浙教版九年级上期中数学常考试题60题

【文库独家】浙教版九年级（上）期中数学常考试题60题一、选择题（共20小题）1．（常考指数：59）二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）2．（常考指数：61）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣﹣BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）A．B．C．D．3．（常考指数：65）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞14．（常考指数：68）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（常考指数：73）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（）A．35°B．55°C．65°D．70°6．（常考指数：78）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cmB．cmC．D．7．（常考指数：108）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm8．（常考指数：63）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x…﹣1013…y…﹣3131…A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间9．（常考指数：87）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（常考指数：61）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个11．（常考指数：15）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（）x﹣2﹣10123y﹣40220﹣4A．﹣1＜x＜2B．x＞2或x＜﹣1C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣112．（常考指数：85）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣213．（常考指数：28）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点14．（常考指数：51）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．15．（常考指数：108）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．16．（常考指数：55）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．17．（常考指数：60）将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（）A．B．C．D．18．（常考指数：60）气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（）A．本市明天将有80%的地区降水B．本市明天将有80%的时间降水C．明天肯定下雨D．明天降水的可能性比较大19．（常考指数：78）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．20．（常考指数：40）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A．2：1B．1：2C．3：2D．2：3二、填空题（共20小题）21．（常考指数：22）如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比_________．22．（常考指数：37）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为_________．23．（常考指数：38）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）_________．24．（常考指数：43）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为_________cm．25．（常考指数：44）反比例函数y=的图象经过点（2，1），则m的值是_________．26．（常考指数：44）如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么这个圆锥的侧面积是_________cm2（结果保留π）．27．（常考指数：44）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为_________．28．（常考指数：53）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65度．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器_________台．29．（常考指数：61）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是_________．30．（常考指数：64）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k=_________．31．（常考指数：65）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是_________m．32．（常考指数：32）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．正确的说法有_________．（请写出所有正确的序号）33．（常考指数：79）在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为_________m．34．（常考指数：59）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是_________．35．（常考指数：50）一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是_________．36．（常考指数：37）有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为_________．37．（常考指数：47）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是_________个．38．（常考指数：87）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________．39．（常考指数：42）如图（1），用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD、若AE=4，CE=3，那么这个四边形的面积是_________．40．（常考指数：39）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2008在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长=_________；△A1B2A2的边长=_________；△A2007B2008A2008的边长=_________．三、解答题（共20小题）41．（常考指数：39）已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？42．（常考指数：39）如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．43．（常考指数：42）如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．44．（常考指数：42）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．45．（常考指数：49）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．46．（常考指数：53）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．47．（常考指数：56）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？48．（常考指数：60）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？49．（常考指数：64）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．50．（常考指数：65）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．求：（1）反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出反比例函数的值＞一次函数的值的x的取值范围．51．（常考指数：68）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？52．（常考指数：74）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．53．（常考指数：62）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．54．（常考指数：31）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此商品的日销售单价x（单位：元）与日销售数量y（单位：张）之间有如下关系：销售单价x（元）3456日销售量y（元）20151210（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2）确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设销售此贺卡的日纯利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定该贺卡售价最高不超过10元/张，请你求出日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？55．（常考指数：45）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．56．（常考指数：33）如图，小丽在观察某建筑物AB．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影；（2）已知小丽的身高为1.65m，在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m，求建筑物AB的高．57．（常考指数：43）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．58．（常考指数：61）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．59．（常考指数：38）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣5）和（﹣2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．60．（常考指数：82）附加题：已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

浙教版九年级（上）期中数学常考试题60题参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．（常考指数：59）二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：直接根据抛物线的顶点式的特点即可确定顶点坐标．解答：解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴其顶点坐标是（1，3）．故选：A．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．2．（常考指数：61）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣﹣BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：动点型．分析：依题意，可以知道路程逐渐变大，然后从B到O中逐渐变小直至为0．则可以知道A，B，D不符合题意．解答：解：本题考查函数图象变化关系，可以看出从O到A逐渐变大，而弧AB中的半径不变，从B到O中OP逐渐减少直至为0．故选：C．点评：应抓住s随t变化的本质特征：从0开始增大，到达边线后不变，然后到达B点后开始减小直到0．3．（常考指数：65）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞1考点：二次函数的图象．分析：根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．解答：解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），又图象开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．故选：B．点评：主要考查了二次函数图象的对称性．要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标．4．（常考指数：68）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．点评：此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．5．（常考指数：73）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（）A．35°B．55°C．65°D．70°考点：圆周角定理．分析：在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．解答：解：∵∠D=35°，∴∠AOC=2∠D=70°，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=110°÷2=55°．故选：B．点评：本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．6．（常考指数：78）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cmB．cmC．D．考点：垂径定理；勾股定理．分析：在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．解答：解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2cm．故选：C．点评：注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．7．（常考指数：108）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm考点：弧长的计算．专题：几何图形问题．分析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．解答：解：弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．故选：C．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．8．（常考指数：63）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x…﹣1013…y…﹣3131…A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．专题：图表型．分析：根据题意列出方程组，求出二次函数的解析式；根据二次函数的性质及与一元二次方程的关系解答即可．解答：解：由题意可得，解得，故二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+1．因为a=﹣1＜0，故抛物线开口向下；又∵c=1＞0，∴抛物线与y轴交于正半轴；当x=4时，y=﹣16+12+1=﹣3＜0；故A，B，C错误；方程ax2+bx+c=0可化为﹣x2+3x+1=0，△=32﹣4×（﹣1）×1=13，故方程的根为x===±，故其正根为+≈1.5+1.8=3.3，3＜3.3＜4，故选：D．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，及二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度不大．9．（常考指数：87）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定．分析：由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．解答：解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．10．（常考指数：61）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解答：解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得x=5；第二种是，解得x=．所以可以有2个．故选：B．点评：本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．11．（常考指数：15）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（）x﹣2﹣10123y﹣40220﹣4A．﹣1＜x＜2B．x＞2或x＜﹣1C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1考点：二次函数的图象．专题：图表型．分析：观察表格可知，函数值y由：负数﹣零﹣正数﹣零﹣负数变化，由此可发现y＞0时，x的取值范围．解答：解：由列表可知，当x=﹣1或x=2时，y=0；所以当﹣1＜x＜2时，y的值为正数．故选：A．点评：此题考查学生读表获取信息的能力，要认真观察．12．（常考指数：85）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．解答：解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=（x﹣1）2+2．故选：A．点评：此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13．（常考指数：28）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点考点：抛物线与x轴的交点．分析：因为x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．解答：解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．故选：A．点评：解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y轴相交．14．（常考指数：51）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选：D．点评：主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．15．（常考指数：108）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．专题：网格型．分析：本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．解答：解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．点评：此题考查三角形相似判定定理的应用．16．（常考指数：55）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．解答：解：袋中共有5+3=8（个）两种不同颜色的球，随机从袋中取一个球的所有可能结果为m=8，取到黄球的结果n=3，所以P（取到黄球）=．故选：C．点评：此题考查对概率意义的理解及概率的求法，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．17．（常考指数：60）将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式；勾股定理的逆定理．分析：本题是一个由三步才能完成的事件，共有6×6×6=216种结果，每种结果出现的机会相同，a，b，c正好是直角三角形三边长，则它们应该是一组勾股数，在这216组数中，是勾股数的有3，4，5；3，5，4；4，3，5；4，5，3；5，3，4；5，4，3共6种情况，因而a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是．解答：解：P（a，b，c正好是直角三角形三边长）=．故选C．点评：用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；3，5.4为三角形三边的三角形是直角三角形．18．（常考指数：60）气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（）A．本市明天将有80%的地区降水B．本市明天将有80%的时间降水C．明天肯定下雨D．明天降水的可能性比较大考点：概率的意义．分析：根据概率的意义找到正确选项即可．解答：解：本市明天降水概率是80%，只说明明天降水的可能性比较大，是随机事件，A，B，C属于对题意的误解，只有D正确．故选：D．点评：关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．19．（常考指数：78）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：代数几何综合题．分析：根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．解答：解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2即s=x2+（1﹣x）2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选：B．点评：本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．20．（常考指数：40）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A．2：1B．1：2C．3：2D．2：3考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理；直角梯形．专题：几何综合题．分析：先设DE与MN交于点F，由于MN是AD、BC的中点，所以根据梯形中位线定理，可知MN∥AB，在△ADE中，MF∥AE，M是AD中点，根据平行线分线段成比例定理，可知F也是DE中点，利用三角形中位线定理，可知AE=2MF，又由于△ADE沿DE翻折，MN重合，可知MF=NF，在根据四边形FEBN是矩形，可知NF=BE，那么就可求出AE：BE的值．解答：解：设DE与MN交于点F，∵M、N分别是AD、CB上的中点，∴MN∥AB，又∵M是AD的中点，∴MF=AE，又∵M、N重合，∴NF=BE，MF=NF，∴AE：BE=2MF：NF=2：1，故选：A．点评：考查综合运用梯形、三角形中位线定理及矩形、平行线分线段成比例定理等相关知识解决问题的能力．二、填空题（共20小题）21．（常考指数：22）如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比4：5．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先证△AEF∽△ABC，相似比是2：3，根据相似三角形性质，可求面积的比是4：9，故可求△AEF与梯形BCFE的面积比．解答：解：AE=2BE，AB=3BE，则，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，相似比是2：3，面积的比是相似比的平方，因而面积的比是4：9，设△AEF的面积是4a，则△ABC的面积是9a，则梯形BCFE的面积是5a，因而△AEF与梯形BCFE的面积比4：5．点评：本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．22．（常考指数：37）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．考点：抛物线与x轴的交点．专题：图表型．分析：根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，6）、（1，6）两点，∴对称轴x==；点（﹣2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．点评：本题考查了二次函数的对称性．23．（常考指数：38）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）（8+4）π．考点：弧长的计算；菱形的性质．分析：本题中中心O所经过的路径总长是几段弧长，根据弧长公式即可得．但本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转36次，就是这样的12个弧长的总长．依此计算即可得．解答：解：第一、二次旋转的弧长和=+=2×，第三次旋转的弧长=，∵36÷3=12，故中心O所经过的路径总长=12（2×+），=（8+4）π．点评：本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．24．（常考指数：43）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为5cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出．解答：解：由垂径定理OC⊥AB，则AC=BC=AB=4cm在Rt△ACO中，AC=4，OC=3，由勾股定理可得AO==5（cm），即⊙O的半径为5cm．故答案为：5．点评：本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．25．（常考指数：44）反比例函数y=的图象经过点（2，1），则m的值是1．考点：待定系数法求反比例函数解析式．专题：函数思想．分析：把已知点的坐标代入可求出k值，k=m+1，则m的值即可求出．解答：解：将点（2，1）代入解析式y=可得：m+1=2，所以m=1．故答案为：1．点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．26．（常考指数：44）如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么这个圆锥的侧面积是18πcm2（结果保留π）．考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×6=18πcm2．点评：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．27．（常考指数：44）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为（6，0）．考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．分析：过点P作PM⊥AB于M，则A，B两点一定关于PM对称．即可求解．解答：解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）．又∵A的坐标为（2，0），∴OA=2，AM=OM﹣OA=2，∵A，B两点一定关于PM对称．∴MB=AM=2，∴OB=OM+MB=4+2=6，则点B的坐标是（6，0）．点评：本题主要考查了圆的轴对称性，经过圆心的直线就是圆的对称轴．28．（常考指数：53）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65度．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．考点：圆周角定理．专题：应用题．分析：根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°，则共需安装360°÷130°≈3．解答：解：∵∠A=65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°，∴共需安装360°÷130°≈3．点评：此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．29．（常考指数：61）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是﹣1．考点：二次函数的图象．分析：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．解答：解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．点评：主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1=0，利用这两个条件即可求出a的值．30．（常考指数：64）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k=28．考点：垂径定理；待定系数法求反比例函数解析式．分析：先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．解答：解：连接PM，作PQ⊥MN，根据勾股定理可求出PQ=4，根据圆中的垂径定理可知点OQ=|﹣4﹣3|=7，所以点P的坐标为（﹣4，﹣7），则k=28．点评：主要考查了圆中有关性质和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．31．（常考指数：65）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是10m．考点：二次函数的应用．分析：成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．解答：解：当y=0时，﹣x2+x+=0，解之得x1=10，x2=﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．点评：此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．32．（常考指数：32）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．正确的说法有①②④．（请写出所有正确的序号）考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：①根据图象开口向上得到a＞0；由与y轴交点在负半轴得到c＜0，即ac＜0；②由抛物线与x轴的交点横坐标分别是﹣1，3，可以得到方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③当x=1时，y＜0，可以得到a+b+c＜0；④由于对称轴是x=1，所以得到x＞1时，y随着x的增大而增大．解答：解：①∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交点在负半轴，故c＜0，即ac＜0；②∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是﹣1，3，∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0；④对称轴是x=1，∴x＞1时，y随着x的增大而增大，故正确的有①②④．故填空答案：①②④．点评：此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=﹣1时对应的y值．33．（常考指数：79）在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为100m．考点：比例线段．专题：计算题．分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离．解答：解：设AB两地间的实际距离为x，=，解得x=10000cm=100m．故答案为：100m．点评：熟练运用比例尺进行有关计算，注意单位的转换．34．（常考指数：59）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或2．考点：相似三角形的性质．分析：由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．解答：解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．点评：本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．35．（常考指数：50）一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是．考点：概率公式．分析：设袋中有蓝球m个，根据蓝球概率公式列出关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：设袋中有蓝球m个，则袋中共有球（6+5+m）个，若任意摸出一个绿球的概率是，有=，解得m=9，任意摸出一个蓝球的概率是=0.45．故答案为：0.45点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．36．（常考指数：37）有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为．考点：概率公式；无理数．分析：让无理数的个数除以数的总数即为所求的概率．解答：解：四张卡片中2，为有理数，π，为无理数．故抽到写有无理数卡片的概率为．故答案为：点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．37．（常考指数：47）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是24个．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．解答：解：∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴口袋中白色球的个数很可能是（1﹣15%﹣45%）×60=24个．故答案为：24．点评：解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．38．（常考指数：87）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为﹣1或3．考点：抛物线与x轴的交点．分析：由二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解．解答：解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故填空答案：x1=﹣1或x2=3．点评：此题主要考查了学生的数形结合思想，二次函数的对称性，以及二次函数与x轴交点横坐标与相应一元二次方程的根关系．39．（常考指数：42）如图（1），用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD、若AE=4，CE=3，那么这个四边形的面积是16．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．分析：依题意可以得到△ABE∽△ECD∽△DEA，∠B=∠C=∠D=90°，利用相似三角形的性质可以推出BE：CD=AB：EC，而四边形ABCD为矩形，可以得到AB=CD，所以AB2=BE•EC，又CE=3BE，可以得到AB=BE，由此可以求出BE，CB，最后就可以求出面积．解答：解：∵形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，∴△ABE∽△ECD∽△DEA，∠B=∠C=∠AED=90°，∴BE：CD=AB：EC，∴四边形ABCD为矩形∴AB=CD，∴AB2=BE•EC，∵CE=3BE，∴AB=BE，∵AE=4，∴BE=2，AB=2，∴BC=BE+CE=4BE=8，∴这个四边形的面积是S=AB×BC=2×8=16．故填：16．点评：此题考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质，同时也考查了勾股定理，解题时要注意认识图形．40．（常考指数：39）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2008在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长=1；△A1B2A2的边长=2；△A2007B2008A2008的边长=2008．考点：二次函数综合题．专题：规律型．分析：先计算出△A0B1A1；△A1B2A2；△A2B3A2的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A2007B2008A2008的边长．解答：解：作B1A⊥y轴于A，B2B⊥y轴于B，B3C⊥y轴于C．设等边△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3中，AA1=a，BA2=b，CA2=c．①等边△A0B1A1中，A0A=a，所以B1A=atan60°=a，代入解析式得×（a）2=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等边△A0B1A1的边长为×2=1；②等边△A2B2A1中，A1B=b，所以BB2=btan60°=b，B2点坐标为（b，1+b）代入解析式得×（b）2=1+b，解得b=﹣（舍去）或b=1，于是等边△A2B1A1的边长为1×2=2；③等边△A2B3A3中，A2C=c，所以CB3=btan60°=c，B3点坐标为（c，3+c）代入解析式得×（c）2=3+c，解得c=﹣1（舍去）或c=，于是等边△A3B3A2的边长为×2=3．于是△A2007B2008A2008的边长为2008．故答案为：1，2，2008点评：此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．三、解答题（共20小题）41．（常考指数：39）已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得a、k的值；（2）根据（1）可确定两个函数的解析式；求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证即可．解答：解：（1）因为二次函数y=ax2+x﹣1与反比例函数y=交于点（2，2）所以2=4a+2﹣1，解之得a=（2分）2=，所以k=4；（4分）（2）反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点；（5分）由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=x2+x﹣1和y=；因为y=x2+x﹣1=y=（x2+4x﹣4）=（x2+4x+4﹣8）=y=[（x+2）2﹣8]=（x+2）2﹣2，（6分）所以二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣2）；（7分）因为x=﹣2时，y==﹣2，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．（8分）点评：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法及二次函数的顶点坐标的求法；在求二次函数的顶点坐标时，要针对题型要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．42．（常考指数：39）如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．（2）令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．（3）分三种情况讨论：①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标．解答：解：（1）抛物线的对称轴x=﹣=；（2分）（2）由抛物线y=ax2﹣5ax+4可知C（0，4），对称轴x=﹣=，∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，∴A（﹣3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）把点A坐标代入y=ax2﹣5ax+4中，解得a=﹣，（6）∴y=x2+x+4．（7分）（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）在Rt△ANP1中，P1N====，∴P1（，﹣）．（9分）②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．在Rt△BMP2中MP2====，（10分）∴P2=（，）．（11分）③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，∴∠P3CK=∠BAQ，∠CKP3=∠AQB，∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．∴==．∵P3K=2.5∴CK=5于是OK=1，（13分）∴P3（2.5，﹣1）．（14分）点评：此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．43．（常考指数：42）如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，两点代入y=﹣+bx+c，算出b和c，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．解答：解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣+bx+c，得：解得，∴这个二次函数的解析式为y=﹣+4x﹣6．（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4，∴点C的坐标为（4，0），∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6．点评：本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．44．（常考指数：42）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．专题：几何综合题．分析：（1）先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为120度，在Rt△ABF中根据勾股定理可求出半径的长，利用扇形的面积公式即可求解；（2）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径．解答：解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则BF=AB=2．在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=．∴OA===4．又∵OA=OB，∴∠ABO=30度．∴∠BOC=60度．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD=∠BOC=60度．∴∠BOD=120度．∴S阴影==．法二：连接AD．∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD．∴AB=AD，BF=FD，．∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120度．∵BF=AB=2，sin60°=，AF=AB•sin60°=4×=6．∴OB2=BF2+OF2．即．∴OB=4．∴S阴影=S圆=．法三：连接BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90度．∵AB=4，∴．∵∠A=30°，AC⊥BD，∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120度．∴S阴影=π•OA2=×42•π=．以下同法一；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴．∴．点评：本题主要考查了扇形的面积公式和圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系．本题还涉及到圆中的一些性质，如垂径定理等．45．（常考指数：49）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上，∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m（1分）∵点B（0，4）在此抛物线上，∴4=×+m∴m=﹣（3分）∴所求函数关系式为：y=﹣=﹣x+4（4分）（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB==5∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5（5分）∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；（6分）当x=5时，y=×52﹣×5+4=4当x=2时，y=×22﹣×2+4=0∴点C和点D在所求抛物线上；（7分）（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，则；解得：；∴y=x﹣（9分）∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t；则yM=﹣t+4，yN=t﹣，（10分）∴l=yN﹣yM=t﹣﹣（﹣t+4）=﹣+t﹣=﹣+∵﹣＜0，∴当t=时，l最大=，yM=﹣t+4=．此时点M的坐标为（，）．（12分）点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．46．（常考指数：53）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．考点：扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．分析：（1）根据垂径定理和圆周角定理及其推论进行分析，得到结论；（2）连接OC，阴影部分的面积即是扇形OAC的面积减去三角形AOC的面积．根据圆周角定理发现30°的直角三角形ABC，从而得到扇形所在的圆心角的度数以及半径的长，再根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算．解答：解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC2=BE•AB；⑥BC2=CE2+BE2；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．（2）连接OC，则OC=OA=OB，∵∠D=30°，=，∴∠A=∠D=30°，∴∠COB=2∠A=60°∴∠AOC=120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=1，∴AB=2，AC=，∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵OA=OB，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=BC=，∴S△AOC=AC•OF=××=，S扇形AOC=π×OA2=，∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC=．点评：要熟练运用垂径定理、圆周角定理及其推论、等弧对等弦以及30°的直角三角形的性质．47．（常考指数：56）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），由CD=10m，可设D（5，b），由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：，解得．∴y=；（2）∵b=﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴=5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．点评：命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决．48．（常考指数：60）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？考点：二次函数的应用；二次函数的最值．专题：应用题．分析：本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．解答：解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6000（4分）解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5．（6分）（2）设涨价在元时总利润为y，则y=（10+z）（500﹣20z）=﹣20z2+300z+5000=﹣20（z2﹣15z）+5000=﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000=﹣20（z﹣7.5）2+6125当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6125．（8分）答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．（10分）点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．49．（常考指数：64）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：开放型．分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出∠ACB的值．（2）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．（3）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．（4）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．解答：解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，∵CH=1，半径CB=2，∵∠BCH=60°，∴∠ACB=120°．（2）∵CH=1，半径CB=2∴HB=，故A（1﹣，0），B（1+，0）．（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）设抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，把点B（1+，0）代入上式，解得a=﹣1；∴y=﹣x2+2x+2．（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形∴PC∥OD且PC=OD．∵PC∥y轴，∴点D在y轴上．又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．又D（0，2）满足y=﹣x2+2x+2，∴点D在抛物线上∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．点评：本题是综合性较强的题型，所给的信息比较多，解决问题所需的知识点也较多，解题时必须抓住问题的关键点．二次函数和圆的综合，要求对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化，对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶．要求学生解题具有条理，挖出题中所隐含的条件，会分析问题，找出解决问题的突破口．50．（常考指数：65）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．求：（1）反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出反比例函数的值＞一次函数的值的x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：方程思想；待定系数法．分析：（1）由图象可知M（2，m），N（﹣1，﹣4）．首先把N点坐标代入反比例函数解析式就可求出k的值，确定该函数解析式．在此基础上再求出M点的坐标，然后再把点M、N的坐标代入一次函数的解析式，利用方程组，求出a、b的值，从而求出一次函数的解析式；（2）利用图象，分别在第一、三象限求出反比例函数的值＞一次函数的值的x的取值范围．解答：解：（1）∵的图象经过N（﹣1，﹣4），∴k=xy=﹣1×（﹣4）=4．∴反比例函数的解析式为．又∵点M在y=的图象上，∴m=2．∴M（2，2）．又∵直线y=ax+b图象经过M，N，∴，∴．∴一次函数的解析式为y=2x﹣2；（2）由图象可知反比例函数的值＞一次函数的值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．点评：本题主要考查一次函数、反比例函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力．解决此类问题的关键是灵活运用方程组，并综合运用以上知识．51．（常考指数：68）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销