第01讲 概率进一步认识（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第01讲概率进一步认识1.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.2.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系.3.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.知识点1概率1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．求概率方法：（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。知识点2频率与概率1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。【题型1用列举法求概率】【典例1】（2022秋•昌图县期末）小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色．她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）A． B． C． D．【变式1-1】（2023•海淀区校级四模）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2023•阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2023•兴宁市二模）桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为（）A． B． C． D．【典例2】（2023•武侯区校级模拟）为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）张老师调查的学生人数是，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为；（2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；（3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑．张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．【变式2-1】（2023•泗洪县模拟）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不再放回，再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率．【变式2-2】（2023•邓州市二模）“十四五”期间，我国教育的重点工作之一就是要促进学生身心健康全面发展，要抓好中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．其中读物管理要以推荐目录为主，某初级中学为了解学生的阅读情况，从本校学生中随机抽取50名学生进行调查，并对调查数据进行了整理，绘制了如下统计图表．平均每周的阅读时间统计表组别阅读时间x/min人数①50≤x＜6020②60≤x＜706③70≤x＜80a④80≤x＜9012⑤90≤x＜1004根据以上信息，解答下列问题：（1）上面图表中a＝，m＝，阅读时间不低于80分钟的学生人数占被调查人数的百分比为；（2）通过调查可以看出，多数学生每周阅读时间少于80分钟，为了改善这一情况，请你提出两条合理化建议；（3）学校准备在平均每周阅读时间x在90≤x＜100范围的4名学生中（3位女生，1位男生），随机选2名学生参加读书经验交流会，请用列表或画树状图的方法求选取的2名学生佮好是一男生一女生的概率．【变式2-3】（2022秋•盘山县期末）为推广体育“大课间”活动，我县某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了名学生；在扇形统计图中，表示“C：跳绳”的扇形的圆心角为度．（2）补全条形统计图；（3）若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有2名男生，3名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到两名女学生的概率．【题型2用频率估计概率】【典例3】（2023春•漳州期末）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：试验的麦粒数n100200500100020005000发芽的粒数m9318847395419064748发芽的频率0.930.940.9460.9540.9530.9496则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（）（结果精确到0.01）A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96【变式3-1】（2023•亭湖区校级模拟）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（）A．300cm2 B．360cm2 C．450cm2 D．540cm2【变式3-2】（2023春•清江浦区期末）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是实验中的一组统计数据，请估计摸到白球的概率为（精确到0.01）．摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651261853074916131833摸到白球的频率0.650.630.6160.6140.6140.6130.611【典例4】（2023•惠水县一模）在一不透明的箱子里放有m个除颜色外其他完全相同的球，其中只有4个白球，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在0.25，则m大约是（）A．15 B．16 C．12 D．8【变式4-1】（2023春•宝安区期末）一个不透明的袋中装有4个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则袋中红球的个数是（）A．2 B．5 C．6 D．10【变式4-2】（2023•玉州区模拟）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．6 B．8 C．12 D．15【变式4-3】（2023春•岱岳区期末）在一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中白球有（）A．5个 B．10个 C．15个 D．25个【典例5】（2023春•渭滨区期末）小明做“用频率估计概率“的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 B．抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3 C．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球【变式5-1】（2023•石家庄模拟）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率【变式5-2】（2022秋•文登区期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（）次数2004006008001000频率0.210.290.300.320.33A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D．掷一枚一元的硬币，正面朝上1．（2023春•广饶县期末）下列叙述不正确的是（）A．某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票一定会中奖 B．掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件 C．某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件 D．在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值2．（2023•济南）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（）A． B． C． D．3．（2023•德阳）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（）A． B． C． D．4．（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率0.840.930.8420.8470.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.85．（2023•威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（）A． B． C． D．6．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为．7．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于；（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．8．（2023•赛罕区二模）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，这也是中国航天员第三次进行太空授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验，水油分离实验、太空抛物实验．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：（Ⅰ）成绩频数分布表：成绩x（分）50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100频数4a14b4​（Ⅱ）成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：7070717272747777787878797979根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a＝，b＝．在这次试中，成绩的中位数是分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为．（2）这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．（3）在90≤x＜100之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．1．（2023•东港区校级三模）为做好疫情防控工作，在学校门口放置了A，B，C三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为（）A． B． C． D．2．（2022•天桥区二模）小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，假设他们每次出这三种手势的可能性相同，则在一次游戏中两人手势相同的概率是（）A． B． C． D．3．（2023•罗山县三模）如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，π，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界．线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（）A． B． C． D．4．（2022秋•新抚区期末）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球和若干个红球且摸到黑球的概率为，那么口袋中红球的个数为（）A．12个 B．9个 C．6个 D．8个5．（2023•小店区校级模拟）如图所示，电路图上有3个开关S1，S2，S3和2个小灯泡L1，L2，同时闭合开关S1，S2，S3可以使小灯泡L1，L2发光．对于“小灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是（）A．闭合开关S1，S2，S3中的1个，灯泡L1发光是不可能事件 B．闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L2发光是随机事件 C．闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L1发光是必然事件 D．闭合开关S1，S2，S3中的2个，灯泡L1、L2发光的概率相同6．（2023•兴宁市校级一模）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A． B． C． D．7．（2023•安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）A． B． C． D．8．（2023•合肥三模）从2、3、5、8四个数中随机选择两个数，其和为奇数的概率是（）A． B． C． D．10．（2023•福田区模拟）从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取两张，则这两张卡片上面恰好写着“加”“油”两个字的概率是（）A． B． C． D．11．（2022秋•南华县期末）一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.5附近，则随机从袋中摸出一个球，摸到黄球的概率约为（）A． B． C． D．12．（2023•郸城县三模）张亮、王明两名同学参加课外社团，运动类的有篮球、足球和乒乓球三种社团可供选择，若每人只能选择参加一种运动类的社团，则两人恰好选中同个社团的概率是．13．（2023春•定边县校级期末）在一个不透明的布袋中，黑色和白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球频率稳定在40%左右，则口袋中白色球的个数可能是．14．（2023春•尉氏县月考）某玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下：抽取的毛绒玩具数n2050100200500100015002000优等品数m19479118446292113791846优等品的频率0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923从这批毛绒玩具中，任意抽取的一个优等品的概率约是．（精确到0.01）15．（2023•锦州二模）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有个．16．（2023•明水县模拟）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是．17．（2023春•盐都区月考）某植物种子在相同的条件下发芽试验的结果如下：每批粒数501003004005001000发芽的频数4596283380474948则该植物种子发芽的概率的估计值是．（结果精确到0.01）18．（2023•胶州市二模）某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统