自控原理复习课

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响--分析可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合第二章控制系统的传递函数数学模型：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常见的数学模型有：微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。称为环节的传递函数式中：x（t）—输入，y（t）—输出为常系数设系统或元件的微分方程为：[关于传递函数的几点说明]1、传递函数的概念适用于线性定常系统，2、传递函数忽略了初始条件的影响。3、传递函数可以有量纲。4、传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。

5、传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。式中：y(t)x(t)R1R2C[实例][例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFiFi图2图1根据牛顿定理，小结传递函数的基本概念；传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）；典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）。§2.4控制系统的结构图及其等效变换

1.结构图的组成及绘制（1）组成：信号线；方框（环节）；比较点；引出点。（2）结构图的绘制：2.结构图的等效变换和化简：

2）环节并联：3）反馈等效：1）环节串联：

⑦比较点、引出点换位：

⑥引出点后移：

⑤引出点前移：用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：二、梅逊公式（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；第k个前向通道的特征式的余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；⒈一阶系统的数学模型

其闭环传递函数为：式中，，称为时间常数。-典型的一阶系统的结构图如图所示第三章时域分析⒉单位阶跃响应即在t=0时，曲线的切线斜率为1/T。该响应曲线的斜率是一、典型二阶系统的瞬态响应

下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:闭环传递函数为:-这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。第四节二阶系统的瞬态响应特征根为：，注意：当不同时，（极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。特征方程为：⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。

上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅周期振荡一对共轭虚根

二、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系（一）衰减振荡瞬态过程：⒈上升时间：根据定义，当时，。称为阻尼角，这是由于。⒉峰值时间：当时，由于出现在第一次峰值时间，取n=1，有：故：⒊最大超调量：⒋调节时间：所以⒌振荡次数N：由分析知，在之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取作为设计依据，称为最佳阻尼常数。第五节高阶系统分析存在一对离虚轴最近的共轭极点；附近无零点；其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。3.5控制系统的稳定性分析1特征方程法系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的所有特征根或闭环传递函数的所有极点均位于s平面的左半部。2代数判据法根据特征方程的系数来判别特征方程根的实部符号，从而判定系统的稳定性。常用的代数判据有劳斯判据和胡尔维茨判据两种。由于时间有限，仅讲劳斯判据。2.劳斯判据

（1）劳斯判据1为：系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数均大于零。这句话包括两个方面：①不缺项。②系数同号。它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。（2）劳斯判据2为：线性系统稳定的充要条件是劳斯阵列表中第一列所有项系数均大于零，系数变量次数为极点在s右半平面的个数。退出退出（3）劳斯判据判稳的两种特殊情况①在劳斯阵列表中，如果某一行中的第一列项等于零，而其余各项不为零或不全为零。那么可以用一个很小的函数来代替为零的第一项，并且据此可以计算出劳斯阵列表中的其余各项，然后看阵列中的第一列系数，全大于零系统稳定；否则，不稳定。例3-4设线性系统的特征方程为，试应用劳斯稳定判据分析该系统的稳定性。

退出

②在劳斯阵列表中，如果某一导出行中的所有系数都等于零，则表明在s平面内存在一些大小相等，但位置径向相反的根，即存在两个大小相等符号相反的根。在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取代各项，最后用劳斯判据加以判断。系统稳态误差：当t→∞时的系统偏差，用表示。即-+-对单位反馈系统，给定作用即为输出量的希望值，，偏差等于误差。一、误差及稳态误差的定义第六节稳态误差分析二、稳态误差的计算-+-①给定作用下的误差传递函数②扰动作用下的偏差传递函数+③给定和扰动同时作用下的偏差表达式④对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差终值定理要求和可拉氏变换；存在；并且除在原点处可以有极点外，的所有极点都在s平面的左半开平面。即只有稳定的系统，才可计算稳态误差。例1系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？-解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳系统特征方程为由劳斯判据知稳定的条件为：由稳定的条件知：不能满足的要求三、给定输入作用下系统的误差分析这时，不考虑扰动的影响。可以写出随动系统的误差：-显然，与输入和开环传递函数有关。假设开环传递函数的形式如下：式中：开环放大系数；积分环节的个数；开环传递函数去掉积分和比例环节；可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的开环增益有关；与积分环节的个数有关。系统的无差度阶数（开环传递函数的型）通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。当，无积分环节，称为0型系统当，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统当，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统式中：称为位置误差系数；稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为有差系统。在单位阶跃作用下，的系统为有差系统，的系统为无差系统。当输入为时（单位阶跃函数）的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪阶跃输入的能力。当输入为时（单位斜坡函数）式中：称为速度误差系数；的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪斜坡输入的能力。根据计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的误差。当输入为时（单位加速度函数）式中：称为加速度误差系数；的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪抛物线输入的能力。根据计算的稳态误差是系统在跟踪加速度阶跃输入时位置上的误差。当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即小结：给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益有关；对有差系统，K↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。例：如图所示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：第4章根轨迹的基本概念闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：的根。[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。[一些约定]：在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“”表示根轨迹上的点。我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。1、标注开环极点“”和零点“”；○3、画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：2、确定实轴上的根迹区间；4、计算极点处的出射角和零点处入射角：第三节控制系统根轨迹的绘制5、计算根轨迹和虚轴的交点；s=jw带入特征方程或者劳斯判据6、计算会合点和分离点：注意：后两步可能不存在；在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。频率特性的基本概念频率特性的对数坐标图频率特性的极坐标图奈魁斯特稳定判据稳定裕度闭环系统的性能分析第五章控制系统的频率法分析

本章主要内容[结论]：当传递函数中的复变量s用代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数频率特性可以写成复数形式：，也可以写成指数形式：。其中，为实频特性，为虚频特性；为幅频特性，为相频特性。在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）对数频率特性曲线（又称波德图）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）第二节频率特性的几种表示方法

幅频特性：；相频特性：⒈比例环节：;对数幅频特性：相频特性：⒉积分环节的频率特性：频率特性：可见斜率为－20/dec当有两个积分环节时可见斜率为－40/dec⒊惯性环节的频率特性：①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当时，，称为低频渐近线。高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程下降20分贝）。当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为：，得： ，称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。①纯微分：②一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到。低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：实频特性：；虚频特性：；ReImK⒈比例环节：;幅频特性：；相频特性：比例环节的极坐标图为实轴上的K点。第三节极坐标图下图为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低频段频率特性n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对应的奈魁斯特路径分别为：当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即第六节稳定裕度相位裕度和幅值裕度的计算：

相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于较小（小于2），所以：穿越频率处的相角为：相角裕度为：

幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：第六章控制系统的综合与校正1

基本概念2根轨迹法校正3频率法校正4参考模型法校正5频率法反馈校正6控制系统的结构设计校正装置根据在系统中的连接方式，可以分为：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正。2、根据上述问题的分析，请你总结一下什么时候用超前校正比较适合？要求校正系统的剪切频率应大于未校正系统的剪切频率1迟后校正环节分析串联迟后校正不影响系统的相对稳定性的条件是在根轨迹图上通过校正前后系统的相轨迹不发生明显的变化，因而闭环主导极点的位置不发生明显改变来保证的。在这种情况下，校正前后闭环主导极点对应的增益系数如何变化，增大、还是减小？（1）迟后校正主要用来校正系统的低频段，用来增大未校正系统的开环增益，以便提高系统的稳态控制精度。而超前校正主要在于改变未校正系统中频段的形状，以便提高系统的动态特性。（2）迟后校正使用条件：校正后系统剪切频率小于未校正系统。§7.1描述函数法（2）(2)描述函数定义输出基波：输入：描述函数N(A)的定义：理想继电特性的描述函数：演示描述函数1

基本假设①

结构上：N(A),G(j

)串联

②N(A)奇对称,y1(t)幅值占优

③G(j

)低通滤波特性好2

稳定性分析3

的绘制及其特点不包围包围相交于则系统稳定不稳定可能自振线性系统与非线性系统稳定性分析4

自振分析

(定性)穿入穿出相切于

不是自振点