备战2020年中考数学一轮专项复习-反比例函数综合问题（含详细解答）

备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题一、反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y=(k是常数,k=0)的函数叫做反比例函数。注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y=（k≠0）；（B）xy=k（k≠0）；（C）y=kx-1（k≠0）二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时,双曲线分别位于第二、四象限内。3、增减性：（1）当k>0时,y=（k≠0）为减函数,y随x的增大而减小；（2）当k<0时,y=（k≠0）为增函数,y随x的增大而增大。4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y=和y=）来说，它们是关于x轴，y轴成轴对称。一、选择题：1．下列函数，①y＝2x，②y＝x，③y＝x﹣1，④y＝是反比例函数的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k≠0）判定则可．【解析】①y＝2x是正比例函数；②y＝x是正比例函数；③y＝x﹣1是反比例函数；④y＝不是反比例函数，是反比例关系；所以共有1个．故选：B．2．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解析】a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．3．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（）A． B．2 C．2 D．1【分析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解．【解析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣．则OM＝ON＝≥．则MN的最小值是2．故选：B．4．（2019•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（）A．3 B．2 C． D．1【解析】连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB，而S△OAB＝|k|＝，∴S△CAB＝，故选：C．5．（2019•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，∴A（，4），B（，2），∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝1∴k＝1，∴k＝4．故选：C．6．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．【解析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），则，解得．故反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．7.（2019•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2 B．6 C．4 D．2【解析】过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，∴OD1＝D1A1＝2，设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，解得：a＝，即：y2＝，同理：y3＝，y4＝，……∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，故选：A．8．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k的值为（）．A．16 B．8 C．4 D．24【分析】由△ABP的面积为4，知BP•AP＝8．根据反比例函数y＝中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．【解答】解：∵△ABP的面积为•BP•AP＝4，∴BP•AP＝8，∵P是AC的中点，∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，又∵点A、B都在双曲线y＝（x＞0）上，∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，∴OC＝DP＝BP，∴k＝OC•AC＝BP•2AP＝16．故选A.二、填空题：9.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（-4,0），点D的坐标为（-1,4），反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为.【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则AD=5，∵四边形ABCD为菱形，∴CD=5∴C（4,4），将C代入得：，∴10．（2019遂宁中考第15题4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为．（填一般式）【解析】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），则OC＝3，OA＝4，∴AC＝5，设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，解得：x＝，故点G（，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为：y＝x2﹣x+3．11．如图，已知点(1，3)在函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象上，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象又经过A，E两点，则点E的横坐标为____．【解析】把(1，3)代入到y＝eq\f(k,x)，得k＝3，所以函数解析式为y＝eq\f(3,x).设A(a，b)，根据图象和题意可知，点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)，\f(b,2))).因为y＝eq\f(3,x)的图象经过A，E，所以分别把点A和E代入到函数解析式中得ab＝3，①eq\f(b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))＝3，②由②得eq\f(ab,2)＋eq\f(b2,4)＝3，把①代入得eq\f(3,2)＋eq\f(b2,4)＝3，即b2＝6，解得b＝±eq\r(6)，因为A在第一象限，所以b＞0，所以b＝eq\r(6).把b＝eq\r(6)代入①求得a＝eq\f(\r(6),2)，所以点E的横坐标为a＋eq\f(b,2)＝eq\r(6).故答案为eq\r(6).12．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为．【分析】分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b），则ab＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE∽△ABF，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出B的坐标，进而得出结果．【解析】分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b）．∵顶点A在反比例函数y＝图象上，∴ab＝﹣4．∵∠OAB＝90°，∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，∴△OAE∽△ABF，∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，∴OA：AB＝1：，∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，∴AF＝﹣，BF＝b，∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，∴AC＝BC，∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，∴b＝﹣a，∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）∴﹣b•b＝﹣4，∴b2＝，∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，故答案为：10．13．如图，△OAP，△ABQ是等腰直角三角形，点P，Q在反比例函数y＝eq\f(4,x)(x＞0)上，直角顶点A，B均在x轴上，则点Q的坐标为．【解析】∵△OAP是等腰直角三角形，∴PA＝OA.∴设P点的坐标是(a，a)，把(a，a)代入解析式y＝eq\f(4,x)，解得a＝2(a＝－2舍去)，∴P的坐标是(2，2)，∴OA＝2，∵△ABQ是等腰直角三角形，∴BQ＝AB，∴可以设Q的纵坐标是b，∴横坐标是b＋2，把Q的坐标代入解析式y＝eq\f(4,x)，得b＝eq\f(4,b＋2)，∴b＝eq\r(5)－1(b＝－eq\r(5)－1舍去)，∴点Q的坐标为(eq\r(5)＋1，eq\r(5)－1)．14．（2019•毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是．【解析】过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，∵AB⊥AD，∴∠BAO＝∠DAE，∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝BO，DE＝OA，易求A（1，0），B（0，4），∴D（5，1），∵顶点D在反比例函数y＝上，∴k＝5，∴y＝，易证△CBF≌△BAO（AAS），∴CF＝4，BF＝1，∴C（4，5），∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），∴5（4﹣n）＝5，∴n＝3，故答案为3；三、解答题15．如图，一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象在第一象限的交点为P.PA垂直x轴于点A.PB垂直y轴于点B.函数y＝kx＋2的图象分别交x轴，y轴于点C，D.已知DB＝2OD，△PBD的面积S△PBD＝4.(1)求点D的坐标；(2)求k，m的值；(3)写出当x＞0时，使一次函数y＝kx＋2的值大于反比例函数y＝eq\f(m,x)的值的x的取值范围．【解析】(1)在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2，所以点D(0，2)．(2)因为OD＝2，DB＝2OD＝4，由S△PBD＝4，可得BP＝2，而OB＝OD＋DB＝6，所以点P(2，6)．将P(2，6)分别代入y＝kx＋2与y＝eq\f(m,x)，可得k＝2，m＝12.由图象可知，当x＞0时，使一次函数y＝kx＋2的值大于反比例函数y＝eq\f(m,x)的值的x的取值范围是x＞2.16．（2019遂宁中考第23题10分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【解析】（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．17．（2019•河池）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y＝过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图2中，∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN•BC＝BM•CD，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠MCN＝∠BCD，∴△MCN∽△BCD，∴∠CNM＝∠CDB，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD．∵B（6，0），D（0，8），∴直线BD的解析式为y＝﹣x+8，∵C，C′关于MN对称，∴CC′⊥MN，∴CC′⊥BD，∵C（6，8），∴直线CC′的解析式为y＝x+，∴C′（0，）．（3）如图3中，①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴5m＝4（m+3），∴m＝12．②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴8m＝4（m+3），∴m＝3．③显然PA≠PE，若相等，则PE∥x轴，显然不可能．综上所述，满足条件的m的值为3或12．18．“六一”儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP，OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任意一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等．比如：A，B，C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，并测得S2＝6(单位：平方米)，OG＝GH＝HI.(1)求S1和S3的值；(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数解析式；(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？【解析】(1)∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设反比例函数的解析式为y＝eq\f(k,x)(k≠0)，OG＝GH＝HI＝a，则AG＝eq\f(k,a)，BH＝eq\f(k,2a)，CI＝eq\f(k,3a).所以S2＝eq\f(k,2a)•a－eq\f(k,3a)•a＝6，解得k＝36.所以S1＝eq\f(k,a)•a－eq\f(k,2a)•a＝eq\f(1,2)k＝eq\f(1,2)×36＝18，S3＝eq\f(k,3a)•a＝eq\f(1,3)k＝eq\f(1,3)×36＝12；(2)由(1)得，弯道的函数解析式为y＝eq\f(36,x).∵T(x，y)是弯道MN上的任一点，∴y＝eq\f(36,x)；(3)∵MP＝2，NQ＝3，∴GM＝eq\f(36,2)＝18，OQ＝eq\f(36,3)＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴当x＝2时，y＝18，可以种8棵；当x＝4时，y＝9，可以种4棵；当x＝6时，y＝6，可以种2棵；当x＝8时，y＝4.5，可以种2棵；当x＝10时，y＝3