人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第31讲 3.3.2抛物线的简单几何性质（含解析）

第06讲3.3.2抛物线的简单几何性质课程标准学习目标①理解与掌握抛物线的几何性质。②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。通过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题知识点01：抛物线的简单几何性质标准方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）图形范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称轴SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0轴焦点坐标SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0准线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0顶点坐标SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0通径长SKIPIF1<0知识点02：直线与抛物线的位置关系设直线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,抛物线:SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当SKIPIF1<0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当SKIPIF1<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若SKIPIF1<0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【详解】直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0内部，∴直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交，故选：A．知识点03：直线和抛物线1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为SKIPIF1<0.2、抛物线的焦点弦过抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点SKIPIF1<0的一条直线与它交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.【即学即练2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，其焦点SKIPIF1<0到其准线的距离为SKIPIF1<0，过焦点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程及其焦点坐标；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0；（2）8.【详解】解：（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到其准线的距离为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0.（2）过焦点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.说明：抛物线的焦半径公式如下：（SKIPIF1<0为焦准距）（1）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴负半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（4）焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴负半轴，抛物线上任意一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型01抛物线的简单性质【典例1】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）抛物线C与抛物线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，则抛物线C的准线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵抛物线C与抛物线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，∴抛物线C的方程为SKIPIF1<0，∴抛物线C的准线方程是SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）对抛物线SKIPIF1<0，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为SKIPIF1<0 B．开口向上，焦点为SKIPIF1<0C．开口向右，焦点为SKIPIF1<0 D．开口向右，焦点为SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题知，该抛物线的标准方程为SKIPIF1<0，则该抛物线开口向上，焦点坐标为SKIPIF1<0.故选：A.【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是SKIPIF1<0；（2）准线方程是SKIPIF1<0；（3）焦点到准线的距离是SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在SKIPIF1<0轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0；（2）由题意可知抛物线的焦点在SKIPIF1<0轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0；（3）抛物线的焦点到准线的距离为SKIPIF1<0，所以，抛物线的标准方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）对抛物线SKIPIF1<0，下列描述正确的是A．开口向上，焦点为SKIPIF1<0 B．开口向上，焦点为SKIPIF1<0C．开口向右，焦点为SKIPIF1<0 D．开口向右，焦点为SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为抛物线SKIPIF1<0，可知化为标准式为抛物线SKIPIF1<0，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为SKIPIF1<0，选B【变式2】（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）若抛物线SKIPIF1<0的焦点与双曲线SKIPIF1<0的右焦点重合，则SKIPIF1<0的值．【答案】6【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线SKIPIF1<0的SKIPIF1<0右焦点坐标为SKIPIF1<0，因此可知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0,故答案为6题型02直线与抛物线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0，l与SKIPIF1<0有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条【答案】C【详解】联立直线SKIPIF1<0和抛物线SKIPIF1<0方程可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，直线l与SKIPIF1<0有一个公共点等价于方程只有一个实数根，当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0仅有一解，符合题意；当SKIPIF1<0时，一元二次方程SKIPIF1<0仅有一解，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以满足题意得直线有三条，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若经过点SKIPIF1<0的直线与抛物线SKIPIF1<0恒有公共点，则C的准线可能是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】由题意得，点SKIPIF1<0在抛物线上或其内部，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴其准线为SKIPIF1<0.故选:BD．【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知M是抛物线SKIPIF1<0上一点，则点M到直线SKIPIF1<0的最短距离为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，则点M到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取等号.故答案为：SKIPIF1<0【典例4】（2023秋·广西北海·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，其准线方程为SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)不过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于不同的两点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）准线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经检验，当SKIPIF1<0时，直线过坐标原点，不合题意，又SKIPIF1<0，符合题意；综上，m的值为SKIPIF1<0．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且仅有一个交点，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【详解】联立SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，交点为SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上可知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C【变式2】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个交点，则SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】BD【详解】联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个交点，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：BD.【变式3】（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知拋物线SKIPIF1<0的一条切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的准线方程为．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则抛物线方程为：SKIPIF1<0，所以抛物线的准线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，设直线l同时与椭圆和抛物线SKIPIF1<0各恰有一个公共交点，求直线l的方程．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】由题，直线SKIPIF1<0的斜率存在，并设方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型03抛物线的弦长【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点，且弦SKIPIF1<0被点SKIPIF1<0平分.(1)求直线SKIPIF1<0的方程；(2)求弦SKIPIF1<0的长度.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）联立方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求线段AB的长．【答案】SKIPIF1<0．【详解】解：抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，将直线方程代入到抛物线方程中，得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由一元二次方程根与系数的关系得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以弦长SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）已知动圆SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)过点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交轨迹SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0，由动圆SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故动点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【变式2】（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求弦长SKIPIF1<0.【答案】(1)2；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为2.（2）由（1）知，抛物线SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型04抛物线的中点弦和点差法【典例1】（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0引抛物线的一条弦，使它恰在点SKIPIF1<0处被平分，则这条弦所在的直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为MN的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知抛物线SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意，在抛物线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由几何知识得，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故抛物线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）由题意及（1）得，直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，经检验，满足题意.【变式1】（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点SKIPIF1<0，若抛物线SKIPIF1<0的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在抛物线内部（含焦点的部分），设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）已知顶点在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上的抛物线过点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点SKIPIF1<0，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以抛物线的标准方程为SKIPIF1<0，（2）抛物线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在抛物线内部，可以为弦的中点．设点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在抛物线上，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0．经检验，直线SKIPIF1<0符合题意.题型05抛物线的焦点弦【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0向抛物线SKIPIF1<0的准线作垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．18 D．20【答案】B【详解】依题意抛物线的准线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0，则焦点为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点SKIPIF1<0的距离比它到y轴的距离大1．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且SKIPIF1<0，求直线l的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【详解】（1）由题意动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的距离和它到直线SKIPIF1<0的距离相等，所以，曲线C是以F为焦点，直线SKIPIF1<0为准线的抛物线（去掉顶点），SKIPIF1<0，所以曲线C的轨迹方程是SKIPIF1<0；（2）若直线SKIPIF1<0斜率不存在，则SKIPIF1<0不合题意，因此直线SKIPIF1<0斜率存在，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，代入曲线C方程整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，记SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与抛物线SKIPIF1<0的准线相切．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)记抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，依题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）过抛物线SKIPIF1<0的焦点且倾斜角为SKIPIF1<0的直线被抛物线截得的弦长为.【答案】SKIPIF1<0【详解】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)求C的方程；(2)若斜率为SKIPIF1<0的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段SKIPIF1<0的长度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，上故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，

联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．

∴SKIPIF1<0，故线段SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0．【变式3】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0关于抛物线SKIPIF1<0的准线的对称点为SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率为4直线SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0关于抛物线SKIPIF1<0的准线的对称点为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与抛物线方程联立，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0题型06抛物线的定值、定点、定直线问题【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0在第一象限部分的切线，切点为A，F为SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的面积为1．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于C，D两点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直线MN恒过定点SKIPIF1<0．【详解】（1）由题，SKIPIF1<0，设切点SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的坐标代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由题意可知，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0斜率都存在且均不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为CD中点，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，直线MN的方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以，直线MN恒过定点SKIPIF1<0．【典例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到焦点的距离为3.

(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)设SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上除SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点外的任意一点，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，分别与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)定值为64【详解】（1）根据抛物线的定义，SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离为3，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴抛物线的焦点坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线方程设为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的纵坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点纵坐标之积为定值，且定值为64.【典例3】（2023·广西·统考一模）已知抛物线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，倾斜角为45°的直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的焦点且与SKIPIF1<0相切．(1)求p的值：(2)点M在SKIPIF1<0的准线上，动点A在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在A点处的切线l2交y轴于点B，设SKIPIF1<0，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析，定直线方程为SKIPIF1<0.【详解】（1）由题得抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，设直线l1的方程为SKIPIF1<0，由已知得圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为直线l1与圆SKIPIF1<0相切，所以圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．所以SKIPIF1<0.（2）依题意设SKIPIF1<0，由（1）知抛物线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设ASKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则以A为切点的切线l2的斜率为SKIPIF1<0所以切线l2的方程为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，即l2交y轴于B点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设N点坐标为（x，y），则SKIPIF1<0，所以点N在定直线SKIPIF1<0上．

【变式1】（2023春·河北·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线交曲线E于点M、N，点SKIPIF1<0为直线l：SKIPIF1<0上一动点．问是否存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为正三角形？若存在，求出点SKIPIF1<0坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为点B在抛物线SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以曲线E的方程为SKIPIF1<0．（2）假设存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为正三角形．当MN垂直于y轴时，不符合题意；当MN不垂直于y轴时，设直线MN：SKIPIF1<0，MN的中点为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为正三角形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，PK：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0所以存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为正三角形．

【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，纵坐标为2的点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，以SKIPIF1<0为圆心、SKIPIF1<0为半径的圆交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【详解】（1）由题知，SKIPIF1<0点的横坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.

（2）由（1）知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：SKIPIF1<0（p>0），过点SKIPIF1<0的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,消元得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由弦长公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，同理，直线SKIPIF1<0方程为