第19章《几何证明（一）-证明》知识讲练（教师版）

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：几何证明

1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.易错点拨：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题.其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善

易错点拨：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.知识点02：线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.MNMNBAP∴PA=PB（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.易错点拨：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.ABABODEP如图：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.易错点拨：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.知识点03：轨迹

1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.易错点拨：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.易错点拨：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•徐汇区期末）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等解：A、对顶角相等，正确，是真命题；B、等角的补角相等，正确，是真命题；C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题；D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题．故选：D．2．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（）A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D．关于某一条直线对称的两个三角形全等解：A、逆命题为到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，此逆命题为真命题；B、逆命题为如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形，此逆命题为真命题；C、逆命题为三边对应相等的三角形全等，此逆命题为真命题；D、逆命题为两个全等三角形关于某直线对称，此逆命题为假命题．故选：D．3．（2分）（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A、在Rt△ACE中，AE＝2CE，故本选项正确；B、∠B＝∠CAE正确，故本选项错误；C、∵∠DEA＝90°﹣30°＝60°，2∠B＝2×30°＝60°，∴∠DEA＝2∠B，故本选项错误；D、在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故本选项错误．故选：A．4．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、AC的距离相等，且S△ABH＝S△BCH，点H是（）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点解：如图：∵AD平分∠BAC，点H在AD上，∴点H到AB、AC的距离相等，∵BE是AC边上的中线，∴S△ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE，∴S△ABE﹣S△AHE＝S△BCE﹣S△CHE，∴S△ABH＝S△CBH，∴点H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，故选：A．5．（2分）（2022秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE是AB边上的高，AD与CE交于点F，过点D作DG∥CE交边AB于点G，联结CG交AD于点H，则下列结论中，不一定成立的是（）A．CD＝DG B．CF＝DG C．FH＝DH D．EF＝EG解：∵CE是AB边上的高，∴CE⊥AB，∵DG∥CE，∴DG⊥AB，∵∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，∴CD＝DG，故A结论正确；∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AGD（HL），∴AC＝AG，∴AD垂直平分CG，∴CH＝HG，∵DG∥CE，∴∠FCH＝∠DGH，∠CFH＝∠GDH，∴△CFH≌△GDH（AAS），∴CF＝DG，FH＝DH，故C结论正确；∴CD＝CF，故B结论正确；∴D结论不一定正确．故选：D．6．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）下列说法错误的是（）A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 B．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆 C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线 D．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，A正确；到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，B正确；到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，C正确；等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），D错误，故选：D．7．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；③关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题为全等的两个三角形关于某条直线对称，错误，是假命题，不符合题意；④等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意．真命题有2个，故选：B．8．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若x＝y，则x2＝y2解：A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；D、逆命题为若x2＝y2，则x＝y，错误，是假命题，符合题意．故选：D．9．（2分）（2022秋•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是（）A．等边三角形的三个内角都等于60° B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D．相等的两个角是对顶角解：A、逆命题为三个内角都等于60°的三角形为等腰三角形，正确，是真命题，不符合题意；B、逆命题为对应角相等的两个三角形全等，错误，为假命题，符合题意；C、逆命题为三边对应相等的两个三角形全等，正确，为真命题，不符合题意；D、逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意，故选：B．10．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC不可能为7，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•宝山区期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，如果DE＝1，△ABC的面积是6，则△ABC的周长是12．解：过D点作DF⊥AB于F，DH⊥AC于H，连接AD，∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴DF＝DE＝1，DH＝DE＝1，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD＝×AB×1+×BC×1+×AC×1＝（AB+BC+AC）＝6．∴AB+BC+AC＝12，即△ABC的周长是12．故答案为：12．12．（2分）（2022秋•徐汇区期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以点P为圆心，以4cm长为半径的圆．解：到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．13．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为6．解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分角BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴△ABD的面积：△ADC的面积＝AB：AC，∵△ABD的面积为9，∴△ADC的面积为6，故答案为：6．14．（2分）（2022秋•普陀区期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等，故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝8，则PD＝4．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴∠POD＝∠POC，PD＝PH，∵PC∥OA，∴∠POD＝∠CPO，∠PCH＝∠AOB＝60°，∴∠CPO＝∠POC，∴PC＝OC＝8，在Rt△PCH中，∵∠PCH＝60°，∴CH＝PC＝4，∴PH＝CH＝4，∴PD＝4．故答案为：4．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，等边△ABC中，点E为高AD上的一动点；以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝30°．解：在等边△ABC中，AD为高，则AB＝BC，∠ABC＝60°，∠BAE＝30°，在等边△BEF中，BE＝BF，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°故答案为：30°．17．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，如果AD＝DE，且∠BDE＝2∠ABC，那么∠CDE的度数是36°．解：∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵DE⊥BC，AD＝DE，在Rt△ADB和Rt△EDB中，，∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL），∴∠ADB＝∠BDE，∵∠BDE＝2∠ABC，∴∠ADB＝∠BDE＝2∠ABC，∵∠A＝∠BED＝90°，∴∠ABC+∠ADE＝180°，∴BDE+2∠BDE＝180°，∴∠BDE＝72°，∴∠CDE＝180°﹣2×72°＝36°，故答案为：36°．18．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，AD＝12，BC＝17，则线段BH的长为13．解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD＝BD，∠ADB＝BEA＝90°．∵∠2＝∠AHE，∠1+∠2＝90°，∠3+∠AHE＝90°，∴∠1＝∠3（等角的余角相等）在△ADC和△BDH中，，∴△ADC≌△BDH（ASA），∴BH＝AC，∵BC＝17，AD＝12，∴CD＝17﹣12＝5，在Rt△ACD中，AC＝＝13，∴BH＝AC＝13．故答案为13．19．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝40°，DE是AB的垂直平分线，那么∠DBC＝30度．解：∵AB＝AC，且∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝＝70°，又DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：3020．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为2α﹣180°或180°﹣2α．（用含α的代数式表示）解：分两种情况：①如图所示，当∠BAC≥90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；②如图所示，当∠BAC＜90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α．故答案为：2α﹣180°或180°﹣2α．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•黄浦区月考）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．证明：∵AD垂直平分BC，∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BC平分∠ACF，∴∠FCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠FCB，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）∴BE＝CF．22．（6分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点．（1）求证：∠PBH＝∠PCG；（2）如果∠BAC＝90°，求证：点E在AP的垂直平分线上．（1）证明：∵AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，PH⊥AB，∴PH＝PG，∵PE垂直平分边BC，∴PB＝PC，在Rt△PBH和Rt△PCG中，，∴Rt△PBH≌Rt△PCG（HL），∴∠PBH＝∠PCG；（2）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠PBH＝∠PCG，∴∠PBH+∠ABC+∠PCB＝∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∵PE垂直平分边BC，∴BE＝CE，∴PE＝AE＝BC，∴点E在AP的垂直平分线上．23．（8分）（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）求证：CD＝CE．证明：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°，∴△ACB是直角三角形；（2）方法1：过C点作CF∥AM，交AB于F．∵AM∥BN，CF∥AM，∴CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE，∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE，∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC，∴AF＝CF＝FB，∴F为AB的中点，又CF∥AD∥BE，根据平行线等分线段定理得到C为DE中点，∴CD＝CE．方法2：在AB上截取AF＝AD，则△ADC≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠ADC，CF＝CD，∴∠BFC＝∠BEC，则△FBC≌△EBC（AAS），∴CE＝CF，∴CD＝CE．24．（8分）（2022秋•青浦区校级期末）已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE交于H，DA＝DB，BH＝AC，点F为BH的中点，DC＝DF．（1）求证：△ADC≌△BDH；（2）求证：∠ABE＝15°．证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDH＝90°，在Rt△ADC和Rt△BDH中，，∴Rt△ADC≌Rt△BDH（HL）．（2）∵∠BDH＝90°，点F为BH的中点，∴DF＝HF＝BH，∵Rt△ADC≌Rt△BDH，∴DC＝DH，∵DC＝DF，∴DH＝HF＝DF，∴∠DHB＝60°，∴∠DBH＝30°，∵DA＝DB，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBH＝15°．25．（8分）（2020秋•浦东新区月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，∴PQ＝PT，PS＝PT，∴PQ＝PS，∴AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE＝∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED＝∠AEC＝90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE＝ED．26．（8分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD于F，BE＝CF．（1）求证：点D为BC的中点；（2）若BC＝2AC，求证：AF＝ED．证明：（1）∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝∠BED＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△CDF≌△BDE（AAS）∴CD＝BD．∴D为BC的中点；（2）∵BC＝2AC，CD＝DB，∴CA＝CD，∵CF⊥AD，∴AF＝DF，∵△CDF≌△BDE，∴DF＝DE，∴AF＝DE．27．（8分）（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP＝NP；（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，∵MD∥BC，∴∠MDP＝∠NBP，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵MD∥BC，∴∠