高考数学二轮复习简易通 立体几何 倒数第6天 理科

倒数第6天立体几何[保温特训](时间：45分钟)1．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()．解析空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长相等”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.答案C2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()．A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在α内，所以n与α不一定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m⊂β，m∥β，也可能m与β相交．由面面垂直的性质可知C正确．答案C3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，()．A．2eq\r(2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．4解析所给三棱柱的侧视图为矩形，矩形的长为2，宽为等边三角形ABC的高eq\r(3)，所以三棱柱的侧视图面积为2eq\r(3).答案C4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是()．A．若a⊂α，b⊂β，且α∩β＝l，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b解析在两相交平面内分别与交线平行的两条直线平行，A错误；如图ABCD为矩形，设BC为a，AB为b，虽然有a⊥b，a⊂α，b⊂β，但平面α与β不一定垂直，B错误；由a∥α，b⊂α，可知a，b无交点，但a与b平行或异面，C错误；由直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面的直线平行，知D正确．答案D5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．2 B．4C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,3)解析该几何体为四棱锥，如图所示，SC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝1.∴V＝eq\f(1,3)×1×1×2＝eq\f(2,3).答案C6．一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)如图所示，则该几何体的表面积是()．A．20＋4πB．24＋4πC．20＋3πD．24＋3π解析该几何体为一个正方体和一个半圆柱的组合体，且正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2，故该几何体的表面积为：2×2×5＋2×π＋2×eq\f(1,2)π＝20＋3π.答案C7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β，其中正确的命题是()．A．①②③B．②③④C．②④D．①③解析对于命题①：由α∥β，l⊥α，可得l⊥β，又m⊂β，故l⊥m，正确；对于命题③：由l∥m可得m⊥α，又m⊂β，故α⊥β，正确；命题②，命题④错误．答案D8．一个空间几何体的三视图均是边长为eq\r(2)的正方形，则以该空间几何体各个面的中心为顶点的多面体的体积为()．A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2,3)解析由题意可得这个空间几何体为正方体，以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).答案B9．如图所示，则根据图中数据可知该几何体的体积为()．A．8π B．9πC.eq\f(4＋3\r(15),3)π D.eq\f(4＋\r(15),3)π解析该几何体的上面部分是球，下面部分是圆锥，球的半径为1，故球的体积为eq\f(4π,3)，圆锥的底面半径为1，高为eq\r(15)，故圆锥的体积为eq\f(\r(15),3)π，所以该几何体的体积为eq\f(4＋\r(15),3)π.答案D10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有D1A＝D1M，则动点MA．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，所以动点M在面ABCD答案A11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为eq\f(π,2)，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()．A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(3),2)解析连接B1C，∴B1C∥A1又∵A1D与BC1所成的角为eq\f(π,2).∴B1C⊥BC1，又AB＝BC＝2，∴长方体ABCD-A1B1C1D1为正方体，取B1D1的中点M，连接C1M∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角，∵AB＝BC∴C1M＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，∴sin∠C1BM＝eq\f(C1M,C1B)＝eq\f(1,2).答案B12．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)，则它的侧视图的面积为________cm2.解析由该正三棱锥的正视图和俯视图可知，其侧视图为一个三角形，它的底边长等于俯视图的高即eq\f(\r(3),2)，高等于正视图的高即eq\r(3)，所以侧视图的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4)(cm2)．答案eq\f(3,4)13．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4eq\r(3)π，则该正方体的表面积为________．解析设正方体的棱长为a，球的半径为R，则依题意有eq\f(4πR3,3)＝4eq\r(3)π，解得R＝eq\r(3).因为eq\r(3)a＝2R＝2eq\r(3)，所以a＝2.故该正方体的面积为6a2＝24.答案2414．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________(①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2).解析①∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1；②∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1；③∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，tan∠C1AC＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(CC1,\r(2)CC1)＝eq\f(\r(2),2).答案①②15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的余弦值．解(1)连接AC交BD于点O，连接OE；在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,2x＋2y＝0，))取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．∴cos〈n，eq\o(DA,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(DA,\s\up6(→)),|n|·|\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),3).故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为eq\f(\r(3),3).[知识排查]1．应注意根据几何体的三视图确定几何体的形状和数量特征，尤其是侧视图中的数据与几何体中的数据之间的对应．2．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球的半径为eq\f(\r(3),2)a.3．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．4．立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面，线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面，这些转化各自的依据是什么？5．如何求两条异面直线