2021-2022学年北师大 版九年级上册数学 《特殊的平行四边形》单元测试卷含答案

2021-2022学年北师大新版九年级上册数学《特殊的平行四边形》

一.选择题

1.若。是四边形ABCD对角线的交点且。4=。8=。C=。，则四边形ABC。是（）

A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形

2.一个正方形的面积为165？，则它的对角线长为（）

A.4cmB.4cmC.8cmD.6cm

3.下列说法中错误的是（）

A.四个角相等的四边形是矩形

B.四条边相等的四边形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形

D.对角线垂直的矩形是正方形

4.下列说法中正确的是（）

A.有一个角是直角的四边形是矩形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形

D.两条对角线相等的菱形是正方形

5.如图，菱形ABCO中，Z£>=135°,BE_LCD于E,交AC于F,FGLBC于G.若4

BFG的周长为4,则菱形ABCD的面积为（）

A.4MB.8C.16D.1672

6.如图，在矩形A8C。中，。为AC中点，功过。点且EFLAC分别交。C于巴交AB

于E,点G是4E中点且NAOG=30°,则下列结论正确的个数为（）

（1）DC=3OG；（2）OG=《BC；（3）/XOGE是等边三角形；（4）SAAOE=《S矩形

26

ABCD-

1

DC

C.3个D.4个

7.如图，在三角形A8C中，AB=AC,BC=6,三角形。EF的周长是7,AELBC于尸,

BELACTE,且点。是A8的中点，贝IJAF=（）

D.7

8.如图，菱形中，ZBAD=60a,AC.BD交于点、O,E为C£＞延长线上的一点,

且CD=DE,连接BE分别交AC,AD于点F、G,连接OG、4E.则下列结论：①0G

=畀；②四边形是菱形；形其中正确的是（）

ABDE③S1ra

C.②③D.①②③

9.如图，在RtZ\ABC中，ZA=90°,P为边BC上一动点，PEA.ABE,PF1.ACTF,

动点P从点B出发，沿着8C匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（）

A.一直增大B.一直减小

C.先减小后增大D.先增大后减少

2

10.如图，平行四边形ABC。中，对角线AC,B。交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是

OC,OD,4B的中点.下列结论正确的是（）

①EG=EF；

③FB平分NEFG；

®EA平分NGEF；

⑤四边形BEFG是菱形.

A.③⑤B.①②④C.①②©④D.①②③④⑤

二.填空题

11.已知菱形的两条对角线长分别为6和8,则菱形的周长是,面积是.

12.如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,P为A8上一动点（不与A、

8重合），作PELAC于点E,PF,8c于点凡连接E尸，则E尸的最小值是.

13.一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形.（判断对错）

14.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,

当线段AO=5时，线段BC的长为.

15.矩形的两条对角线的夹角为60°,较短的边长为12a”，则对角线长为,

3

16.如图，在四边形ABC。中，点E、尸分别是线段A。、8c的中点，G、，分别是线段B。、

AC的中点，当四边形ABCD的边满足时，四边形EG/77是菱形.

17.如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,NB=25°，。是AB的中点，则N4OC=

18.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱

形，并测得N3=60°,接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC

=40。"，则图1中对角线AC的长为cm.

BC5C

图1图2

19.如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点.要使四边形EFGH是正方形,

20.小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形A8CD内作等边△BCE,并与正

方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积

是.

4

三.解答题

21.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AO是中线，E是A£>的中点，过点A作A尸〃BC

交BE的延长线于尸，连接CF,求证：四边形AOC尸是菱形.

22.如图.ZsABC中，NC=2NB,。是8c上一点，且ACAB,点E是30的中点，连

接AE.

(I)求证：BD=2AC；

(2)若AE=6.5,A£>=5,那么△ABE的周长是多少？

23.如图，在。ABC。中，过点。作。E_LAB于点E,点F在边CD上，CF=AE,连接AF,

BF.

(1)求证：四边形8FDE是矩形；

(2)已知ND48=60°,AF是ND4B的平分线，若A£>=3,求。C的长度.

24.如图所示，在菱形4BCD中，AB=4,ZBAD=\20°,AAE尸为正三角形，点E、F

分别在菱形的边BC、C。上滑动，且&F不与5、C、。重合.

(1)证明不论£、尸在8C、C。上如何滑动，总有BE=CF；

(2)当点£尸在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AEC尸的面积和△<?£尸的周长是

5

否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值.

25.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是8c的中点，E是的中点，过点A作

AF//BC交BE的延长线于点F.

(1)求证：四边形AOC尸是菱形；

(2)若AC=12,AB=16,求菱形AOCF的面积.

26.如图，在平行四边形ABCO中，对角线4c与8。相交于点O,点E,尸分别为0B,

。。的中点，延长AE至G,使EG=AE,连接CG.

(1)求证：AABE注ACDF；

(2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

27.如图，矩形48CO的对角线4C、BD交于点、0,KDE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若NB4C=30°,AC=4,求菱形OCEO的面积.

6

参考答案与试题解析

选择题

1.解：：OA=OB=OC=O。，

二四边形ABC。是平行四边形，AC=B。,

平行四边形ABC。是矩形.

2.解：设对角线长是xc/n.则有

2

即》=±4血（负数舍去）.

故选:B.

3.解：4、四个角相等的四边形则每个角为90°,所以是矩形，该说法正确，不符合题意;

B、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；

C、对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；

。、对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意.

故选：B.

4.解：A.有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；

B.两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；

C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；

D.两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确.

故选：D.

5.解：•.•菱形A8C。中，/。=135°,

AZBCD=45°,

于E,FGJ_BC于G,

.•.△8FG与△8EC是等腰直角三角形，

•:/GCF=NECF,/CGF=/CEF=90°,

7

CF=CF,

AACGF^ACEF(AAS),

:.FG=FE,CG=CE,

设BG=FG=EF=xf

BF=y[^c,

•••△BFG的周长为4,

.*.x+x+^/2r=4,

Ax=4-2^/2»

:,BE=2M，

:.BC=MBE=4,

・・・菱形ABCD的面积=4X2&=8«,

故选：B.

6.解：TEELAC,点G是AE中点，

JOG=AG=GE=—AE

29

VZAOG=30°,

：.ZOAG=ZAOG=30°,

NGOE=900-ZAOG=90°-30°=60°,

•••△OGE是等边三角形，故(3)正确；

设AE=〃，则。£=0G=m

由勾股定理得，40=4/2_0岳2=｛（2&）2-a2=V^，

•；O为AC中点，

.\AC=2AO=2a,

BC=-^AC=^X2a=yl~Qfif

在RtaABC中，由勾股定理得，AB=｛（2aa）2-（«a）2=3"，

；四边形ABC。是矩形,

，CO=48=3〃，

：.DC=3OG,故(1)正确;

8

\"OG=a,—BC=^-a,

22

：.OG^BC,故（2）错误；

；$"0£=条F4=*《2,

乙乙

SABCD=3CI・y[^fl=3CT,

**•S^AOE=^SABCDy故（4）正确；

0

综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个.

故选：C.

7.解：-：AF_LBCf8E±ACf。是A8的中点，

：.DE=DF=—AB

2f

*：AB=ACfAF±BC,

・•.点尸是3C的中点，:,BF=FC=3,

BEVAC.

：.EF=—BC=3,

2

.・・4DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7,

：.AB=49

由勾股定理知AF={_BF2=yfi，

故选：B.

8.解：・・,四边形A8CO是菱形，

:.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OCfOB=OD,AC上BD,

:・/BAG=/EDG,

♦:CD=DE,

：.AB=DEf

在△48G和△£）£«中，

<ZBAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE，

AB二DE

9

A(AAS),

：.AG=DGf

・・・0G是的中位线，

;.OG=/AB,①正确；

■:△ABGWADEG,

：.AB=DE,

,JAB//CE,

四边形ABDE是平行四边形，

'：ZBCD^ZBAD=60°,

：./\ABD,△BCD是等边三角形，

：.Afi=BI)=AD,

四边形ABQE是菱形，②正确；

-：OB=OD,AG=DG,

；.0G是△AB。的中位线，

：.OG//AB,OG=—AB,

2

：./\GOD^/\ABD,△ABFS/\0GF,

.♦.△GOD的面积的面积，ZVIB尸的面积=4。6斤的面积的4倍，AF-OF=

4

2：1,

/.△AFG的面积=Z\OGF的面积的2倍，

又♦:AGOD的面积=Z\40G的面积=4BOG的面积，

***S四边形ODGF=SA4BF；③正确；

正确的是①②③.

故选：D.

VZA=90°,PE_LAB,PFLAC

10

...四边形AFPE是矩形，

：.EF=AP,

由垂线段最短可得APLBC时，AP最短，则线段EF的值最小，

，动点P从点8出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先

减小后增大.

故选：C.

10.解：设GF和AC的交点为点尸，如图:

,:E、尸分别是。C、0。的中点，

J.EF//CD,且

2

,/四边形ABCD为平行四边形，

：.AB//CD,且A8=C£>,

NFEG=NBGE,

••,点G为AB的中点，

：.BG=—AB=—CD=FE,

22

fBG=FE

在△EFG和AGBE中，，NFEG=NBGE，

GE=EG

.,.△EFG注AGBE(SAS),即②正确，

：.NEGF=NGEB,GF=BE,

:.GF//BE,

-；BD=2BC,点。为平行四边形对角线交点,

11

：.BO=—BD=BC,

2

为OC中点，

：.BE±OC,

：.GP1AC,

：./APG=/EPG=90°

'."GP//BE,G为48中点，

为AE中点，即AP=PE,且GP=』BE,

2

'AP=EP

在△APG和△EGP中，，NAPG=NEPG，

GP=PG

.♦.△4PG丝ZsEPG(SAS),

：.AG=EG=—AB,

2

：.EG=EF,即①正确，

-JEF//BG,GF//BE,

四边形BGFE为平行四边形，

：.GF=BE,

•：GP^—BE^—GF,

22

：.GP=FP,

'：GF±AC,

:.NGPE=NFPE=90°

'GP=FP

在AGPE和△FPE中，，NGPE=NFPE，

,EP=EP

:.AGPE咨AFPE(SAS),

：.ZGEP=ZFEP,

.♦.EA平分/GEF,即④正确.

:BG=FE,GF=BE,

四边形BEFG是平行四边形，

没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确；

故选：B.

12

二.填空题

11.解：•.•菱形的两条对角线长分别为6和8,

.•.两对角线的一半分别为3、4,

由勾股定理得，菱形的边长=存彳=5,

所以，菱形的周长=4X5=20；

面积=」X6X8=24.

2

故答案为：20；24.

12.解：如图，连接CP.安乙—

P,

VZC=90°,AC=3,8c=4,

.,.AB=^AC2+BC2=^32+42=5,

".,PELAC,PFA,BC,ZC=90°,

四边形CFPE是矩形，

；.EF=CP,

由垂线段最短可得CPJLAB时，线段）的值最小,

此时，SAABC="|BC・AC=/AB・CP，

即*X4X3得X5・CP,

解得CP=2A.

故答案为：2.4.

13.解：错误，直角梯形也满足此条件，但不是矩形;

故答案为：错误.

14.解：由条件可知AB〃C£>,AD//BC,

二四边形ABCD为平行四边形，

/.BC=AD=5.

故答案为：5.

15.解：如图：AB=\2cm,NAOB=60°.

；四边形是矩形，AC,BO是对角线.

13

：.OA=OB=OD^OC=—BD=—AC.

22

在△AOB中，OA=OB,NAOB=60°.

.\OA=OB=AB=\2cm,BD=2OB=2X12=24。%.

故答案为：24.

16.解：当AB=CZ）时，四边形EGF”是菱形.

•.•点E,G分别是AD,8。的中点，

J.EG//AB,同理”尸〃AB,J.EG//HF,EG=HF=—AB,

2

•••四边形EGFH是平行四边形.

'：EG=—AB,又可同理证得E”=』CD,

22

'：AB=CD,:.EG=EH,

二四边形EGFH是菱形.

故答案为AB=CD

17.解：VZACB=90°,。为A8的中点,

：.CD=BD,

：./DCB=NB,

VZB=25°,

：.ADCB=25°,

AZADC=ZB+ZDCB=50°,

故答案为：50°.

18.解：如图1,2中，连接AC.

14

图1图2

在图2中，1•四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,NB=90°,

•.•AC=40,

.•.A8=8C=20g,

在图1中，VZB=60°,BA=BC,

.•.△4BC是等边三角形，

:.AC=BC=20M，

故答案为：20M,

19.解：满足的条件应为：AC=B。且

理由：F,G,”分别是边A8、BC、CD、D4的中点,

...在△AOC中，HG为△AQC的中位线，

；.HG〃AC且HG=」AC；

2

同理E尸〃AC且EF=2AC,同理可得£7/=工3。，

22

贝ijHG//EF&HG=EF,

四边形EFGH为平行四边形，

又：AC=B。，

：.EF=EH,

：.四边形EFGH为菱形，

'：ACLBD,EF//AC,

J.EFLBD,

"."EH//BD,

J.EFVEH,

：.NFEH=9Q°,

，菱形EFGH是正方形.

故答案为：AC=BD且

15

20.解：过点G作GN，C£＞于N,过点尸作尸MJ_A8于M,

•••在边长为2的正方形ABCD内作等边△8CE,

:.AB=BC=CD=AD=BE=EC=2,ZECB=60°,NOZ)C=45°,

•“△BEC=]x2X>y^=5/^，S正方形=锄2=4,

设GN=x,

♦：NNDG=NNGD=45°,NNCG=30°,

：.DN=NG=x,CN=«/VG=J§r,

:.1+妻*=2,

解得：x=a-1,

：.S&CCD=^CD-GN^X2X(«-1)=技1，

同理：SAABF=M-3

二•S阴影=S正方形ABCD-S^ABF-S^BCE-5ACDG=4-(5/3-1)-5/3-(V3~1)=6-

故答案为：6-373.

21.证明：-AF//BC,

：.NAFE=NDBE,

•；E是AO的中点，A。是BC边上的中线,

：.AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△QBE中，

rZAFE=ZDBE

■NFEA=NBED，

,AE=DE

.♦.△AFE岭△OBE(A4S)；

：.AF=DB.

'：DB=DC,

16

：.AF=CD.

-：AF//BC,

四边形ADCF是平行四边形，

VZBAC=90",。是8c的中点,

：.AD=DC=—BC,

2

，四边形4OCF是菱形.

：.ZBAD=90a,又点E是8。的中点，

：.EA=—BD=EB,

2

:.NEAB=NEBA,

；./AEC=2/B,又/C=2/B,

4AEC=4C,

：.AE=AC,

：.BD=2AC；

(2)解：•••NBAQ=90°,点E是BQ的中点，

：.BD=2AE^\3,EA=EB^6.5,

=22=

由勾股定理得，ABA/BD-ADV132-52=12,

△ABE的周长=A8+AE+BE=12+6.5+6.5=25.

23.证明(1)•.•四边形ABC。是平行四边形

J.DC//AB,DC=AB

"：CF=AE

二。b=BE且。C〃AB

•••四边形。F8E是平行四边形

又

四边形。尸BE是矩形；

17

(2),.・ND4B=60°，AO=3,DE±AB

.".AE=-1,DE=V34E=^S

••,四边形OFBE是矩形

：.BF=DE=^^

2

平分/D4B

/FABJ/D4B=30°,S.BFLAB

2

：.AB=-j2BF=^

Q

：.CD=—

2

24.解：(1)如图，连接AC,

•••四边形ABC。为菱形，NBA£>=120。，

：.ZBAC=6Q°,

•.♦△AE尸是等边三角形，

：.ZEAF=f)O°,

.".Zl+Z£AC=60°,Z3+ZEAC=60°,

；./l=/3,

'：ZBAD=\20°,

AZABC=60°,

.•.△ABC和△ACO为等边三角形，

AZ4=60°,AC=AB,

：.-=(£/XABE和△4Cb中，

fZl=Z3

<AB=AC，

ZABC=Z4

A/XABE^^ACF(ASA).

18

：.BE=CF；

(2)四边形AEC尸的面积不变，aCE尸的周长发生变化.理由如下：

由(1)得△A3E四△ACF,

则5"跖=5初0/，

故S四边形AECFuSAAEC+SaACFuSaAEc+SaABEuSaABC，是定值，

作A〃，8C于〃点，则3〃=2,

22

S四边形AECF=S4A8C=-^-BC-AH=yBC-VAB-BH=

△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与3c垂直时，边AE最短.

故△4EF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，4CEF的周长会最小=

4+VAB2-BH2=4+2A/3•

25.(1)证明：：E是AO的中点，

：.AE=DE,

'：AF//B