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．(1)证明SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；(2)设点T为BC上的点，且二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．【解析】(1)由菱形SKIPIF1<0的边长为3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0(2)解法一：如图，以点A为原点，AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．由第（1）问可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，由题意可得：SKIPIF1<0考虑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．利用正弦定理SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，可得点T的坐标为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则有：SKIPIF1<0则PC与面PAT所成角的正弦值为SKIPIF1<0．解法二：由第（1）问可知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，由题意可得：SKIPIF1<0考虑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．利用正弦定理SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即点T为BC上靠近点B的三等分点所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，设过点C作平面PAT的垂线，垂足为Q，连接PQ，所以SKIPIF1<0为PC与面PAT所成角考虑三棱锥SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以PC与面PAT所成角的正弦值为SKIPIF1<0解法三：由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，由题意可得：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0过点C作CQ垂直于AT于Q，连接CQ、AC则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面PAT故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与面PAT所成的角，∴SKIPIF1<0即PC与面PAT所成角的正弦值为SKIPIF1<0【方法技巧与总结】设SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．【变式训练】1．（2022·广东·一模）如图，SKIPIF1<0为圆柱SKIPIF1<0的轴截面，SKIPIF1<0是圆柱上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的母线.(1)证明：SKIPIF1<0平面DEF；(2)若SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】（1）证明：如右图，连接AE，由题意知AB为SKIPIF1<0的直径，所以SKIPIF1<0.因为AD，EF是圆柱的母线，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以四边形AEFD是平行四边形.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因为EF是圆柱的母线，所以SKIPIF1<0平面ABE,又因为SKIPIF1<0平面ABE，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，DF，SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0平面DEF.（2）由（1）知BE是三棱锥SKIPIF1<0底面DEF上的高，由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即底面三角形DEF是直角三角形.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即点E，F分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大,下面求二面角SKIPIF1<0的余弦值：法一：由（1）得SKIPIF1<0平面DEF，因为SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BEF.因为SKIPIF1<0平面BEF，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角,由（1）知SKIPIF1<0为直角三角形，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0,所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0平面DEF，故平面DEF的法向量可取为SKIPIF1<0.设平面BDF的法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.设二面角SKIPIF1<0的平面角为θ,则SKIPIF1<0，由图可知θ为锐角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】(1)证明：连接SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0是菱形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0.因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由图可知，二面角SKIPIF1<0为钝角，因此，二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0.3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面SKIPIF1<0平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．【解析】(1)证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，因为M，F分别为ED和EC的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：如图所示，过E作SKIPIF1<0交AB于O，因为平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧SKIPIF1<0的中点，所以O与AB的中点，取CD的中点G，连接OG，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以EO，AB，OG两两垂直，以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图可知二面角SKIPIF1<0的平面角为锐角，所以二成角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别是AB，AD的中点．(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角SKIPIF1<0的大小为60°，求四棱锥SKIPIF1<0的体积．【解析】(1)连接DM，显然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴四边形BCDM为平行四边形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴△SKIPIF1<0是正三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面PAD，又SKIPIF1<0平面PMN，∴平面SKIPIF1<0平面PAD．(2)（方法一）连接BD，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又PD⊥平面ABCD，ADSKIPIF1<0平面ABCD，则PD⊥AD，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面PAB的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而平面ABCD的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（方法二）连接DM，由M为AB的中点，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以BCDM为平行四边形，故SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0为等边三角形，在AM上取中点H，连接DH，PH，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，AMSKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的二面角，所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】(1)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0.SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0为直角三角形，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题可知SKIPIF1<0为面SKIPIF1<0的一个法向量设二面角的平面角为SKIPIF1<0，由图知SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.6.如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面ABCD是平行四边形，且SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，点E是线段BC（包括端点）上的动点．（1）探究点E位于何处时，平面SKIPIF1<0平面PED；（2）设二面角SKIPIF1<0的平面角的大小为SKIPIF1<0，直线AD与平面PED所成角为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0【解析】（1）过点A作直线SKIPIF1<0，交直线BC于点M，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点A为原点，直线AM､AD､AP分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面PEA的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面PED的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0平面PED，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故点E是BC中点或与点C重合时，平面SKIPIF1<0平面PED．（2）SKIPIF1<0平面ADE的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为锐角，SKIPIF1<0．考点三：点到平面距离【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥SKIPIF1<0的底面半径为2，母线长为SKIPIF1<0，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．（1）求三棱锥SKIPIF1<0的表面积；（2）求A到平面SKIPIF1<0的距离．【解析】解：（1）由已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的表面积等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆锥的高SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0；（2）因为D是SKIPIF1<0的中点，则A到平面SKIPIF1<0的距离即为B到平面SKIPIF1<0的距离，过B作SKIPIF1<0垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0长度即为B到平面SKIPIF1<0的距离，SKIPIF1<0，所以A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.例2.在正方体SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱SKIPIF1<0上的动点．（1）点H在棱BC上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定动点F在棱SKIPIF1<0上的位置，并说明理由；（2）若SKIPIF1<0，求点D到平面AEF的最大距离．【解析】（1）设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．由正方体SKIPIF1<0知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．（2）以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，取等．所以点D到平面AEF的最大距离为SKIPIF1<0．【方法技巧与总结】如图所示，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一点，点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的任意一点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，就等于向量SKIPIF1<0在法向量SKIPIF1<0方向上的投影的绝对值，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式训练】1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，如图②，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)当翻折至SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，求线段SKIPIF1<0长的最小值.【解析】(1)证明：因为四边形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)解：由（1）可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，建立如图的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0最小值SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0长的最小值为SKIPIF1<0.2.如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，四边形SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【解析】（1）证明：由题知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0两两垂直如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的正方向，建立空间直角坐标系则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由于直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0