2022届高考数学必练题

2022年高考数学考前必练题

1.如图所示，△88与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCO_L平面8c。，ABX.

¥fHlBCD,AB=26.

(1)求证：/8〃平面A/CD；

(2)求平面/CW与平面88所成二面角的正弦值.

【分析】(I)取CD的中点O,可得MO±CD,再由平面与平面垂直的性质可得MO1

平面8。，结合平面BCZ),得到由直线与平面平行的判定得到平

面MCD-,

(2)连接08,则O8_LCD,又MOJ_平面BCD,以。为坐标原点，分别以OC、BO、

0M所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面/CM与平面BCD的一个

法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面BCD所成二面角的正弦值.

【解答】(1)证明：取8的中点。，•.,△MCD为正三角形，...A/OLCQ,

由平面平面8c£>,平面”8。平面88=8,

MOu平面MCD,：."。1_平面BCD,

又•.【BL平面8CZ),.,.AB//MO,

平面A/C£>,MOu平面欣?£>,平面A/CZ)；

(2)解：连接08,则又MO_L平面8cD,

...以。为坐标原点，分别以OC、80、OA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

由已知可得，OB=OM=W，则C(1,0,0),M(0,0,V3),B(0,一百，0),

A(0,-V3,2遮)，CM=(-1,0,V3),CA=(-1,-V3,273),

设平面4CM的法向量为1=(x,y,z),

Jn-CM=-x+V3z=0,取z=],布=(百，i,八

(n-CA=-x-V3y+2V3z=0

又平面88的法向量OM=(0,0,V3).

£.而_总_在

cos<n，OM>=

\n\-\0M\底乂代5'

.__________7fc

设所求二面角为。，则sin9=71-cos?。=飞一.

2-75

平面NCM与平面BCD所成二面角的正弦值为《一.

x

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用

空间向量求解空间角，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-/8C。中，底面/8C。是直角梯形，NBCD=90°,AB//CD,又

AB=BC=PC=l,PB=y12,CD=2,ABLPC.

(1)求证：PC_L平面/8CZ)；

(2)求我与平面/BCD所成角的余弦值；

(3)求二面角8-尸。-C的余弦值.

【分析】(1)证明PCL8C,结合"8上尸C,证明尸C,平面48CD.

(2)方法一：连接NC,说明/RJC为R1与平面48。所成的角，通过求解三角形推出

结果即可.

方法二：连接/C,说明/R/C为州与平面488所成的角.以C为原点，CD,CB,

CP分别为x、八z轴，建立空间直角坐标系C-孙z,利用空间向量的数量积求解均与

平面/8CD所成角的大小.

(3)方法一：过C作CMJ_P。于M,连接8”.说明NCM8为二面角8-PO-C的平

面角.通过求解三角形推出二面角8-PD-C的大小.

方法二：过C作CM_LZ)尸于连接8M,设A/(x,y,z),说明NCMS为二面角2-

PD-C的平面角利用空间向量的数量积求解二面角B-PD-C的大小即可.

【解答】(1)证明：在△P8C中，:BC=PC=1,PB=y[2,

:.Bd+Pd=P留,：.ZPCB=90Q,BPPCLBC.

"：ABLPC,ABCBC=B,N8u平面N2C。，8Cu平面N8CD,

：.PCmABCD.

(2)解：方法一：

如图，连接NC,由(1)知尸C_L平面/8CQ,；.4C为总在平面N8CZ)内的射影，

ZR4C为PA与平面ABCD所成的角.

在△ABC中，VZABC=90°,AB=BC=\,：.AC=\lAB2+BC2=V2.

在△为C中，VZPCA=90Q,PC=1,AC=V2,：.tan^PAC==^-,

V6

：.PA与平面ABCD所成角的余弦值为一.

3

方法二：

连接ZC,由(1)知PC_L平面488,.JC为处在平面/BCD内的射影，

APAC为PA与平面ABCD所成的角.

如图，以C为原点，CD,CB,CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-砂z,

则C(0,0,0),B(0,1,0),D(.2,0,0),P(0,0,1),A(1,1,0),

TT,

：.AC=(-1,-1,0),AP=(-1,-1,1),；.的""=产”=噂,

\AC\-\AP\

V6

：.PA与平面/8CD所成角的余弦值为行■.

(3)解：方法一：

由(1)知PC_L8C,又BC工CD,PCC\CD=C,平面PCD

如图，过C作CM±PD于M,连接BM.：.CM是BM在平面PCD内的射影，；.BM1.

PD,

：.NCMB为二面角B-PD-C的平面角.

在中，VZPC£>=90°,PC=\,8=2,APD=y/PC2+CD2=V5,

又：.PDCM=PCCD,，CM=^^=等.

在△CM8中，VZ5CA/=90°,BCG,CM=等，CCMB=需=拳

2

二面角B-PD-C的余弦函数值为J.

方法二：

过C作于"，连接设y,z),则加=(一%,-y,-z),DM=

(x-2,y,z),而=(-2,0,1).'：MC^DP,：.MC-DP=2x-z=0.①

'：DM,而共线，Ay=0,7=2，②

由①、②，解得％=看,尸0,z=g,点的坐标为4，0,吉)，麻=(一看，1，一$，

JJJJJJ

t24——44

MC=(-*0,->・・・MB・DP=1+0-1=0,：・MB工DP,

T74T

又・.・CM_LOP,・・・NCN8为二面角8-PD-C的平面角...・时。=(一5，0,-J),MB=

T—>

(一看，1,Y),...COSNCMB：-^丝一=£,；•二面角5-PO-C的余弦函数值为士

'，\MB\-\MC\J3

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与

平面所成角的求法，是中档题.

3.如图，菱形N8CZ)的对角线ZC与8。交于点E,SZ)=8,/C=6,将△/CQ沿NC折到

△PAC的位置使得PD=4.

(1)证明：PBLAC.

(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

【分析】(1)证明推出8E_L/C,PELAC.然后证明/CJ_平面P8E.即可证

明PBLAC.

(2)取DE的中点。，连接。尸，取CD的中点尸，连接OF.以O为坐标原点，OF,0D,

办的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-kz.求出平

面PAB的法向量,平面PCD的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即

可.

【解答】(1)证明：因为488是菱形，所以ZCJ_8。，

则BE±AC,PELAC.

因为BEu平面PBE,PEu平面且BECPE=E,所以4C_L平面尸8E.

因为P8u平面所以P8_LZC.

(2)解：取。E的中点O,连接0P,取8的中点尸，连接0E

因为8。=8,所以DE=PE=4.

因为PD=4,所以尸。=M，所以POLOE.

由(1)可知NCJ_平面P8E,所以平面尸8D_L平面N8C。，则PO_L平面N8CQ.

故以。为坐标原点，OF,0D,办的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系