2025年北京市东城区高三一模数学试卷（含答案）

北京市东城区2024-2025学年度第二学期高三综合练习(一)数学2025.4本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A=x∣x2(A){x|-2＜x＜3}(B){x|-3＜x＜2}(C){x|-2≤x≤3}(D){x|-3≤x≤2}(2)下列函数中，定义域为(0，+∞)的是Afx=x(B)f(C)f(x)=2ˣ(D)f(x)=tanx(3)在ax-x5的展开式中，x³的系数为10，则(A)-1(B)1(C)-2(D)2(4)中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，茶水的温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)的函数T=f(t)的图象如图所示.下列说法正确的是(A)若t1+t(B)若t1+t(C)若ft1+f(D)若ft1+ft高三数学第1页(共6页)(5)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是(A)sin(π+α)(B)cos(π-α)(C)sin2α(D)cos2α(6)已知{an}是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为41，25，13，则{an}的公差可以为(A)-4(B)-3(C)4(D)3(7)长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x+4y+10=0距离的最小值为(A)1(B)2(C)2(D)3(8)已知x＞1,y＞1,则“4*＞2³”是“log₂x＞log₄(y-1)”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(9)祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA₁和两根金柱BB₁,CC₁形成的几何体ABC-A₁B₁C₁(图2)中,AB=AC≈8米,∠BAC≈144°,则平面A₁B₁C₁与平面ABC所成角的正切值约为A43sin18∘C43cos18∘(10)已知集合A=xy∣y=x2-1(A)(-∞,1)(B)(1,+∞)(C)[0,1](D)[0,1)U(1,+∞)高三数学第2页(共6页)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)若复数z满足(1+i)·z=i,则|z|=.(12)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则cos＜b,c＞=;(a-b)·c=.(13)已知抛物线C:y2=2pxp0)的焦点为F，点M为C上任意一点，且总有|MF(14)已知函数.fx=sinωxω0),若f(x)的最小正周期为π，则(ω=_;若存在x1(15)已知数列{an}满足an+2=a①若a2∈0+∞,当n②若a2∈-20,当③若a2∈-10,对任意正数M，存在正整数.N④若a2∈-∞-1,对任意负数M，存在正整数.N0,当高三数学第3页(共6页)三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)在△ABC中，a=(Ⅰ)求b的值及△ABC的面积;(Ⅱ)求证:A=2C.(17)(本小题14分)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDE,AD⊥DE,AD=DE=DC=1,BF∥DE(Ⅰ)证明:FC‖(Ⅱ)已知点E到平面AFC的距离为62,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求条件①:AE⊥CD;条件②:AC=CE.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.高三数学第4页(共6页)(18)(本小题13分)据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见表1.水稻小麦播种面积(千公顷)产量(万吨)播种面积(千公顷)产量(万吨)华东地区江苏省2221.02003.22389.51373.5浙江省649.0485.3152.666.4安徽省2500.71609.82862.71740.7福建省601.1394.60.10.0江西省3383.92070.711.33.5山东省101.086.14008.92673.8东北地区辽宁省500.5412.92.00.8吉林省828.8682.15.01.7黑龙江省3268.52110.019.37.5表1(Ⅰ)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；(Ⅱ)从表1的9个省份中随机抽取2个，设X为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求X的分布列与数学期望；(Ⅲ)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值(简称新技术占比率)数据见表2.粮食作物播种面积(千公顷)新技术占比率粮食作物播种面积(千公顷)新技术占比率华东地区水稻9456.70.70小麦9425.10.60东北地区水稻4597.80.55玉米13800.00.65华北地区.小麦3184.50.65玉米9564.70.60表2记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占化率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为a，b，c.依据表2中的数据比较a，b，c的大小.(结论不要求证明)高三数学第5页(共6页)(19)(本小题15分)已知椭圆)E:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点(0，1)，离心率为63.E上的点A(m,n)(n≠0(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若点B在以PQ为直径的圆上，求λ的值.(20)(本小题15分)设函数f(x)=(x-2)eˣ+ax+b,曲线y=f(x)在A(0,f(0))处的切线方程为y=0.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求不等式f(x)≥0的解集;(Ⅲ)已知B(t,f(t)),其中t＞2,直线AB的方程为y=g(x).若x1,x2∈0(21)(本小题15分)已知有限数列AA:a1,a2,⋯,a2n-1n∈N*n≥slant3满足ai∈12⋯n(i=1,2,…,2n-1).对于给定的k(k=2,3,…,n),