高考数学复习 第十二章 几何证明选讲 理试题

【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习第十二章几何证明选讲理（全国通用）考点一相似三角形的判定与性质1．(2015·广东，15)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________．解析如图所示，连接OC，因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC.又O为AB线段的中点，所以OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).在Rt△OCD中，OC＝eq\f(1,2)AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，即OD＝eq\f(OC2,OP)＝eq\f(22,\f(1,2))＝8，故应填8.答案82．(2014·天津，6)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④解析①∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，故∠FBD＝∠CBD，即①正确．由切割线定理知②正确．③△BED∽△AEC，故eq\f(BE,DE)＝eq\f(AE,CE)，当DE≠CE时，③不成立．④△ABF∽△BDF，故eq\f(AB,AF)＝eq\f(BD,BF)，即AB·BF＝AF·BD，④正确．故①②④正确，选D.答案D3．(2012·北京，5)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析由切割线定理可知CE·CB＝CD2.又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，得相似比：eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,DC)，即AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB，故选A.答案A4．(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝________．解析依题意得△CDF∽△AEF，由EB＝2AE可知AE∶CD＝1∶3.故eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝9.答案95.(2013·陕西，15B)如图，弦AB与CD相交于⊙O内的一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析易知∠BCE＝∠PED＝∠BAP，∴△PDE∽△PEA，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PE)，又PD＝2DA＝2，∴PA＝3，PE2＝PA·PD＝6，故PE＝eq\r(6).答案eq\r(6)6.(2013·湖北，15)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则eq\f(CE,EO)的值为________．解析设圆半径为R，则AD＝eq\f(2,3)R，DO＝eq\f(R,3)，由射影定理知OD2＝OE·OC，∴eq\f(R2,9)＝OE×R，∴OE＝eq\f(R,9)，∴CE＝OC－OE＝R－eq\f(R,9)＝eq\f(8,9)R，∴eq\f(CE,EO)＝8.答案87．(2012·陕西，15B)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析圆的半径OC＝3，OE＝2，CE＝DE＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).而△DFE∽△DEB，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,DB)，DF·DB＝DE2＝5.答案58.(2015·江苏，21)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.考点二圆的初步1．(2015·天津，5)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为()A.eq\f(8,3) B．3 C.eq\f(10,3) D.eq\f(5,2)解析根据相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB＝eq\f(2,9)AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝eq\f(2,9)AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝eq\f(8,3).选A.答案A2．(2015·重庆，14)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________．解析首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝eq\f(62,3)＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，再有相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝eq\f(CE·ED,AE)＝eq\f(6×3,9)＝2.答案23．(2014·湖北，15)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．解析由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q为PA的中点，∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.答案44.(2014·湖南，12)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，则⊙O的半径等于________．解析设AO与BC交于点M，∵AO⊥BC，BC＝2eq\r(2)，∴BM＝eq\r(2)，又AB＝eq\r(3)，∴AM＝1.设圆的半径为r，则r2＝(eq\r(2))2＋(r－1)2，解得r＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．(2014·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______．解析∵四边形BCFE内接于圆，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AC)，又∵BC＝6，AC＝2AE，∴EF＝3.答案36.(2013·北京，11)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，DB＝16a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB，即9＝9a·(9a＋16a)，解得a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5，在Rt△PBA中，有AB＝4.答案eq\f(9,5)47.(2012·湖南，11)如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析如图，取AB的中点C，连接OB、OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝eq\r(OP2－CP2)＝eq\r(5).∴圆O的半径为OB＝eq\r(OC2＋CB2)＝eq\r(6).答案eq\r(6)8．(2011·天津，12)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．解析由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，由于AF＝2FB，可解得BF＝1，所以BE＝eq\f(1,2).由切割线定理得CE2＝EB·EA＝eq\f(7,4)，即CE＝eq\f(\r(7),2).答案eq\f(\r(7),2)9．(2015·湖南，16)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.10．(2015·陕西，22)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直径．(1)证明因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，从而AB＝3eq\r(2)，所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.11．(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四边形EBCF的面积．(1)证明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四边形EBCF的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10\r(3),3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(16\r(3),3).12．(2014·新课标全国Ⅱ，22)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(EC,\s\up8(︵)).因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.13．(2014·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的