电力系统课程教学设计-牛顿拉夫逊法潮流计算

,.课程设计说明书题 目 电力系统分析系 ( 部 )专 业 ( 班 级 )姓 名学 号指 导 教 师,.起 止 日 期电力系统分析课程设计任务书系（部）：专业：指导教师：课题名称 电力系统专家潮流初步设计设 1.了解电力系统专家潮流计算的基本原则计 2.潮流计算不收敛原因分析内 3.潮流计算收敛性分析容 4.电力系统专家潮流计算的流程图设计及 5.分析结果,.要求掌握相关基础概念2.了解潮流计算不收敛的数学解释计工3.对潮流计算收敛的分析作 4.设计计算的流程图量起止日期（或时间量）设计内容（或预期目标）备注进第1天课题介绍，收集相关材料，分析原始数据度第2天学习相关的基础理论安第3天初步了解潮流计算的收敛问题排第4天流程图的设计第5天编写设计说明书,.系（部）主教研室管领导意意见见年 月 日年 月 日目录一、潮流计算基本原理1.1潮流方程的基本模型1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分1.3、潮流计算的意义,.二、牛顿－拉夫逊法2.1牛顿-拉夫逊法基本原理2.2节点功率方程2.3修正方程2.4牛顿法潮流计算主要流程三、收敛性分析四、算例分析总结参考文献电力系统分析潮流计算,.一、潮流计算基本原理1.1潮流方程的基本模型电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进谢谢阅读行潮流计算时，一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。因此潮流计算所用的电力网络系精品文档放心下载由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支感谢阅读路来模拟。结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普通采用的是节点法，节点电压与节点感谢阅读电流之间的关系IYV（1－1）其展开式为InYV(i1,2,3,,n)（1－2）iijjj1在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联系节点电流和节点功率的关系式PjQ(i1,2,3,,n)（1－3）IiiiVi将式（1－3）代入式（1－2）得到PjQn（1－4）iiYV(i1,2,3,,n)ijjVij1交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示VVeji（1－5）ii或Vejf（1－6）iii而复数导纳为YGjB（1－7）ijijij将式（1－6）、式（1－7）代入以导纳矩阵为基础的式（1－4），并将实部与虚部分开，可以得到感谢阅读,.以下两种形式的潮流方程。潮流方程的直角坐标形式为Pe(GeBf)f(GfBe)(i1,2,3,,n)（1－8）iiijjijjiijiijjjijiQf(GeBf)(GfBe)(i1,2,3,,n)（1－9）eiiijjijjiijiijjjiji潮流方程的极坐标形式为PVV(GcosBsin)(i1,2,3,,n)（1－10）iiiijijijijjiQVV(GsinBcos)(i1,2,3,,n)（1－11）iiiijijijijji以上各式中，ji表示号后的标号j的节点必须直接和节点i相联，并包括ji的情况。这两精品文档放心下载种形式的潮流方程通常称为节点功率方程，实牛顿－拉夫逊等潮流算法所采用的主要数学模型。感谢阅读1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分对于电力系统中的每个节点，要确定其运行状态，需要由四个变量：有功注入注入有功P、无功精品文档放心下载注入Q、电压幅值U及电压相角。对于有n个独立节点的网络，其潮流方程有2n个，变量数为4n个。精品文档放心下载根据电力系统的实际运行情况，一般每个节点4个变量中总有两个是已知的，两个是未知的。按各个精品文档放心下载节点所已经变量的不同，可把节点分成三种类型。(1)PQ节点。这类节点已知节点注入有功功率P、无功功率Q，待求的未知量是节点电压值U及感谢阅读i i i相位角，所以称这类节点为PQ节点。i一般电力系统中没有发电设备的变电所母线、发固定功率的发电厂母线可作为PQ节点，这类节点精品文档放心下载在电力系统中占大部分。(2)PV节点。这类节点已经节点注入有功功率P和电压值U，待求的未知量是节点注入无功功感谢阅读i i率Q及相位角，所以称这类节点为PV节点。谢谢阅读i i这类节点一般为有一定无功功率储备的发电厂母线和有一定无功功率电源的变电所母线，这类节点精品文档放心下载,.在电力系统中位数不多，甚至可有可无。(3)平衡节点。潮流计算时，一般只设一个平衡节点，全网的功率由平衡节点作为平衡机来平衡。感谢阅读平衡节点电压的幅值U及相位角是已知的，如果给定U1.0、1.0，待求的则是注入功率P、sssssQ。s1.3潮流计算的意义早在20世纪50年代中期，就已开始使用数字计算机进行电力系统潮流计算。时至今日，潮流计感谢阅读算曾采用过多种不同的方法，这些方法的形成和发展都围绕着潮流计算的一些基本要求进行。这些要求精品文档放心下载基本上可以归纳为以下几个方面：算法的可靠性和收敛性、结果的可信性；满足计算速度和内存占用量感谢阅读的要求；计算方便灵活、适应性好。电力系统潮流的计算和分析是电力系统运行和规划工作的基础。运行中的电力系统，通过潮流计算精品文档放心下载可以预知,随着各种电源和负荷的变化以及网络结构的改变,网络所有母线的电压是否能保持在允许范围精品文档放心下载内，各种元件是否会出现过负荷而危及系统的安全，从而进一步研究和制订相应的安全措施。规划中的精品文档放心下载电力系统，通过潮流计算，可以检验所提出的网络规划方案能否满足各种运行方式的要求，以便制定出谢谢阅读既满足未来供电负荷增长的需求，又保证安全稳定运行的网络规划方案。感谢阅读二、牛顿－拉夫逊法2.1牛顿-拉夫逊法基本原理设有单变量非线性方程f(x)0(4-1) 求解此方程时。先给出解的近似值x(0)它与真解的误差谢谢阅读,.为x(0)，则xx(0)x(0)将满足方程，即精品文档放心下载f(x(0)x(0))0(4-2)将(3-8)式左边的函数在x(0)附近展成泰勒级数，于是便得精品文档放心下载f(x(0)x(0))f(x(0))f'(x(0))x(0)f''(x(0))(x(0))2(x(0))n......f(n)(x(0))....2!n!(4-3)式中，f'(x(0)),……f(n)(x(0))分别为函数f(x)在x(0)处的一阶导数，….，n阶导数。精品文档放心下载如果差值x(0)很小，(3-9)式右端x(0)的二次及以上阶次的各项均可略去。于是，(3-9)便简精品文档放心下载化为f(x(0)x(0))f(x(0))f'(x(0))x(0)＝0(4-4)这是对于变量的修正量x(0)的现行方程式，亦称修正方程式。解此方程可得修正量感谢阅读x(0)f(x(0))(4-5)f'(x(0))用所求的x(0)去修正近似解，变得x(1)x(0)x(0)x(0)f(x(0))(4-6)f'(x(0))由于(3-10)是略去高次项的简化式，因此所解出的修正量x(0)也只是近似值。修正后的近似解x(1)同真解仍然有误差。但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是精品文档放心下载x(k1)x(k)f(x(k))(4-7)f'(x(k))迭代过程的收敛判据为f(x(k))(4-8)1或x(k)(4-9)2式中 ， 为预先给定的小正数。1 2这种解法的几何意义可以从图3－1得到说明。函数y＝f(x)为图中的曲线。f(x)＝0的解相当于精品文档放心下载,.曲线与x轴的交点。如果第k次迭代中得到x(k)，则过x(k),y(k)f(x(k))点作一切线，此切线同感谢阅读轴的交点便确定了下一个近似值x(k1)。由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步谢谢阅读线性化的方法。应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-1)时，假定已给出各变量的初值x(0)，x(0)….12x(0)，令x(0)，x(0)，…..x(0)分别为各变量的修正量，使其满足方程(3-1)即n12nfff

(x(0)x(0),x(0)x(0),....,x(0)x(0))011122nn(x(0)x(0),x(0)x(0),....,x(0)x(0))02112......2nn(x(0)x(0),x(0)x(0),....,x(0)x(0))0n1122nn(4-10)将上式中的n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数,并略去含有x(0),x(0)，……，感谢阅读1 2x(0)二次及以上阶次的各项，便得n,...,x(0))f1|x(0)f1|x(0)...f1|x(0)f(x(0),x(0)0112nx01x02x0n)f1f2...fnf(x(0),x(0),...,x(0)1|x(0)1|x(0)1|x(0)0212nx01x02x0n1......2n)f1|x(0)f1|x(0)...f1|x(0)f(x(0),x(0),...,x(0)0n12nx01x02x0n12n(4-11)方程式(3-17)也可以写成矩阵形式,.f1|f|x1...f(x(0),x(0),...,x(0))x001f2f112nf2|2|(x(0),x(0),...,x(0))xx...212n00......12.........f(0)(0)(0)(x,x,...,x)fnfn|n|...12nxx0012

f|x10x(0)nf2|1x(0)x02n......(0)fx|nxn0n(4-12)方程式(3-18)是对于修正量x(0),x(0),……,x(0)的线性方程组,称为牛顿法的修正方程式.12n利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量x(0),x(0),……,x(0)。然后对初始近似值进12n行修正x(1)x(0)x(0)i i i如此反复迭代，在进行k＋1次迭代时，从求解修正方程式精品文档放心下载

(i=1,2,….,n) (4-13)fff

(x(k),x(k),...,1 1 2(x(k),x(k),...,2 1 2......(x(k),x(k),...,n 1 2

f|x1x(k))k1nf2|x(k))xnk1...x(k))f|nxnk1

f1|...xkf2x2|...k2......fxn|...k2

f1|kx(k)xnfx(k)12|xk2n......(k)fxn|xnkn(4-14)得到修正量x(k)，x(k)，x(k)，并对各变量进行修正谢谢阅读1 2 nx(k1)x(k)x(k)(i=1,2,…,n)(4-15)iii式(3-20)和(3-21)也可以缩写为F(X(k))J(k)X(k)(4-16)和X(k1)X(k)X(k)(4-17),.式中的X和X分别是由n个变量和修正量组成的n维列向量；F(X)是由n个多元函数组成的n维列感谢阅读项量；J是n阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i、j个元素Jfi是第n个函数f(x,x,...,x,)ijxi12ni对第j个变量x的偏导数；上角标(k)表示J阵的每一个元素都在点f(x(k)1x(k)2...,x(k)n)处ji,,,取值。迭代过程一直到满足收敛判据,...,x(k)maxf(x(k),x(k))(4-18)i12n1或maxx(k)2(4-19)i为止。和为预先给定的小正数。122.2节点功率方程电力系统的负荷习惯用功率表示，对于有n个节点的电力系统，系统中各节点注入电流与注入功感谢阅读率以标幺值表示的关系为IS(PijQi)*Ui=1，2，……，n（3-20）U*ii式中表示其共轭复数。将此关系式代入节点电压方程的通式，可得到以节点注入功率表示的节点电压感谢阅读方程:(PjQ)n(3-21)iiUYUj1ijji上述的方程式，通常称为功率方程。根据方程中的节点电压向量表示的不同，可以得到不同形式的功精品文档放心下载率方程。若节点电压向量以直角坐标表示，即以复数平面上实轴与虚轴上的投影表示可写成精品文档放心下载Uejf（3-22）i i i,.其共轭值为Uiejf（3-23）ii导纳表示为YGjB（3-24）ijijij把这两关系式代回式（3-21）的功率方程中，展开后再将功率方程的实部和虚部分别写成有功、无功精品文档放心下载功率分离的节点方功率方程：nBf)fnPe(Ge(Gfiiijjijiiijjj1j1nBf)enQf(Ge(Gfiiijjijiiijjj1j1式中：i=1，2，……，n为各节点的编号。若节点电压以极坐标表示，则UUejii i或写成

Be)ij j Be)ijj

（3-25）UUcosjUsini i i i i将其同导纳的复数表达式一起代入式（3-21）的功率方程，进整理可以得到感谢阅读

（3-26）PUn(GcosBsin)Uiijijijijijj1（3-27）Uin(GijsinijBijcosijQiUj)j1式中： ——i与j节点电压的相角差。感谢阅读ij i j由式（3-25）和（3-27）给出的功率方程表示方法避免了复数运算，因此，在潮流计算中普遍采用。感谢阅读2.3修正方程采用牛顿法计算潮流时，需要对功率方程进行修改。下面将根据在不同坐标内的修改进行讨论：感谢阅读（1）在直角坐标系内时，由PQ节点功率方程（3-25）可知：节点i的注入功率是各点电压的函数，设节点的电压已知，代入式（3-25），可以求出节点i的有功及无功功率P,Q，它们与给定的PQ节感谢阅读i i点的注入功率P,Q的差值应满足以下方程is is,.nnPPPe(GeBf)f(GfBe)0Pjiisiisiijjijiiijijj（3-28）j1j1QQQQfn(GeBf)en(GfBe)0iisiisiijjijiiijjijjj1j1对于PV节点，已知节点的注入有功功率及节点电压大小，记作P,U，其节点的有功功率应满方程：谢谢阅读isisnnPPPe(GeBf)f(GfBe)0Piiisiisiijjijiijjijjj1j1（3-29）U2U2(e2f2)0iisii(im1,m2,.......,n1)对于平衡节点，因为其电压给定，故不需要迭代求解。e,f,e,f,,e,fnn共通过以上分析可见，式（3-28）和式（3-29）共2（n-1）个方程，待求量1122112（n-1）个。将上述2（n-1）个方程按泰勒级数展开，并略去修正量的高次方项后得到修正方程如下：感谢阅读WJU（3-30）QPQPU2PU2WPT11mmm1m1n1n1UPe11Q1e1Pem1QemJ1Pm1e1U2em11Pen11U2n1e1

efefefefT11mmm1m1n1n1PPPPPPP1111111fefefef1mmm1m1n1n1QQQQQQQf1e1f1e1f1e1f11mmm1m1n1n1PPPPPPPfmemfmemfmemfm1mmm1m1n1n1QQQQQQQfmemfmemfmemfmP1Pmmm1m1n1n1PPPPPm1m1m1m1m1m1m1fefefef1mmm1m1n1n1U2U2U2U2U2U2U2m1em1fm1em1m1m1fm1ffe1mmm1m1n1n1PPPPPPPfn1en1fn1en1fn1en1fn11mmm1m1n1n1U2U2U2U2U2U2U2n1n1n11n1n1n1n1fefefefm11mmm1n1n1其中雅克比矩阵的各元素可以对式（3-28）和式（3-29）求偏导数获得。对于非对角元素（ij）有精品文档放心下载PQ(GeBf)ifieijiijijjPiQiBeGffeijiijijjU2U20iiefjj对于对角元素（ij)有PnBf)GeBfi(Geieijjijjiiiiiij1Pni(GfBe)GfBefijjijjiiiiiiij1Qni(GfBe)BeGfeijjijjiiiiiiij1Qni(GeBf)GeBffijjijjiiiiiiij1Ui2e2eiiUi2fii由上述表达式可以看到，雅克比矩阵具有以下特点：

,.（3-31）（3-32）（1）各元素是各节点电压的函数，迭代过程中每迭代一次各节点电压都要变化，因而各元素每次也变化；感谢阅读（2）雅克比矩阵不具有对称性；（3）互导纳Y0Ui2Ui20，故雅克ij，与之对应的非对角元素亦为零，此外因非对角元素efjj比矩阵是稀疏矩。当在极坐标系内时，由功率方程（3-27）可知节点i的注入功率是各节点电压幅值和相角的函数。代入式（3-27）可以求出节点i的有功功率和无功功率，它们与给定的PQ节点的注入功率P,Q的感谢阅读is is差值满足下面方程：,.nPUU(GcosBsin)0Pijijiiijijij（3-33）j1QQUnU(GsinBcos)0iiijijijijijj1式中：——i与j节点电压的相角差。ijij在有n个节点的系统中，假定第1~m号节点为PQ节点，第m+1~n-1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。V和是给定的，PV节点的电压幅值Vm~Vn也是给定的，因此，只剩下n-1nn11个节点的电压相角,,,和m个节点的电压幅值V,V,V是未知量。由（3-33）可知一共12n112m包含了n-1+m方程式，正好同未知量的数目相等，而直角坐标形式的方程少了n-1-m个。由方程（3-33）可以写出修正方程PN(3-34)QKLV1VD2式中PQ111PP2Q22;Q;PQ（3-35）n1mn1V11VVV2;VD22VVmm阶方阵，其元素为ijP其中：H是(n1)(n1)i；N是(n1)m阶矩阵，其元素为PjNV；K是m(n1)阶矩阵，其元素为KQ是mm阶矩阵，其元素为ii；LijjVijijLQ。ViijjVj对式（3-33）求偏导数，可得雅克比矩阵元素的表达式如下：谢谢阅读非对角元素（ij）HVV(GsinBcos)ijijijijijijNBsinVV(Gcos（3-36）ijijijijijijKVV(GcosijBsin)ijijijijijLVV(GsinBcos)ijijijijijij,.对角元素（ij）HV2BQijiiiiNV2GPiiiiiiKV2GPiiiiiiLV2BQ（3-37）iiiiii2.4牛顿法潮流计算主要流程（1）形成节点导纳矩阵；（2）给各节点电压设初值；（3）将节点电压初值代入（3-28）（3-29），求出修正方程式的常数项向量；精品文档放心下载（4）将节点电压初值代入（3-31），（3-32），求出雅可比矩阵元素；感谢阅读（5）求解修正方程式（3-30），求出变量的修正向量 ；谢谢阅读（6）求出节点电压的新值；（7）如有PV节点，则检查该类节点的无功功率是否越限；感谢阅读（8）检查是否收敛，由式（3-19）可知，若电压趋近于真解时，功率偏移量将趋于零。如不收敛，则精品文档放心下载以各节点电压的新值作为初值自第3步重新开始下一次迭代，否则转入下一步。谢谢阅读（9）计算支路功率分布，PV节点无功功率和平衡节点注入功率，最后输出结果，并结束。谢谢阅读牛顿-拉夫逊潮流计算程序框图如图3-2所示,.数据输入节点编号优化形成导纳矩阵给定初值逐次迭代t=1i=1 t=t+1i>n否是求取修正电压否i=R否是收敛否收敛否求取修正方程式的增广矩阵输出i=i+1

不收敛,.三、收敛性分析小阻抗支路两端都是PQ节点时，其功率不平衡方程为：谢谢阅读小阻抗支路的电抗x非常小，它的电纳（1/x）非常大。且1/x的数值远大于上述方程组中出现的精品文档放心下载代数量，为了方便说明，不妨称这些代数量为小代数量。感谢阅读（1）第一次迭代,.忽略式（4.9）中的小代数量。设置初始电压，可得：谢谢阅读整理式（4.13）可得这样可得第一次迭代后节点电压虚部的关系：式（4.9）乘以k后，加上式(4.10)，设置初始电压为,可得:感谢阅读整理式（4.16）可得第一次迭代后节点电压实部的关系：谢谢阅读式（4.9）乘以k后，加上式(4.10)，设置初始电压为,可得:谢谢阅读式（4.11）乘以k后，加上式(4.12)，设置初始电压为,可得:精品文档放心下载综合式（4.15）、（4.17）可得，节点电压经过第一次迭代后满足收敛电压关系（3.14）。且可精品文档放心下载得新的功率不平衡方程组（4.14）、（4.17）、（4.18）和（4.19）。这些方程中并不存在小阻抗问题，潮感谢阅读流计算可正常收敛。（2）第二次迭代忽略式（4.9）中的小代数量，并将第一次迭代的结果式（4.15）、（4.17）代入，可得：谢谢阅读,.将式（4.15）代入式（4.20），可得忽略式（4.11）中的小代数量，并将第一次迭代的结果式（4.15）、（4.17）代入，可得：感谢阅读或者由式（4.21）、（4.23），可得四、算例分析采用3.4节的5节点系统算例来论证以上结论，收敛精度为。3种情形下的迭代结果分别如各表精品文档放心下载,.所示，表格中表示各个节点初给定值与计算值之间的最大差值。感谢阅读计算结果表明：采用改进算法后，3种情形下，节点5和节点2的电压值在各次迭代中保持关系：精品文档放心下载情形1对应的是小阻抗支路两端都为PQ节点的情况，采用常规直角坐标牛顿法计算该情形的潮流感谢阅读时，发散。采用改进方法，经过4次迭代后，收敛。情形2对应的是小阻抗支路处于PQ节点和PV节点间的情况，常规算法和改进算法都可收敛，切感谢阅读所需迭代次数相同。,.情形3对应的是小阻抗支路