因式分解经典讲义(精)

第二章分解因式【知识要点】1．分解因式〔1〕概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。〔2〕注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。③分解因式要分解到不能再分解为止。2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以，分解因式和整式乘法为_______关系。3．提公因式法分解因式〔1〕公因式：几个多项式__________的因式。〔2〕步骤：①先确定__________，②后__________________。〔3〕注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“〞号。4．运用公式法分解因式〔1〕平方差公式：_________________________〔2〕完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等根本方法，做为补充讲解内容。【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解析：〔1〕题先提一个“〞号，再提公因式；〔2〕题的公因式为；〔3〕题的公因式为；〔4〕题的公因式为。答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。【例2】〔1〕，，求的值。〔2〕，，求的值。解析：〔1〕题：，所以考虑整体代入求该代数式的值；〔2〕题：，整体代入求值时注意符号。答案：〔1〕〔2〕【随堂练习】1．分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2．不解方程组，求的值注：〔1〕公因式应按“系数大〔最大公约数〕，字母同，指数低〞的原那么来选取。〔2〕当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1，而不是没有。〔3〕当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“〞号。〔4〕利用分解因式整体代入往往应用于代数式的求值问题。考点二：利用平方差公式分解因式及其应用【例3】分解因式：〔1〕〔2〕解析：〔1〕题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式；〔2〕题：，所以符合平方差公式，此题注意分解完全。答案：〔1〕；〔2〕。【例4】计算：〔1〕；〔2〕.解析：〔1〕题：原式中每一个因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。〔2〕题：先化简，再使用平方差公式。答案：〔1〕；〔2〕。【例5】利用因式分解说明：能被整除。解析：对于符号相反的二项式，我们考虑使用平方差公式。此种题型应先将两项化为底数相同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。所以能被140整除。【随堂练习】1．分解因式：〔1〕〔2〕2.利用分解因式说明：能被60整除.注：〔1〕平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反；〔2〕公式中的可以是具体数，也可以是代数式；〔3〕在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用【例6】〔1〕分解因式：〔2〕是完全平方式，求的值。〔3〕计算：.解析：〔1〕题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解。〔2〕题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍〔或其相反数〕。〔3〕题：。答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕【例7】〔四川·成都〕，那么的值是________。解析：原式的前三项可以进行因式分解，分解为，再将变形为，整体代入求值。答案：1．【随堂练习】1．〔1〕分解因式：〔2〕假设多项式能运用完全平方差公式进行因式分解，求的值。〔3〕2．〔1〕：，，求代数式。〔2〕当时，求代数式的值。注：〔1〕完全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍〔或其相反数〕；〔2〕公式中的可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合利用各种方法分解因式及其应用【例8】分解因式：〔1〕〔2〕解析：〔1〕、〔2〕题都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。答案：〔1〕；〔2〕。【例9】〔福建·漳州〕给出三个多项式：，请选择你最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。解析：此题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。此题可任取两个多项式进行加法运算再因式分解。如：【例10】分别是三角形ABC的三边，试证明解析：分别是三角形ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于0，而最后一个因式小于0，那么有：【随堂练习】1．分解因式：〔1〕〔2〕2.〔2023，吉林〕在三个整式：中，请你任意选出两个进行加〔或减〕法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。注：分解因式的一般步骤可归纳为：“一提、二套、三查〞。一提：先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；二套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，假设为二项式，那么考虑用平方差公式；假设为三项式，那么考虑用完全平方公式。三查：分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底。【稳固提高】一、选择题1．以下从左到右的变形中，是分解因式的有〔〕①②③④⑥⑦=A、1个B、2个C、3个D、4个2．以下多项式能分解因式的是〔〕A、B、C、D、3．以下多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是〔〕A、B、C、D、4．是△ABC的三边，且，那么△ABC的形状是〔〕A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形5．如果是一个完全平方式，那么的值是〔〕A、B、C、D、6．多项式分解因式为，那么的值为〔 〕A、B、C、D、7．，那么的值是〔〕A、或B、C、D、或8．假设，那么是〔〕A、B、C、D、9．二次三项式可分解为两个一次因式的积，下面说法中错误的选项是〔〕A、假设，那么同取正号；B、假设，那么同取负号；C、假设，那么异号，且负的一个数的绝对值较大；D、假设，那么异号，且负的一个数的绝对值较大。10．，，，那么多项式的值为〔〕A、B、C、D、二、填空题11.分解因式：=.12．在括号前面填上“＋〞或“－〞号，使等式成立：13．假设是一个完全平方式，那么的值是；14．：，那么的值为_____________.15．△ABC的三边满足，那么△ABC的形状是__________.16.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是.17．假设，那么=___________.18．分解因式:________________________.(第16题图)19．假设，那么___________，___________.20．假设，那么___________.三、解答题21.分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕22．先分解因式，再求值：，求的值23．设，，，〔为大于零的自然数〕。探究是否为8的倍数，并用文字语言表达你所得到的结论。24．对于实数，定义一种新运算：，分解因式：25．阅读以下计算过程：99×99+199=992+2×99+1=〔99+1〕2=1002=104〔1〕计算：999×999+1999=____________=_____________=____________=_____________；9999×9999+19999=__________=_____________=____________=_____________。第三章分式【知识要点】1．分式的概念及特征：、表示两个整式，÷就可以表示成的形式，如果中含有字母，式子就叫做分式。2．分式有意义、无意义的条件：因为不能做除数，所以在分式中，有：那么有意义；那么无意义。3．分式值为零的条件：分式的值为零要同时满足：分母的值不为零，分式的值为零这两个条件。即那么有且。4.分式的符号法那么：＝＝＝5.分式的运算〔1〕同分母分式相加减，分母不变，只把分式相加减，即=〔2〕异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减，即==注：1.无论是探求分式有意义、无意义的条件，还是分式值等于零的条件，都将转化成解方程或不等式的问题。2.分式约分步骤：〔1〕找出分式的分子与分母的公因式，当分子分母是多项式时，要先把分式的分子和分母分解因式。〔2〕约去分子与分母的公因式。3.最简公分母确实定：〔1〕当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的积；〔2〕如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母。【考点分析】考点一：分式有意义、无意义、值等于零的条件〔重点〕【例1】〔2023，天津〕假设分式的值为零，那么的值等于。答案：评析：由于可得，解得或。又因为时，；时，。所以要使分式的值为零，的值只能等于。【随堂练习】1.假设分式的值为0，那么x的值等于。2.假设分式的值为零，那么x的值等于。考点二：分式的约分【例2】〔2023，吉林〕化简的结果是〔〕A．B．C.D.答案：Ｄ评析：观察题中所给分式，分子、分母都为多项式，且都能分解，因此应先将分子分母分解因式，再约去公因式。如注：1.在应用分式的根本性质时要充分理解＂都＂和＂同＂这两字的含义。2.约分的结果是最简分式或整式。【随堂练习】1.〔2023，太原〕化简的结果是〔〕A.B.C.D.2．化简)的结果是〔〕A.B.C.D.考点三：分式的加减运算〔重点〕【例3】〔2023，长沙〕分式的计算结果是〔〕A.B.C.D.答案：C评析：先通分化为同分母分式，再进行加法运算。+=+==注：1.同分母分式加减运算中的“把分子相加减〞是指把各个分式的“分子的繁体相加减，故当分子是多项式时，应加括号。2.通分和约分是两种截然不同的变形，约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；约分是将一个分式简化，通分是将一个分式化繁。【随堂练习】〔2023，杭州〕化简的结果是〔〕A.B.C.D.考点四：分式的乘除运算【例4】〔2023，天水〕，计算评析：因为，所以且,即原式==,当时，原式=注：先化简再求值，运算更简便，分式的乘除运算要进行到分式和分母不再有公因式为止。【随堂练习】化简1.2..考点五：分式的混合运算【例5】〔2023，常德〕化简：评析：原式==注：1.正确运用运算法那么；2.灵活运用运算规律；3.运算结果要最简化【随堂练习】〔2023，泸州〕化简：考点六：条件分式求值的常用技巧〔难点〕【例6】，那么分式的值为答案:评析:由条件不能直接求出的值，所以考虑将条件向着所求代数式的方向进行变形转化，通过整体代换解决问题。由,可得,所以,所以原式===注：条件分式求值主要方法有：1.参数法：当条件形如所要求值的代数式是一个含而又不易化简的分式时，常设〔就是我们所说的参数〕，然后将其变形为的形式，再代入所求代数式，约分即可。2.整体代换法：假设由条件不能直接求分式中字母的值，可考虑把条件和所求代数式进行适当的变形，然后整体代换，可使问题得到解决．【随堂练习】，求代数式的值假设，那么的值【稳固提高】一、选择题1．〔2023，荆门〕计算：的结果是〔〕A.B.C.D.2．〔2023,威海〕化简)的结果是〔〕A.B.C.D.3．假设，那么等于〔〕A.B.C.D.4．〔2023,河北〕化简的结果是〔〕A.B.C.D.5．〔2023,陕西〕化简的结果是〔〕A.B.C.D.二、填空题6．计算：7．〔2023，漳州〕假设分式无意义，那么实数8．〔2023，黄冈〕当x=2023时，代数式的值为9．在以下三个不为零的式子：中，任选两个组成一个分式是把这个分式化简所得结果是三、解答题10．(2023,烟台)先化简，再求值：，其中11．(2023,贵阳)先化简：，当时，再从的范围选取一个适宜的整数代入求值。12．〔表格信息题〕按以下图的程序计算，把答案写在表格内：→平方→〔〕→→〔〕→答案〔1〕填写表格输入输出答案〔2〕请将题中的计算程序用代数式表达出来，并化简。13．〔条件开放题〕请从以下三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式：第四章相似三角形【知识要点】1．相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。注：〔1〕两个全等三角形一定相似〔2〕两个直角三角形不一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。〔3〕两个等腰三角形不一定相似。两个等边三角形一定相似。2．相似比〔1〕相似三角形对应边的比叫做相似比。〔2〕面积比等于相似比的平方。注：相似比要注意顺序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比，而∽△ABC的相似比，这时。3．相似三角形的识别〔1〕如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。〔2〕如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。〔3〕如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。【考点分析】考点一：相似三角形的判定【例1】如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有〔〕对。解析：由平行线的性质，，可知∥，，，再由相似三角形判定定理一，可得有四组三角形相似。答：4对。【随堂练习】1．如图，：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，∠B＝60°∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形，分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；假设不能，说明理由。考点二：相似三角形的识别、特征在解题中的应用【例2】〔2023·广东省〕如下图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。〔1〕求证：△CDE∽△FAE；〔2〕当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE，又E为AD中点∴DE＝AE，从而CD＝FA，结合条件，易证BF＝BC，∠F＝∠BCF〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE〔2〕∵E是AD中点，∴DE＝AE由〔1〕得：∴CD＝AF∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD∴AB＝CD＝AF∴BF＝2CD，又BC＝2CD∴BC＝BF∴∠F＝∠BCF注：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。【随堂练习】1．：如图(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC分别交AB，DC于E，F。求证：(1)OE=OF;(2);(3)假设MN为梯形中位线，求证AF∥MC。考点三：未知数的设定应用【例3】在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，〔1〕是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；〔2〕假设AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，那么AP的长度为多少？解析：〔1〕存在〔2〕假设△ADP∽△BCP，那么设或或或∴AP长度为4或6【随堂练习】1．如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。考点四：直角三角形相似的比例关系【例4】：如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。求证：(1)；(2);(3)解析：〔1〕掌握根本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D〞中的常用结论。①勾股定理：②面积公式：AC·BC=AB·CD③三个比例中项：,,④⑤〔2〕灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等。〔3〕学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法，以及中间等量代换。第〔1〕题：证法一∵∴证法二∵,∴第〔2〕题：证法一∵，利用ΔBDF∽ΔDAE，证得，命题得证。证法二由得证法三∵∽，∴(相似三角形对应高的比等于对应边的比)∵DE∥BC，∴∴第〔4〕题：证法一∵,∴，∴证法二：∵ΔADC∽ΔCDB，∴∴·证法三：∵，∴【随堂练习】1．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，设，，作DE⊥DC，DE交AB于点E，连结EC。〔1〕试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似？假设相似，请加以证明。〔2〕如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？FADEBC【稳固提高】1.如图，DE∥BC，CD和BE相交于O，假设，那么AD：DB＝____________。2.如图，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，假设△ABC的面积为S，那么△ADE的面积为____________。3.假设正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，那么此正方形的边长为____________。〔2000年武汉市中考题〕4.阅读下面的短文，并解答以下问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：，设分别表示这两个正方体的外表积，那么，又设分别表示这两个正方体的体积，那么。〔1〕以下几何体中，一定属于相似体的是〔〕A.两个球体 B.两个圆锥体C.两个圆柱体D.两个长方体〔2〕请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段〔或弧〕长的比等于____________；②相似体外表积的比等于____________；③相似体体积的比等于____________。〔2001年江苏省泰州市中考题〕5.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高〔〕A.11.25m B.6.6m C.8m6.如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC＝∠A，，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，那么CD的长是〔〕A. B. C. D.7.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有〔〕A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD〔2001年杭州市中考题〕8.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，那么等于〔〕A.1：9：36 B.1：4：9C.1：8：27 D.1：8：369.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求证：10.如图，△ABC中，D