56函数y=Asin(ωxφ)（八大题型）（原卷版）

5．6函数【题型归纳目录】题型一：根据函数图象求解析式题型二：同名函数图象的变换题型三：异名函数图象的变换题型四：变换的重合问题题型五：求图象变换前、后的解析式题型六：由图象变换研究函数的性质题型七：三角函数图象与性质的综合应用题型八：用五点法作函数的图象【知识点梳理】知识点一：用五点法作函数的图象用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．知识点二：函数中有关概念表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相．知识点三：由得图象通过变换得到的图象1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径知识点诠释：一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y=sinx的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位；（2）再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）；（3）再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）．【典型例题】题型一：根据函数图象求解析式例1．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（

）A． B．C． D．例2．（多选题）如图是函数的部分图像，若图象经过点，则=（

）A． B． C． D．例3．函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为.变式1．函数是常数，的部分图象如图所示，则的值是.变式2．如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为．变式3．已知，若函数的图像如图所示，则．变式4．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为．变式5．已知函数的部分图象如图所示，其中，则．变式6．如图是函数的部分图象，则函数的一个解析式为.【方法技巧与总结】确定函数（）的解析式的步骤（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，．（2）求，确定函数的周期，则．（3）求，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．题型二：同名函数图象的变换例4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（）．A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变例5．为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（）．A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变例6．由的图象怎样得到的图象？变式7．将函数的图象作怎样的变换可以得到函数的图象？变式8．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（

）A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变变式9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（

）A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变变式10．已知曲线C1：，C2：，则错误的是（

）A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线变式11．已知函数，为了得到函数的图象，只需（

）A．将函数图象上所有的点向左平移个单位B．将函数图象上所有的点向右平移个单位C．将函数图象上所有的点向左平移个单位D．将函数图象上所有的点向右平移个单位变式12．为了得到的图象，则需将的图象（

）A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位【方法技巧与总结】对，，的三点说明（1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系．（2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系．（3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．题型三：异名函数图象的变换例7．已知函数的图象，问需要经过怎样的变换得到函数的图象，并且平移路程最短？例8．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度例9．把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移变式13．要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位变式14．已知曲线，则下面结论正确的是（

）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2变式15．为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（

）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度【方法技巧与总结】变为同名再变换．题型四：变换的重合问题例10．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（

）①的一个周期为；②的图象关于对称；③是的一个零点；④在单调递减.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④例11．已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位例12．函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式16．将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（

）A． B．C． D．变式17．已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（

）A． B． C． D．变式18．的图象向左平移个单位，恰与的图象重合，则的取值可能是（

）A． B． C． D．变式19．将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2题型五：求图象变换前、后的解析式例13．已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则．例14．将函数图象上的所有点向右平移个单位，再把所得到的曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则.例15．将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标．变式20．函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则．变式21．将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则．变式22．若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则．变式23．把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是，则函数的解析式为．变式24．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则的可能取值是（只需填一个值）变式25．将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为.变式26．将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则．【方法技巧与总结】常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．题型六：由图象变换研究函数的性质例16．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是.例17．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为．例18．函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则．变式27．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，取最小值时，若在区间上有解，则实数t的取值范围为.变式28．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为．变式29．将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，则的最小值是.变式30．将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点，则m的最小值是.变式31．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为__________.变式32．已知函数（其中为常数，且）有且仅有三个零点，则的取值范围是．变式33．已知函数，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，且当x∈时，，则a的取值范围是.变式34．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，记与的图象在轴的右侧的所有公共点为，则的最小值为.【方法技巧与总结】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用公式求周期；②根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．题型七：三角函数图象与性质的综合应用例19．已知函数的最大值为．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)将的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到的图象，求满足的x的取值集合．例20．已知函数，当时，取得最大值2，的图象上与该最大值点相邻的一个对称中心为点．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．例21．已知函数在一个周期内的图象经过，，且的图象关于直线对称．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围．变式35．已知函数，满足______．在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．(1)求的解析式；(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．变式36．已知函数周期是.(1)求的解析式；(2)将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围.变式37．已知函数，．(1)当时，的最大值及相应的x值；(2)将的图象向左平移个单位后关于原点对称，，求的所有可能取值．变式38．已知函数（其中，，）的图像如图所示.(1)求函数的解析式及其对称轴方程；(2)将函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到了函数的图像，若函数在上单调递增，求的取值范围.变式39．如图是函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．(1)求函数的解析式及上的单调增区间；(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值.变式40．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)当时，求的单调递减区间；(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.变式41．已知函数的最小正周期为.(1)求的值及函数的单调递减区间；(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若在上至少含有10个零点，求的最小值.变式42．已知函数的最小正周期为.(1)求图象的对称轴方程；(2)将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域.【方法技巧与总结】研究函数性质的基本策略（1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．（2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域．题型八：用五点法作函数的图象例22．已知函数(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；(2)结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间；(3)当时，的取值范围为，求的取值范围.例23．已知函数.(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像；(2)先将函数的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的取值范围.例24．已知函数．(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像，并写出图像的对称中心；(2)先将函数的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，若在上的值域为，求的取值范围变式43．已知函数．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像，并写出图像的对称中心；（2）先将函数的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上的值域为，求的取值范围．变式44．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入的部分数据如下表：00200（1）求，，的值及函数的表达式；（2）将函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.变式45．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：0020（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）将函数的图像向左平移个单位后，再将得到图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递减区间.【方法技巧与总结】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．【过关测试】一、单选题1．把函数的图象向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则（

）A． B． C． D．2．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需要将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在时的值域为（

）A． B．C． D．4．已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递减 D．的一个零点为5．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（

）A． B． C． D．6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．直线是图象的一条对称轴C．图象的对称中心为D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象二、多选题9．已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍可以得到的图象B．的图象关于直线对称C．的最大值为D．在区间上单调递减10．若函数在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（

）A．B．的图象的一个对称