高三数学 复习试题45 空间向量及其运算 理（含解析）

45空间向量及其运算导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向______且模______的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________．推论如图所示，点P在l上的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则①可化为eq\o(OP,\s\up6(→))＝___________________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或对空间任意一点O有，eq\o(OP,\s\up6(→))＝__________________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OM,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b______________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝____________________；②交换律：a·b＝________；③分配律：a·(b＋c)＝________________.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝____________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔____________⇔________，__________，________________，a⊥b⇔________⇔_________________________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝eq\r(a·a)＝_____________________________________________________________，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝_________________________________________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__________________________________________________________________.自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则()A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)2．(2011·青岛月考)如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c3．(2011·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝________.4．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．45．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面)．探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2(2011·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3(2011·泉州月考)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E(1)求直线BE与A1C(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中假命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线A．既垂直于AC，又垂直于MNB．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC、MN都不垂直3．(2011·绍兴月考)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1A．45° B．60°C．90° D．120°4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则aA．16 B．4 C．2 D．85．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为()A.eq\r(2) B．2eq\r(11) C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，则λ＝________.7．(2011·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).其中能够化简为向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是________．(填所有正确的序号)8．(2011·丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．三、解答题(共38分)9．(12分)如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝eq\f(2,3)，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.10．(12分)(2009·福建)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11．(14分)(2011·汕头月考)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．45空间向量及其运算自主梳理1．(1)大小方向(2)相同相等(3)存在实数λ，使得a＝λbeq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(4)eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))12.xa＋yb＋zc3.(1)①∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①λ(a·b)②b·a③a·b＋a·c4.(1)a1b1＋a2b2＋a3b3(2)a＝λba1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(3)eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))eq\r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12)自我检测1．C[∵a∥b，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)，∴x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).]2．A[eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.]3.eq\r(97)解析∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA′,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＋2eq\o(AA′,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(97).4．B[①正确．②中若a、b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))不正确．]5．共面解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(9,14,16)，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝3))，从而A、B、C、D四点共面．课堂活动区例1解题导引欲证a⊥b，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明如图所示.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋c)，∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(b＋c)＝eq\f(1,2)(b＋c－a)，eq\o(QN,\s\up6(→))＝eq\o(QO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(1,2)(a＋c－b)．∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝eq\f(1,4)[c2－(a－b)2]＝eq\f(1,4)(|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－|eq\o(BA,\s\up6(→))|2)∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝0.即eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(QN,\s\up6(→))，故PM⊥QN.变式迁移1eq\f(2,3)解析设{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为空间一组基底，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))2.又|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2.∴cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AF,\s\up6(→))·\o(CE,\s\up6(→)),|\o(AF,\s\up6(→))||\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))2,\f(3,4)|\o(AC,\s\up6(→))|2)＝－eq\f(2,3).∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为eq\f(2,3).例2解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN平行于平面EBC，只要证eq\o(MN,\s\up6(→))的横坐标为0即可．(1)证明如图所示，以eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→))为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，设eq\f(AN,AE)＝eq\f(DM,DB)＝λ，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋λeq\o(AE,\s\up6(→))＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且eq\o(MN,\s\up6(→))的横坐标为0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))平行于平面yBz，即MN∥平面EBC.(2)解由(1)知|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(λ－12＋λ2)＝eq\r(2λ2－2λ＋1)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，∴当λ＝eq\f(1,2)时，MN取得长度的最小值为eq\f(\r(2),2).变式迁移2证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))、(0,0,1)．∴eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).又点A、M的坐标分别为(eq\r(2)，eq\r(2)，0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).∴eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)得，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，∵D(eq\r(2)，0,0)，F(eq\r(2)，eq\r(2)，1)，B(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0,1)．∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(BF,\s\up6(→))，即AM⊥DF，AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.例3解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明eq\o(FG,\s\up6(→))与平面BOE的法向量n垂直，即eq\o(FG,\s\up6(→))·n＝0即可．第(2)题设出点M的坐标，利用eq\o(MF,\s\up6(→))∥n即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O—xyz.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．由题意，得G(0,4,0)．因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝(8,0,0)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(0，－4,3)，所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)．由eq\o(FG,\s\up6(→))＝(－4,4，－3)，得n·eq\o(FG,\s\up6(→))＝0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.(2)解设点M的坐标为(x0，y0,0)，则eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x0－4，y0，－3)．因为FM⊥平面BOE，所以eq\o(FM,\s\up6(→))∥n，因此x0＝4，y0＝－eq\f(9,4)，即点M的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(9,4)，0)).在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y<0，,x－y<8.))经检验，点M的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB内存在一点M，使PM⊥平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，eq\f(9,4).变式迁移3解(1)以点B为原点，以BA、BC、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，B1(0,0,3a∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\r(2)a，∴A(eq\r(2)a,0,0)，C(0，eq\r(2)a,0)，C1(0，eq\r(2)a,3a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(3,2)a))，A1(eq\r(2)a,0,3a)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(3,2)a))，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)a，eq\r(2)a，－3a)，cos〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BE,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(7,2)a2,\f(\r(11),2)a×\r(13)a)＝－eq\f(7\r(143),143).∴直线BE与A1C所成的角的余弦值为eq\f(7\r(143),143).(2)假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，并设eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AA1,\s\up6(→))＝λ(0,0,3a)＝(0,0,3λa)(0<λ<1)，∵D为A1C1的中点，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，3a))，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，3a))－(0,0,3a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,0，－3a)＋(eq\r(2)a,0,0)＋(0,0,3λa)＝(eq\r(2)a,0,3a(λ－1))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\r(2)a，－eq\r(2)a,0)＋(0,0,3λa)＝(eq\r(2)a，－eq\r(2)a,3λa)．∵CF⊥平面B1DF，∴eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1D,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1F,\s\up6(→))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CF,\s\up6(→))·\o(B1D,\s\up6(→))＝0,\o(CF,\s\up6(→))·\o(B1F,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λa×0＝0,9λ2－9λ＋2＝0))，解得λ＝eq\f(2,3)或λ＝eq\f(1,3)∴存在点F使CF⊥面B1DF，且当λ＝eq\f(1,3)时，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝a，当λ＝eq\f(2,3)时，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝2a.课后练习区1．C[②③④均不正确．]2．A[以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0，∴OM⊥AC，OM⊥MN.]3．B[如图建立坐标系，设AB＝BC＝AA1＝2，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,\r(2)·\r(8))＝eq\f(1,2).∵〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]∴EF与BC1所成的角是60°.]4．A[由eq\o(PC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(PA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(PB,\s\up6(→))得：(2a－1，a＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ1＋6λ2＝2a－1,－3λ1－λ2＝a＋1，,2λ1＋4λ2＝2))解得a＝16.]5．B[过A、B分别作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，垂足分别为A1和B1，则AA1＝3，A1B1＝5，BB1＝2，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1B,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＋eq\o(B1B,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(B1B,\s\up6(→))＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(11).]6.eq\f(1,2)解析∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，∴2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，∴λ＝eq\f(1,2).7．①②解析①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).8．(1,1,1)解析设DP＝y>0，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(y,2)))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0,0，y)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(y,2))).∴cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(DP,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(DP,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2)y2,y\r(2＋\f(y2,4)))＝eq\f(y,\r(8＋y2))＝eq\f(\r(3),3).解得y＝2，∴E(1,1,1)．9．证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝(3,0,1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(0,3,2)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(3,3,3)．(2分)所以eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).故eq\o(BD1,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→))、eq\o(BF,\s\up6(→))共面．又它们有公共点B，∴E、B、F、D1四点共面．(6分)(2)设M(0,0，z)，则eq\o(GM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,3)，z)).而eq\o(BF,\s\up6(→))＝(0,3,2)，由题设，得eq\o(GM,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)×3＋z·2＝0，得z＝1.(8分)∴M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴eq\o(ME,\s\up6(→))＝(3,0,0)．又eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0,0,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,3,0)，∴eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又∵BB1∩BC＝B，∴ME⊥平面BCC1B1.(12分)10.解(1)如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D—xyz.依题意，得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0)).(2分)∴eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，－1))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．∵cos〈eq\o(NE,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(NE,\s\up6(→))·\o(AM,\s\up6(→)),|\o(NE,\s\up6(→))|·|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2))＝－eq\f(\r(10),10)，∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).(6分)(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝(0,1,1)，可设eq\o(AS,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))＝(0，λ，λ)，又eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，∴eq\o(ES,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，λ－1，λ)).(8分)由ES⊥平面AMN，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(ES,\s\up6(→))·\o(AM,\s\up6(→))＝0，,\o(ES,\s\up6(→))·\o(AN,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋λ＝0，,λ－1＋λ＝0.))(10分)故λ＝eq\f(1,2)，此时eq\o(AS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，|eq\o(AS,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2).经检验，当AS＝eq\f(\r(2),2)时，ES⊥平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时