高考数学一轮复习讲义解三角形教师

课题：解三角形知识点：1．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB2．余弦定理：，，．变形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)3．三角形面积公式【注1】1．已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．3．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解【注2】1．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．【注3】1．解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值．典型例题例1在中，内角的对边分别为，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A．例2已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，则的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先利用余弦定理和正弦定理求出，然后再利用余弦定理和基本不等式，求出的最小值．【详解】因为，且，所以，且，所以，又因为，所以，又因为，所以，又因为，当且仅当时取等号，故的最小值为1．故选：A例3设中，三个角对应的三边分别是，且成等比数列，则角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知条件结合等比数列知识，代入余弦定理进行化简，求出范围【详解】∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理，得cosB=又B∈（0，π），∴B∈（0，．故选C．例4在中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可．【详解】设最小边的边长为，由题意可知，另个二个边的边长分别为：，显然三边不相等，且边长为的边为最长边，它所对的角为最大角，设为．因为最大角的正弦值为，所以或．当时，因为最大角为，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去；当时，由余弦定理可知：，解得或（舍去），因此三边长分别为：，因此三角形面积为：．故选：B例5中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由，故利用正弦定理将条件中边化成角，然后变形可得，利用三角形中角的关系及诱导公式可得，根据可得，进而得。可得结果。【详解】因为，所以由正弦定理可得，则，又，所以，即，因为，所以，，所以，即，故．故选D．例6在中，角对应的边分别为，，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A例7在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C例8已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．例9在中，，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于的三角函数，求出范围即可得结果．【详解】因为，所以，，即得，由正弦定理可得，则的可能取值为，故选：D．例10在中，内角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理以及三角恒等变换得出．【详解】由得，结合余弦定理，可得，再由正弦定理得，因为，所以，所以，得．因为，所以．故选：B例11已知在中，，则等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案．【详解】由正弦定理,得，因为，故或，故选：C例12在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角，由此可求．【详解】因为，又，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，故选：A．例13在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则________，__________．【答案】，．例14在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值．【详解】，由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：例15在三角形中，，且角、、满足，三角形的面积的最大值为，则______．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求得，利用余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】，即，因为，即，解得，，所以，设、、分别为角、、的对边，由余弦定理得，即．又因为，即，当且仅当时等号成立．所以三角形的面积．故答案为：．例16在中，角的对边分别为，若角依次成等差数列，且，，则．【答案】【解析】∵依次成等差数列，∴，由正弦定理，∴，∴或（舍去），∴，∴．例17在中，分别是角的对应边，若，则下列式子正确的是（）A．B．C．D．【答案】C例18在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为（）A．1B．C．D．【答案】C例19在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角得，即得．再根据三角形内角范围得．（2）由正弦定理将角化为边得，再根据余弦定理得，解方程组可得．试题解析：解：（1）由及正弦定理，得．在中，，∴，∴．∵，∴．（2）由及正弦定理，得，①由余弦定理得，即，②由①②，解得．举一反三1．在中，角的对边分别为．已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，由正弦定理，所以，故选A．2．中，角所对的边分别为．若，则边（）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】，即，解得或（舍去）．3．各角的对应边分别为，满足，则角的范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，整理得，由余弦定理得，．4．锐角中，角A、B、C所对的边分别为，若，，，则角（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先由求出，然后用余弦定理算出，然后再用余弦定理算出即可．【详解】因为所以所以，因为，所以所以由余弦定理得：所以所以因为，所以故选：B5．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，，的面积，则（）A． B．4 C．3 D．【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理可得，结合面积公式即可得，利用余弦定理求解．【详解】由正弦定理可得，即，所以，又，所以，则，因为，的面积，所以，解得，所以．故选：D．6．设的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，可化为，将其代入由余弦定理列出的，结合题中所给，，可求出，．由求得，最终可求出．【详解】，则由正弦定理得，又，，由余弦定理得，，，，由得，．故选：A．7．在中，角的对边分别为，若，，则的面积为（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用三角函数恒等变换和正弦定理，化简已知等式得c＝3acosB，由a＝2，c＝3，得cosB，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】∵tanB＝2tanA，可得：，即：2sinAcosB＝cosAsinB，∴sinC＝sinAcosB+cosAsinB＝3sinAcosB，由正弦定理得：c＝3acosB，∵a＝2，c＝3，∴cosB＝，因为B∈（0，π），得：．∴．故选：B．8．在中，内角的对边分别为若，则_______，的面积S=_______．【答案】【解析】由余弦定理可得；由三角形的面积公式可得，应填答案和．9．在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．【答案】【解析】由正弦定理得：，．10．的内角的对边分别为,若,则_______【答案】【解析】由正弦定理可得11．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则．EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4【答案】．【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入．12．在中，，，，则 ．【答案】1【解析】课后练习1．在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所以，选A．2．已知中，的对边分别为若且，则（）A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】由可知,，所以，由正弦定理得,故选A3．在△ABC中，若，则B=（）A．B．C．D．答案及解析：D4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C=（）A． B． C． D．答案及解析：C由题可知所以由余弦定理所以故选C．5．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若，，，则（）A． B． C．4 D．答案及解析：B试题分析：运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．若，则，故选B．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．6答案及解析：C由余弦定理得，又由正弦定理可得，即，则，又，解得，故选C．7．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，b＝2，则△ABC的面积的取值范围是（）A．（1，+∞） B． C． D．答案及解析：B解：在△ABC中，由余弦定理知：cosA＝＝＝，又A∈（0，π），△ABC为锐角三角形，故A＝，故S△ABC＝bcsinA＝×2×c×sin＝c，当CB⊥AB时，cmin＝bcosA＝1，当CB⊥AC时，cmax＝＝4，故c∈（1，4），故S△ABC∈（，2），故选：B．8．已知△ABC中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．答案及解析：A【分析】由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可．【详解】由余弦定理，得，由，解得，所以，．故选：A．9．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，，则下列说法不一定成立的是（）A．△ABC可能为正三角形 B．角A、B、C为等差数列C．角B可能小于 D．角为定值答案及解析：B【分析】已知条件化简可得，根据余弦定理可解得，依次判断各选项即可得出结果．【详解】,,化简可得：，，即，．所以△ABC可能为正三角形，角B可能小于,角为定值,一定成立，只有当时，角为等差数列，所以角为等差数列不一定成立．故选：B．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）A． B． C． D．答案及解析：D【分析】结合已知条件和正弦定理可得，即，，再根据和两角和的正切公式，以及三角形内角之间的关系，即可求出，再根据同角关系即可求出．【详解】由，利用正弦定理得，即，所以，．代入，解得，又，，同号，所以，所以．故选：D．11．已知在中，，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得，∴，∴．∵在三角形中有，∴．∴．∵，∴，即．故为直角三角形．选A．12．中，角所对的边长分别为，，且，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理得，即，又，。13．在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由由余弦定理得所以①