7.3空间几何体截面轨迹问题（精讲）（原卷版）

7.3空间几何体截面、轨迹问题【题型解读】【知识必备】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。【题型精讲】【题型一截面形状判断】技巧方法确定截面的主要依据用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．例1（2022·陕西安康·高三期末）已知在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，，如图，则过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形例2（2022·海原县高三模拟）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，点、分别是楼、中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形【跟踪精练】1.（2022·陕西高三模拟已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形2.（2022·全国·高三专题练习）正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【题型二截面面积求解】例3（2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A． B． C． D．例4（2022·河南·高三阶段练习）如图所示，已知球为棱长为3的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为A． B． C． D．【跟踪精练】1.（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为A． B．36 C． D．2.（2022·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为A． B． C． D．【题型三平行、垂直有关的轨迹问题】例5（2022·江西高三模拟）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（

）A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为B．满足的点P的轨迹长度为C．存在点P，使得平面AMP经过点BD．存在点P满足例6（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（

）A．平面截正方体所得截面面积为B．点F的轨迹长度为C．存在点F，使得D．平面与平面所成二面角的正弦值为2.（2022·全国·高三专题练习）点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．【题型四距离、角度有关的轨迹问题】例7（多选题）（2022·山东·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．存在点P，M，使得平面与平面平行B．存在点P，M，使得二面角大小为C．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为D．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为例8（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．【题型精练】1.（多选题）如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（

）A．存在点P，M，使得平面与平面PBD平行B．当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形C．过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为2.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________.【题型五翻折中的轨迹问题】例9（2022·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）①点的轨迹为圆弧；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中点为，则的长为定值；【题型精练】1.（2022·四川高三模拟）（多选）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的