材料力学课件

第八章应力状态分析和强度理论$8.1应力状态概述单向拉伸时斜截面上的应力过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。2．单向拉伸时斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的正应力和切应力为可以得出时时横截面上的正应力1．应力状态主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，过A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。$8.2二向应力状态下斜截面上的应力t1．任意斜截面上的应力在外法线n和切线t上列平衡方程

根据剪应力互等定理，并考虑到下列三角关系

satasxsytxyxynt

简化两个平衡方程，得2．极值应力将正应力公式对取导数，得若时，能使导数，则上式有两个解：即和在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。可以证明：一个平面是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为代入剪力公式，为零。

这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。主应力及主平面的方位令得求得剪应力的最大值和最小值是：与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是：，则绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面。3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系与之间的关系为这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45度若$8.3二向应力状态的应力圆1．应力圆方程

中的将公式削掉，得由上式确定的以为变量的圆，这个圆称作应力圆。

圆心的横坐标为，纵坐标为0，圆的半径为。2．应力圆的画法建立应力坐标系（注意选好比例尺）在坐标系内画出点和

与轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AD为半径画圆——应力圆。t1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍3）对应夹角转向相同4．在应力圆上标出极值应力3．单元体与应力圆的对应关系$8.4三向应力状态1．三个主应力

2.三向应力圆的画法

作应力圆，决定了平行于平面上的应力作应力圆，决定了平行于平面上的应力作应力圆，决定了平行于平面上的应力由由由，最大的剪应力极值为3．单元体正应力的极值为$8.5复杂应力状态的广义虎克定律1．单拉下的应力—应变关系，三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得单元体变形后的体积为4．体积胡克定律2．复杂状态下的应力—应变关系单元体变形后的体积为体积改变为其中为体积模量，是三个主应力的平均值。为体积胡克定律。第二章拉伸、压缩和剪切$2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例1.概念：杆件上外力合力的作用线与杆件轴向重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。2.力学模型：PPPP$2.2拉伸或压缩时的内力和横截面上的应力1．轴力杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用N表示，方向与轴线重合。求解轴力的方法：截面法。轴力的符号规则：N与截面的外法线方向一致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。2．轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据例

AB杆受力如图所示,已知2.5kN，4kN，1.5kN。试求AB杆各段内并作轴力图P1P2P31122P1P2P31122P1N1N2P2P1解:(1)计算各段的轴力对AC段，设置截面如图，由平衡方程对BC段，由平衡方程得:得：ACB(2)按比例画轴力图P1P2P31122ACBN/kNx2.51.53．轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。强度条件及其应用：abcd例如图所示托架，已知：AB为钢板条，截面积100cm2，AC为10号槽钢，横截面面积为A=12.7cm2。若求：各杆的应力。解：（1）以节点A为研究对象，受力分析如图所示，建立平衡方程解方程可得（2）计算各杆的应力AB和AC的应力为$2.3材料拉伸时的力学性能1.低碳钢拉伸时的力学性能（应力应变曲线图）力学性能：在外力作用下，材料在变形和破坏方面表现出的特性（1）弹性阶段（2）屈服阶段

在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。

(3)强化阶段_材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。是材料能承受的强度极限

（4）局部变形阶段

（5）截面收缩率和延伸率延伸率（6）卸载与硬化截面收缩率2．铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度极限是衡量强度的唯一指标。2．铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿45度方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。

$2.4材料压缩时的力学性能1．低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但压缩不会破坏，只会越压越扁，没有强度极限。$2.5失效与许用应力脆性材料在其强度极限塑性材料在其屈服极限时失效。

破坏，极限应力：

，

塑性材料的许用应力，脆性材料

一般工程中，。

2．强度条件

等截面杆

1．失效原因$2.6轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律1．杆件在轴向方向的伸长为2．沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为，。3．胡克定律E为弹性模量。4．横向应变为横向应变与轴向应变的关系为将应力与应变的表达式带入得以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。$2.7轴向拉（压）杆静不定问题对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。2．静不定问题的解法求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。1．静不定问题的概念解：(1)列A点的平衡方程N3N2N1PEA（2）变形几何关系（3）力与变形的关系＝

（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力，例

杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度EA已知，试求两端反力。解：（1）列杆的平衡方程

（2）变形几何关系由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即等于AC段变形和BC段变形之和。。（3）力与变形的关系，对BC段，其轴力，

AC段，其轴力由虎克定律

代入变形几何关系

（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力

解得

应该注意，、杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。方向可任意假设，但在建立补充方程时，总结超静定问题的方法步骤：（1）平衡方程；

（2）几何方程——变形协调方程；

（3）物理方程——弹性定律；

（4）补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装配在一起，这样在未受载荷之前，杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。以下图为例进行讲解。1．平衡方程2．变形几何方程3．物理方程联立方程得，3．装配应力等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的，对于构件有圆孔、切口、轴肩的部位，应力并不均匀，并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。$2.8应力集中的概念1．应力集中应力系中系数名义应力(平均应力)塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中有影响。脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑其影响。2．应力集中对构件强度的影响$2.9剪切和挤压剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。可能被剪断的截面称为剪切面。

式中Q：剪切面上的剪力。A：剪切面面积1．剪切变形与挤压剪切力挤压应力式中P：挤压面上的挤压力：挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。2．剪应力与挤压力的计算例

齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸，传递的力偶矩m=2kNm，键的许用应力许用挤压应力。试校核键的强度。解：（1）计算键所受剪力的大小将键沿截面n-n假想切开成两部分，并把截面以下部分和轴作为一个整体来考虑。OOn-n截面上的剪力Q为由平衡条件

（2）校核键的剪切强度

O键受到的挤压力为P，挤压面面积，由挤压强度条件

故平键满足挤压强度条件。（3）校核键的挤压强度3.5t1.5t例拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为20号钢，，直径，厚度。试校核插销的剪切强度。，试校核插销的挤压强度。若挤压许可应力为解（1）计算键所受力的大小将插销沿截面m-m和n-n假想切开（双剪切面）。列平衡方程可得（2）校核键的剪切强度3.5t1.5t（3）校核键的挤压强度考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和2dt，故校核中段的挤压强度。第九章组合变形1．定义在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。2．组合变形形式§9–1概念。C两个平面弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。对于线弹性状态的构件，将其组合变形分解为基本变形，考虑在每一种基本变形下的应力和变形，然后在叠加。3．组合变形的研究方法——叠加原理扭转与弯曲mBAECPPt4．解题步骤§9–2拉(压)弯组合

CBMx12kN.mN例起重机的最大吊重P=12kN，

[σ]=100kN/m2试为横梁AB选择适用的工字钢。解：（1）受力分析由得（2）作AB的弯矩图和剪力图，确定C左侧截面为危险截面。（3）确定工字钢型号按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数查表取W=141cm3的16号工字钢，其横截面积为26.1cm3。在C左侧的下边缘压应力最大，需要进行校核。固所选工字钢为合适。CBMx12kN.mNx§9–3斜弯曲2）叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内，2．解题方法1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。。C例矩形截面悬臂梁，求根部的最大应力和梁端部的位移。解：（1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解1．斜弯曲概念

C（2）外载荷在固定端两平面内的弯矩（3）应力引起任意点C处应力由弯矩引起任意点C处应力由弯矩（4）最大正应力—在C处的应力叠加为（5）变形计算引起的垂直位移由引起的垂直位移由将、几何叠加得上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。§9–4弯曲与扭转的组合P向轴心简化得一等值力和扭矩PPt平面内的弯矩平面内的弯矩mBAECPPtT在危险截面上，与扭矩T对应的边缘上的切应力极值为1．外力向杆件截面形心简化2．画内力图确定危险截面与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为D点的主应力为按第三强度理论，强度条件是

mBAECPPtPPtT

对于圆轴，其强度条件为3．确定危险点并建立强度条件

按第四强度理论，强度条件为

经化简得出对于圆轴，其强度条件为第六章弯曲应力$6.1梁的弯曲1．横力弯曲横截面上既有Q又有M的情况。如AC、DB段。2．纯弯曲某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。3．梁的纯弯曲实验(1).现象：横向线a-b变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a-a变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。(2)概念：中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。横截面对称轴中性轴中性层纵向对称面$6.2纯弯曲时的正应力1．变形几何关系从梁中截取出长为dx的一个微段，横截面选用如图所示的坐标系。图中，y轴为横截面的对称轴，z轴为中性轴。横截面间相对转过的角度为,中性层曲率半径为，距中性层为y处的任一纵线（纵向纤维）b、b、为圆弧曲线。而其线应变为因此，纵bb的伸长为梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为yz3．静力关系截面上内力系简化为三个内力分量，即平行x轴的轴力N，对Z轴的力偶矩MZ

，和对轴的力偶矩My，2．物理关系yz考虑左侧平衡，，，得

横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩式中积分上式可写成为称为梁的抗弯刚度。

将该式代入，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。则截面上的最大正应力为$6.3横力弯曲时的正应力1．横力弯曲时的正应力，横力弯曲时的细长梁，横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式引入符号——截面图形的抗截面模量。强度条件为则高为h，宽为b的矩形截面：

直径为的圆截面：

例

受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；解：画M图求截面弯矩求应力$6.4弯曲切应力横力弯曲的梁截面上有弯矩还有剪力。剪力Q是与截面相切的内力系的合力。研究方法：分离体平衡。1．矩形截面中的弯曲切应力在梁上取微段dx，在微段上再取一块如图，列平衡方程：

（1）（2）（3）（3）带入（1）、（2）得由剪应力互等得于是并时有工字形截面其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式ByhHb2．工字钢截面将y=0和y=h/2分别带入上式，得3．圆形截面梁半个圆截面对中性轴的静矩此外将上式带入得2R$6.5梁的正应力和剪应力强度条件、提高弯曲强度的措施梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为，，1．弯曲正应力和剪应力强度条件例求T形截面梁的最大切应力。解：（1）求支反力（2）作剪力图（3）求最大切应力$6.5梁的截面形状优化

，对于宽b

，高为h的矩形，抗弯截面模量因此，高度越大，越大，在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半分布于距中性轴处。越小。为

A/2A/2AAAha.塑性材料上、下对称抗弯更好，抗扭差。b.脆性材料$6.6等强度梁截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。由

得

若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h，高度为x的函数，b=b(x)。

则

得出按剪切强度确定截面宽度的最小值由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。第七章弯曲变形$7.1挠曲线近似微分方程xxLPABvB’y挠曲线：当梁在xy面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内xy的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（x轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号v表示。转角：横截面的角位移，称为截面的转角，用符号表示。

因此，确定梁的挠曲线方程，就确定了梁的任一截面的挠度和转角1．概念2．挠曲线近似微分方程梁轴的曲率半径与弯矩的关系为将微分弧段ds放大，有如下关系：

由于挠度很小，考虑到弯矩的符号与一致，上式写成将代入上式得出xxLPABvB’y上式可以写成，$7.2积分法求弯曲变形

再积分一次，即可得梁的挠曲线方程式中C和D为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。转角和挠曲线方程对两侧积分，可得梁的转角方程2．积分常数的确定—边界条件和光滑连续性固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。1．转角方程例

所示简支梁受集中力作用，试讨论它的弯曲变形。解：①求反力并列梁的弯矩方程

分两段列AB梁的弯矩方程为：

AC段

CB段

②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分将和两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。xyPabx1x2ABCRARB段段③确定积分常数

梁在A、B两端的边界条件为时，

时，挠曲线在截面的连续条件为当时，

解得梁AC和CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表：AC段CB段④求梁的最大挠度和转角在梁的左端截面的转角为在梁右端截面的转角为当时，可以断定为最大转角。为了确定挠度为极值的截面，先确定C截面的转角若,AC段内必有一截面转角为零。

令解得的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。

则由AC段的挠曲线方程可求得梁AB的最大挠度为例起重机大梁的自重是集度为q的均布载荷，吊重P为作用于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。$7.3用叠加法求弯曲变形当梁上有几个简单载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。qPABCL/2L/2qP解:(1)分解载荷:均布载荷q，集中力P（2）查表叠加均布载荷单独作用下集中力单独作用下在均布载荷和集中力共同作用下例将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B简化为铰支座，P1为切削力，P2为齿轮传动力。试求截面B的转角和端点C的挠度。解：（1）分解载荷，集中力（2）计算在截面B处的剪力和弯矩，截面因M引起的转角P2单独作用引起的转角转角叠加因转角引起的C处的挠度（3）查表叠加P1引起的C点的挠度C点挠度的叠加$7.4简单超静定梁3）建立相当系统1．求解步骤1）判断静不定度2）建立基本系统一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统4）根据变形协调条件求解静不定问题P作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统2．求解简单静不定结构例求超静定梁B处的支反力及中点C的挠度。解：去掉支座B，代替以约束反力力与变形的关系变形协调关系解得利用叠加法得P第三章扭转1.扭转变形：扭转变形是在杆件两端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对移动。$3.1扭转的概念和实例3．扭转变形受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线5．工程实例：方向盘轴、传动轴。2．外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢表示的右手螺旋法则。4.力偶变形特点：各轴线仍直，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。$3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图1.外力偶矩的计算N：功率；：转速（1）内力偶矩：杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号（2）内力偶矩计算—截面法用截面将轴分成两部分，按右手螺旋法则把、T表示为矢量，列出左部分平衡方程，得到。2．扭矩和扭矩图当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负。（3）扭矩图反应出|T|max值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形例传动轴如图，主动轮A输出功率，从动轮B、C、D输出功率分别为，，轴的转速为。试作轴的扭矩图。解（1）求外力偶矩T3BCD112233A（2）求截面内扭矩在BC段内T3BCD112233ATx在CA段内在AD段内（3）画扭矩图1．薄壁圆筒的扭转实验$3.3薄壁圆筒的扭转①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。试验前后比较现象：②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。得出结论：纵向截面上无正应力，只有切于截面的切应力。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2.薄壁圆筒扭转时的切应力横截面内力力系对x轴力矩为：平衡方程：3.切应力互等定理

几何模型：用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒中取出边长分别为dx、dy、dz和t的微小矩形六面体。由得，

4．切应变剪切胡克定律——切应变——剪切胡克定律—半径；—扭转角；—圆筒长度；——剪应变；G——剪切弹性模量。式中$3.4圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算1．变形几何关系

2．物理关系——胡克定律3．力学关系其中称为抗扭截面模量。TTdxT4．扭转强度和刚度分析材料的许用剪应力

圆轴扭转时的刚度条件：强度条件：为了消除长度的影响，用表示扭转变形的程度，令距离为两个横截面之间的相对扭转角为例传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为和。若轴的转速为，，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解:(1)计算力偶距

(2)根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3间的扭矩绝对值最大。例若上题规定且已知按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。解：1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m$3.5扭转变形能1．扭矩作功2．扭转变形能和能密度$3.6圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形1．弹簧丝横截面上的应力修正公式：式中PP弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向的缩短量（或伸长量），用表示

在弹性范围内，压力P与变形成正比。令变形能等于外力作功，即U=W，于是有其中

2．弹簧的变形第十二章交变应力1．交变应力$12.1交变应力与疲劳失效应力比（循环特征）R=—1对称循环，R=1脉动循环，R=0静载荷构件在交变应力下产生裂纹或断裂叫疲劳破坏（1）构件经过长期的交变应力作用，虽然应力远低于其静载下的极限应力，也可能发生断裂。3．疲劳破坏特点，破坏。

随时间周期变化应力2．疲劳破坏（4）构件断口呈现出两个区域：粗糙区和光滑区。（2）交变应力多次重复，N循环次数。（3）构件的断裂是突然的，无任何明显的预兆。$12.2交变应力的基本参数—疲劳极限1．疲劳极限曲线Nr为某一指定值oN0在应力比一定的情况下，对一组（8~12根），d=6~10mm的试件，分别在不同的直到破坏，记录下每根试件破坏前经受的循环次数N。作出此曲线为在应力比下的曲线。曲线。（1）下施加交变应力，对于钢材，曲线有一水平渐进线。为此材料在指定应力比下的疲劳极限。对应值为循环基数。Nr为某一指定值oN0对于电磁材料（芯片），，几千次，几万次/秒——对称循环疲劳极限2．影响构件持久极限的主要因素(1)构件外形的影响对于零件上截面有变化处，如：螺纹、键槽、轴肩等，在此处会出现应力集中，因此，会显著降低疲劳强度极限。一般用K表示其降低程度，即（2）疲劳极限，式中、分别为弯曲、扭转时光滑试件对称循环的疲劳强度极限；分别为同尺寸而有应力集中因素试件的对称循环的疲劳极限。(2)构件尺寸的影响构件尺寸越大，材料包含的缺陷相应增多，指使疲劳极限降低，其降低程度用尺寸系数表示，式中、分别为光滑小试件在弯曲、扭转时的疲劳极限；、分别为光滑大试件在弯曲、扭转时的疲劳极限。(3)构件表面质量的影响加工表面的影响用表面加工系数表示。是指试件表面在不同加工情况下的疲劳极限与磨光时的疲劳极限之比。，扭转构件在对称循环下的疲劳极限为。因此，弯曲构件在对称循环下的疲劳极限是1．对称循环下的疲劳强度计算强度条件，令$12.3构件的疲劳强度计算许用应力例阶梯轴。材料为合金钢，，，。轴在不变弯矩作用下旋转。轴表面为切削加工。若规定，试校核轴的强度。解：（1）最大工作应力（2）确定应力集中系数根据，，查表得，。应力集中系数为查表确定，（3）求工作安全系数满足强度要求。2．不对称循环下的疲劳强度计算强度条件为（1）承受交变应力的工作安全系数（2）对于受扭转的构件，工作安全系数为（3）承受扭弯组合交变应力，工作安全系数为例上例中的阶梯轴在不对称弯矩和的交替作用下，并规定。试校核轴的疲劳强度。解：（1）求、、、。（2）确定各种系数，，，（3）疲劳强度计算，故满足疲劳强度条件。第十一章动载荷构件在动载荷作用下的各种响应（应力、应变和位移）$11.1概述1.静载荷载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷。2.动载荷载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷按照达朗贝尔原理，在原物体系上沿加速度相反方向加上惯性力，则惯性力与物体上原有的外力组成一平衡力系，即可按静力学方法处理动力学问题，这就是动静法$11.2构件作匀变速运动时的应力与变形maFd1．动静法3.动响应2．匀加速杆件的动载荷bbaRRq均布载荷的集度为截面中点弯距为应力为加速度为零时，动应力可以表示为

其中强度条件写成3．在匀速转动圆环上的应用沿圆环轴线均布的惯性力的集度为取半圆环为研究对象，列平衡方程，得NdNdqdtDwt4、强度条件$11.3使用能量原理计算受冲击构件的动应力、变形1．不考虑受撞击构件质量时的应力和变形例设有重量为G的重物自高度处自由下落撞击梁上1点。解：重物与梁接触时的动能与重力势能的关系：重物至最低点时，位能减少失去总能量

h11求其动应力。设在静载荷G作用下梁1处的静变形为，弹簧刚度系数为梁获得的弯曲应变能为h11利用U=E，得为撞击系数，其值为2．考虑受撞击构件质量时的应力和变形如图，悬臂梁在自由端B受到重物的撞击，在B端放置杆件的相当质量。两物体碰撞后运动。由动量守恒得以共同速度撞击物的动能为其中设想重物G下落高度时具有动能，

则由可知将代替带入可得确定相当质量。以在B受静力P时的挠曲线作为受冲击时的动挠曲线。设梁单位长度的重量为，则段的动能是，于是即在自由端承受撞击时的相当质量是全梁质量的。第十章压杆稳定若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。

PPPPPcrPcr干扰力当轴向压力大于一定数值时，任一微小挠动去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。$10.1压杆稳定的概念1．压杆稳定2．临界压力3．曲屈$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式1．两端铰支压杆的临界力选取如图所示坐标系xoy。距原点为x的任意截面的挠度为v。若压力P取绝对值，则y为正时，M为负。于是有2．挠曲线近似微分方程令则有该微分方程的通解为x将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得式中A、B——积分常数，可由边界条件确定压杆为球铰支座提供的边界条件为:x和时，将其代入通解式，可解得，上式中，只有满足上式的值为则有于是，压力P为n=1得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力

此式由瑞士科学家欧拉于1744年提出，故也称两端铰支细长压杆的欧拉公式。此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。$10.3其他条件下压杆的临界压力欧拉公式的普遍形式为式中称为长度系数，

是把压杆折算成相当于两端铰支杆时的长度，称为相当长度。例：试由两端固定细长压杆的挠曲线的微分方程，导出欧拉公式。解：vxl0.3lC由挠曲线的微分方程可得方程的通解为固定支座的边界条件是时，，时，，边界条件带入上面各式得vxl0.3lC解得作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点的横坐标为弯矩为零的C点的横坐标$10.4压杆的稳定校核1．压杆的许用压力为许可压力；为工作安全系数。2．压杆的稳定条件例平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径，油压。

，活塞杆长度，材料为35钢，

，，试确定活塞杆的直径。（1）轴向压力活塞杆p解：（2）临界压力活塞杆p（3）确定活塞杆直径得出由（4）计算活塞杆柔度对35号钢，

因为，满足欧拉公式的条件。第四章平面图形的几何性质$4.1静矩和形心设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。形心与平面图形的形心一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标1．静矩对于图形，其面积为A。Z和y为图形所在平面的坐标轴。则微面积dA在整个图形面积上的积分为称为图形对y,z轴的静矩或一次矩。2．形心从上式可以看出，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若图形对某一轴通过图形的形心，则图形对该轴静矩等于零。当一个图形A由，A1A2

…An等个图形组合而成的组合图形时，有静距的定义得$4.2惯性矩、惯性半径和惯性积1．惯性矩