2022年陕西省西安市高考理科数学一模试卷及答案解析

2022年陕西省西安市高考理科数学一模试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合A={1,2,6）,B=[2,4},C={1,2,3,4},则（AU8）DC=（）

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.[1,2,3,4,6}

2.（5分）设复数z=l-3i,则2（1—i）=（）

A.-2-4/B.4-2/C.-2+4zD.4+2/

3.（5分）设向量a=（m,1）,b=（1,m）,如果a与b共线且方向相反，则m的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.（5分）命题p：VxGR,J?+1>0,命题g：30eR,sin20+cos20=1.5,则下列命题中真命

题是（）

A.pf\qB.fpf\qC.~^p\JqD.pNLq）

5.（5分）已知函数/（x）的图像如图所示，则/（x）的解析式可以是（）

A./Q）=第B./（X）=Y

C-f（x）=^-lD.=

6.（5分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行,

组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有（）

A.840种B.140种C.420种D.210种

7.（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120。的扇形AOB,C是该小区的一个出

入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从。沿OD走到。用了2分钟，

从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径

的长度为（）

第1页共23页

c.5OVTTD.50V19

8.(5分)已知m、”为两条不同的直线，a、0为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

)

A.若，〃J_a,〃?_!_"，则"〃a

B.若,"J_a,〃〃。且a〃印则,〃_1_"

C.若，”ua,”ua且用〃乐nZ/p,则a〃0

D.若直线相、”与平面a所成角相等，则机〃〃

9.(5分)己知直线/：x+y-l=O将圆C：x2+y2-2x-4y+l=0分为M,N两部分，且M

部分的面积小于N部分的面积.若在圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为()

111331

A.-B.---C.-D.---

4427r442n

10.(5分)已知函数f(x)满足f(1+x)•+/(1-x)=0,且/(-x)=f(x),当

时，/(x)=2X-1,则/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

11.(5分)2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！

为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮

扶活动.该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣

除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资

金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为()(单位：万元，结果精确

到万元)(参考数据：1.24^2.07,1.25Q2.49)

A.83B.60C.50D.44

_X2V2

12.(5分)已知椭圆二十k=1的右焦点为尸(a0),上顶点为4(0,b),

n2TTT

直线上存在一点P满足(FP+F4)dP=0，则椭圆的离心率取值范围为()

A.,1)B.［孝，1)C.\~~2~'1)D.(0,孝］

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

第2页共23页

13.（5分）已知双曲线C：鸟―4=1（〃>0,6>0）的右焦点到它的一条渐近线的距离为

戾b

4,且焦距为10,则该双曲线的渐近线方程为.

14.（5分）已知sina-cosa=&（0<a<7i）,则tana的值是.

15.（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺

品可以看成是一个球被一个棱长为4怖的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正

方体的中心重合），若其中一个载面圆的周长为4m则该球的表面积为.

16.（5分）关于函数/（x）=3sin（2xT）,下列结论正确的有个.

①函数/（X）的图像关于直线了=岩对称：

27r

②函数/（工）的图像关于点（/•,0）对称；

③函数f（x）在区间（一各，—）内是增函数；

J■乙12

7T

④函数/（x）的图像是函数y=3sin2x的图像向右平移三个单位长度得到的.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：

共60分。

17.（12分）已知首项为2的数列｛的｝满足即+i=之初陪士.

（1）证明：数列｛翳｝是等差数列.

（2）令bn=a〃+n,求数列｛瓦｝的前n项和Sn.

第3页共23页

18.（12分）某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷

调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100〃也以上的”为常喝.已知在所有的

4

30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为

（1）请将如表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明

理由;

（II）已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且

有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

9

7i(ad—be)

参考公式及数据：K2=

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

p0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

to2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

第4页共23页

19.（12分）如图，在长方体ABC3-481C131中，E、尸分别是棱BC、CC1上的点，CF

=AB=2CE,AB：AD：A4=l：2：4,AB=\.

(I)证明：AF，平面AiE£＞；

(II)求二面角Ai-ED-F的余弦值.

第5页共23页

1

20.(12分)已知函数/(x)—Inx,g(x)=_6x,h(x)=3。/.

(I)设F(x)—g(x)+8/(x),求函数F(x)的单调区间；

(H)设4(x)=h(x)-/(x)-1,当函数4(x)有两个零点时，求实数a的取值

范围.

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21.(12分)已知曲线C：)，='，D为直线y=上的动点，过。作C的两条切线，切点

分别为A,B.

(1)证明：直线A3过定点.

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段48的中点，求该圆的

方程.

第7页共23页

(二)选考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］

(x=1+卓t,

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为,12(7为参数)，

以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=

2cosO+4sin0.

(I)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(II)直线/与曲线C相交于A,B两点，设点P(l,0),求解|+|PB|.

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［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数，(x)=|2x+l|-\x-1|.

(1)解不等式/(x)<2；

(2)若不等式依-1|可(x)+|x-l|+|2x-3|有解，求实数机的取值范围.

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2022年陕西省西安市高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合4={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(AUB)nc=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

解：•.•集合A={1,2,6},B={2,4],C={1,2,3,4),

:.(AUB)DC={1,2,4,6}0{1,2,3,4}={1,2,4).

故选：B.

2.(5分)设复数z=l-3i,则2(l-i)=()

A.-2-4/B.4-2/C.-2+4/D.4+2z

解：：z=l-3i,；.z的共匏复数是2=l+3i,

Az(l-i)=(l+3z)(1-/)=1-i+3i-3P=4+2i.

故选：D.

3.(5分)设向量a=(zn,1),£>=(Lm),如果a与b共线且方向相反，则m的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

解析：因为向量；与了共线且方向相反，

故由共线向量定理可设;=记(A<0),

即解得机=±1,

(.1=Am

由于入<0,：.m^-1,

故选：A.

4.(5分)命题p：VxGR,/+1>0,命题q：30GR,sin20+cos20=1.5,则下列命题中真命

题是()

A.p/\qB.-'p/\qC.「p\tqD.pN'q)

解：命题p：由于对已知则/+l2l>0,

则命题p：VxGR,?+l>0,为真命题，「p为假命题；

命题<?：由于对veeR,5也2。+(；0$2。=1,

则命题q：306R,sin%+cos%=1.5为假命题，"""q为真命题.

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则。八八Wq、「pVq为假命题，pNLq）为真命题.

故选：D.

5.（5分）已知函数/（x）的图像如图所示，则/（x）的解析式可以是（）

A./。）=也

B./(x)=y

C-/(x)=^-lD./(x)=x--

解：根据题意，用排除法分析：

对于8,f（x）=§,当x>0时，f（x）=号>0,与图象不符，

对于C,f（x）=妥一1，其定义域为WW0｝，有/（-X）=/（x），为偶函数，与图象

不符；

对于O,/（x）=x-1,其定义域为｛x|xW0｝,当X-+8时，f（x）-+oo,与图象不符:

故选：A.

6.（5分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行,

组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有（）

A.840种B.140种C.420种D.210种

解：由已知，甲的安排方法为第，乙的方法为壅，剩余的两天安排丙丁有题种方法，

故共有俣*/=420.

故选：C.

7.（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120。的扇形AOB,C是该小区的一个出

入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从0沿0D走到。用了2分钟，

从。沿着0c走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径

的长度为（）

第11页共23页

c.5OVTTD.50V19

解：设该扇形的半径为「米，连接co.

由题意，得C£>=150（米），。。=100（米），ZCDO=60°,

在△COO中，CD2+OD2-2CD-OD'cos600=O&

即,1502+1002-2X150X100X1=r2,

解得r=50V7（米）.

8.(5分)已知〃?、"为两条不同的直线，a、0为两个不同的平面,则下列命题中正确的是

()

A.若〃?J_a,加_1_〃，则”〃a

B.若"?J_a,”〃0且&〃0,则机J_”

C.若mua,”ua且〃?〃0,”〃仇则。〃0

D.若直线n与平面a所成角相等，则m//n

如图可否定A；

第12页共23页

c如图可否定c；

如图可否定£)：

故选：B.

9.(5分)已知直线/：x+y-l=O将圆C：/+y2-2x-4y+l=0分为M,N两部分，且M

部分的面积小于N部分的面积.若在圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为()

111331

A.-B.---C.-D.---

4427r442n

解：圆C：/+>2-2x-4y+l=0,化为标准方程可得(x-1)2+(y-2)2=4,

所以圆。的圆心C(l,2),半径为r=2,

直线/：x+y-1=0,

点C到直线/的距离为仁意=

设直线/与圆的两个交点为A,B,

故48=2Vr2—d2=2A/2,

所以NACB=90°,

故SM=4s圆一S〉ACB=兀-2，

则该点落在M部分的概率为芈=——=；-

S倒47r42n

故选：B.

10.(5分)已知函数f(x)满足f(1+x)4/(1-%)=0,且/(-x)=f(x),当1<xW2

时，/(x)=2X-1,则/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

第13页共23页

解:V/(l+X)4/(17)=0,

：.f(1-X)=-/(1+x),

・•・/(-X)=-/(2+x)

又•"(-x)=f(x),

:•于(x)=-/(x+2),即/(x+2)=-f(x),

.\f(x+4)=/[(x+2)+2]=--(x+2)=f(x),

・・・T=4,

•V(2021)=/(1)=2-1=1.

故选：C.

11.(5分)2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！

为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮

扶活动.该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣

除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资

金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为()(单位：万元，结果精确

到万元)(参考数据：114~2.07,1.25^2.49)

A.83B.60C.50D.44

解：设每年应扣除的消费资金为x万元，

则1年后投入再生产的资金为：500(1+20%)-x,

2年后投入再生产的资金为：[500(1+20%)-x](l+20%)-x=500(l+20%)2-(1+20%)

X-X,

5年后投入再生产的资金为：

500(1+20%)5-(1+20%)4x-(1+20%)3x-(1+20%)2x-(1+20%)x-x=800,

“1.25-lq

故-------x=500x1.25-800,解得x^60.

1.2-1

故选：B.

x2y2

12.(5分)已知椭圆=+77=1(〃>b>0)的右焦点为尸(c,0),上顶点为A(0,b),

azb2

TTT

直线x=3•上存在一点P满足(FP+FA)-AP=0,则椭圆的离心率取值范围为()

A.g,1)B.[-^/1)C.t1)D.(0/

第14页共23页

,、IG,TTT,TT"4

解：设P(一,y),由(FP+凡4)•AP=0,则FP+FA=(--c,y)+(-c")=(—-2c,

ccc

ta2

y+b),AP=(一,y-b),

TTT2

所以由("+")•”=(),可得：("一2。)n(y+6)(y-b)=0,

可得：二-2/-廿=-/wo,整理可得：a4-2a2?-(a2-c2)c2<0,BP?-3e2+l<

0,

3-^534-75

解得:<^2<

2

即西Tvv店+1

即h-e-

y/S—1

由于椭圆的离心率小于i,所以h土<1,

故选：c.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知双曲线C：今一/=1（a>0,b>0）的右焦点到它的一条渐近线的距离为

4,且焦距为10,则该双曲线的渐近线方程为」=±gx_.

解：*.•双曲线C；”髀1（a>0,心0）,

渐近线方程为y=土，x,

由双曲线的对称性，不妨设y=，x,

•.•焦距为10,

...右焦点为（5,0）,

产I

=4,解得〃=4,

y/a2+b2

，渐近线方程为）

故答案为：y=±,%.

14.(5分)已知sina-cosa=或(0<a<n),则tana的值是-1

解：*.*sina-cosa=V2sin(a—彳)=V2,

sin(a—彳)=1,

VaG(0,IT),

第15页共23页

•7T7Turt37r

••a-4=2'即。=彳，

则tana=-1.

15.（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺

品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正

方体的中心重合），若其中一个载面圆的周长为4m则该球的表面积为64TT.

解：由于球心和正方体的中心重合,

BC=今x4V3=2V3,

所以球的半径R=48=J22+（2V3）2=4,

故S呼=4•7T-42=647r.

故答案为：64n.

16.（5分）关于函数f（x）=3sin（2x-9,下列结论正确的有①②③个.

①函数/（x）的图像关于直线犬=若对称；

2TC

②函数/（x）的图像关于点（W，0）对称；

③函数/（X）在区间（一务—）内是增函数；

71

④函数/（x）的图像是函数y=3sin2x的图像向右平移三个单位长度得到的.

解：由于当犬=^^时，f（x）=3・sin（2x^^一为）=3・sin*=-3,是函数的最值,

第16页共23页

故函数/(x)的图象关于直线元=浅对称；故①正确.

由于当天=等时，/(x)=3*sin(2x等一号)=3・sinir=0,故函数/(x)的图像关于点

(W，0)对称；故②正确；

1*77'ITC-IT

在区间(-各—)上，(一沙-),故函数f(x)在区间(一各—)上是增

函数，故③正确；

TT7T

把函数y=3sin2x的图象向右平移三个单位长度，可得函数/(x)=3sin(2r-J)的图象，

故④错误，

故答案为：①②③.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：

共60分。

17.(12分)已知首项为2的数列｛”“｝满足an+i=义卓捍二.

(1)证明：数列｛贤｝是等差数列.

(2)令加=。”+〃,求数列｛为｝的前"项和求.

(1)证明：依题意，由厮+1=符普工，可得

5+1)*1_nan,

~2«+i-~'

..lai,

卞=1，

•••数列｛贤｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

..玄=\+n-\-n,

?=2",〃EN*.

(2)解:由(1)知，hn==〃+2”.

S〃="+历+…+加

=(1+21)+(2+22)+…+("+2")

=(1+2+…+〃)+(21+22+-+2,!)

n(n+l)2-2n+1

=-2-+1-2

第17页共23页

=2e+分尸+会-2.

18.(12分)某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷

调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100〃人以上的”为常喝.已知在所有的

4

30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为二.

常喝不常喝合计

有糖尿病6

无糖尿病18

合计30

(I)请将如表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明

理由；

(II)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且

有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

参考公式及数据:五可选踪品e“a+b+c+d_

P（犬20.150.100.050.0250.0100.0050.001

氐）

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

4

解：⑴30X金=8

故糖尿病患者总计有8名，其中常喝酒的有8-2=6名，

2X2列联表如下：

常喝不常喝合计

有糖尿病628

无糖尿病41822

合计102030

2

：2“8.523>7.898,

'K=3嚷XUXZUX襄oXZZ

.•.有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关.

(2)由题意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，则中年人为4人,

现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，

第18页共23页

故恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率p=呼=4

19.(12分)如图，在长方体A3C£>-Ai8iCj£>i中，E、尸分别是棱8C、CCi上的点，CF

=AB=2CE,AB：AD；M=l：2：4,AB=1.

(I)证明：AFL平面4ED；

(II)求二面角Ai-ED-F的余弦值.

(/)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点4为坐标原点，AB=\,

3

则D(0,2,0),F(1,2,1),Ai(0,0,4),E(1,一，0).

2

TT1T3T

AF=(1,2,1),ED=(-1,0),EA=(-1,-,4),FD=(-1,0,-1).

2X12

于是6=-1-3+4=0,AF-ED=-1+1=0.

因止匕，AF±EAi,AFLED.

又EAiCED=E,.•.4£1平面4£；£＞；

(ID解：设平面EF。的法向量£=(x,y,z),

则「住二一"，取z=-1.可得以=(1,2,-1),

[n-ED=-x+2y=0

由(1)可知，而为平面4ED的一个法向量，

二面角Ai-ED-F的余弦值为3

第19页共23页

20.(12分)已知函数/(x)=lnx,g(x)=基2_6%,h(x)=3aex.

(I)设尸(x)=g(x)+8/(x),求函数尸(x)的单调区间；

(II)设“(x)=h(x)-f(x)-1,当函数H(x)有两个零点时，求实数a的取值

范围.

解：(I)因为尸(x)=g(x)+8/(x)=寺无2-6x+其定义域为(0,+°0),

所以如)=X-6+*号比=(久-2y-4),

当在(0,2)U(4,+8)时尸(无)>0；当xe(2,4)时/(x)<0,

所以函数尸(%)的单调递增区间为(0,2)和(4,+8)；

函数尸(%)的单调递减区间为(2,4).

(II)因为H(x)=h(x)-f(x)-1=3aex-Inx-1,

所以函数”(x)有两个零点可转化为关于x的方程3a/-lnx-1=0有两个实数解，

即函数y=3a的图象与函数y=曙■的图象有两个交点.

令。(久)=写史，其定义域为(0,+8),则G'(x)=茎学二，

令G(%)=0,解得x=l.

易知当xe(0,1)时，G(x)>0；当(1,+8)时，G(x)<0,

所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

1

所以G(%)g=G⑴=3

又当尸*+8时，G(x)f0；当%-*0时，G(%)-8,

所以当函数y=3a的图象与函数y=唱匚的图象有两个交点时，0<3aV；,

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所以。VaV全,

所以实数a的取值范围是[0,打

21.(12分)已知曲线C：y=y,D为直线)=一4上的动点，过。作C的两条切线，切点

分别为A,B.

(1)证明：直线AB过定点.

(2)若以E(O,|)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的

方程.

1c

(1)证明：设。(f,一])，A(xi,yi),则为/=2y1，

由于y'=x,・,•切线D4的斜率为xi,故---^=/，

x^—t

整理得:2m-2yi+l=0.

设B(X2,”)，同理可得2/X2-2*+1=0.

故直线AB的方程为2fx-2y+]=0.

1

直线A8过定点(0,-)；

⑵解：由(1)得直线A8的方程y=a+；.

y=tx4-i

%2，可得--2a-1=0.

{y透

2

于是+%2=2a%+乃=t(》i+X2)+1=2t+1.

设M为线段4B的中点，则M(f,12+分，

由于而京=(t,t2-2),易与向量(1,f)