第6讲 提取公因式法、公式法分解因式（2大考点10种解题方法）

第6讲提取公因式法、公式法分解因式（2大考点10种解题方法）考点考向考点考向一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．考点精讲考点精讲考点一：提公因式题型一：判断是否是因式分解一、单选题1．（2021·上海普陀·七年级期末）下列等式中，从左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A． B．C． D．3．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．4．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A．2 B．C． D．5．（2021·上海·七年级期中）下列从左到右的变形,是因式分解的是(

)A．B．C．D．题型二：已知因式分解的结果求参数一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习），则__________2．（2021·上海·七年级期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．3．（2018·上海浦东新·七年级期中）已知a+3b=0，则式子-a3+ab（a+b）-33b3的值为______．题型三：提公因式法分解因式一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）用提公因式法分解因式正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）分解因式：7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）考点二：公式法题型四：公因式一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期末）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（

）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+92．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（）A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．4．（2020·上海浦东新·七年级期末）和的公因式是_________.题型五：判断能否用公式法因式分解一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．2．（2021·上海·七年级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A． B． C． D．3．（2022·上海·七年级期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（

）①

②

③

④

⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型六：运用平方差公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(

)①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）因式分解：__．3．（2022·上海·七年级专题练习）（________）；（________）；________；三、解答题4．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）因式分解：81a4-165．（2021·上海虹口·七年级期末）因式分解：6．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：7．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)．题型七：运用完全平方公式分解因式一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(

)①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：＝______．3．（2021·上海黄浦·七年级期中）分解因式：﹣x2y＋6xy﹣9y＝___．三、解答题4．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：5．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：8．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．题型八：综合运用公式法分解因式一、填空题1．（2021·上海杨浦·七年级期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．二、解答题2．（2021·上海松江·七年级期中）因式分解：3．（2021·上海·七年级期中）4．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：5．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）因式分解：6．（2022·上海·七年级期末）因式分解：7．（2021·上海·七年级期中）因式分解：8．（2021·上海·七年级期中）因式分解：题型九：利用提公因式法和公式法分解因式一、填空题1．（2022·上海·七年级期末）因式分解：_________.2．（2021·上海·七年级期中）因式分解：=______．3．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：4x2﹣16y2＝_____．4．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）分解因式：3x2-12x+12=___________________．二、解答题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）分解因式：．6．（2021·上海浦东新·七年级期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．7．（2021·上海金山·七年级期中）分解因式：8．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）因式分解(1)5x2+6y﹣15x﹣2xy；(2)（1+ab）2﹣（a+b）2．9．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：10．（2022·上海·七年级期末）分解因式：.11．（2021·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：=按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)；(只写最后结果)(2)当x为何值时,；

(只写最后结果)(3)将下面式子进行因式分解：．题型十：因式分解在有理数简算中的应用一、单选题1．（2018·上海市延安初级中学七年级期末）已知，，，那么的值是（

）A． B． C． D．二、解答题2．（2017·上海浦东新区民办正达外国语学校七年级期中）计算：巩固提升巩固提升一、选择题1.（普陀2017期末3）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.B.C.D.2.（宝山2017期末17）下列多项式能因式分解的是（）； ；；.3.（闵行2018期末4）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？（）（A）4； （B）5； （C）6； （D）8．二、填空题4.（闵行2018期末10）因式分解：；5.（金山2017期末10）因式分解：．6.（奉贤2017期末11）分解因式：＝.7.（闵行2018期末11）因式分解：．三、解答题8.（松江2018期中24）因式分解：；9.（松江2017期中24）因式分解：；10.（松江2017期中26）因式分解：；11.（崇明2018期中24）分解因式：.12.（崇明2018期中25）分解因式：.13．（2020·上海七年级期末）分解因式：.14．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）因式分解：15．（2020·上海市梅陇中学）因式分解16．（2019·上海市徐汇中学七年级月考）因式分解：17．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）因式分解：18．（2020·上海市梅陇中学）因式分解：19．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：20．（2020·上海七年级期末）分解因式：x2－y2－2x－2y21．（2019·上海市民办新竹园中学）因式分解：22.（黄浦2017期末28）多项式的乘法公式中，除了平方差公式、完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：；立方差公式：.如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：＝；（2）因式分解：＝；（3）已知：，求的值.23.（浦东2017期末21）把多项式分解因式得，求a、b的值.24.（2019青教院附中10月考28）阅读理解：已知x已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解。解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)因为(x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-