5.4三角函数的图象与性质（精讲）

5.4三角函数的图象与性质（精讲）三角函数的图像及性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无二．周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期一．用三角函数图象解三角不等式(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集.二．求三角函数周期(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.三．判断函数奇偶性(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(－x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.四．单调区间的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．五．比较三角函数值大小(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．六．求三角函数值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论.考点一“五点法”作图的应用【例11】（2022·全国·高一专题练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】函数图象见解析【解析】（1）解：因为，取值列表：0000描点连线，可得函数图象如图示：（2）解：因为，取值列表：00200描点连线，可得函数图象如图示：（3）解：因为，取值列表：01311描点连线，可得函数图象如图示：（4）解：因为，取值列表：0202描点连线，可得函数图象如图示：【例12】（2023秋·高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案见解析【解析】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）用“五点法”作出下列函数的简图.(1)，；(2)，.（3）在一个周期（）内的图像．(4),;(5),．（6），【答案】图象见解析图象见解析【解析】（1）列表：描点、连线、绘图，如图所示.（2）列表：1－1描点连线如图.（3）列表:001010图像如图所示：（4）解:由题知,,列表如下:21232根据表格画出图象如下:（5）解:由题知,,列表如下:10101根据表格画出图象如下:（6）根据五点法作图列表得：画图像得：考点二正弦、余弦函数的周期【例21】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【答案】D【解析】A.y＝sinx的最小正周期为，故错误；B.y＝cosx的最小正周期为，故错误；C.y＝sin的最小正周期为，故错误；D.y＝cos，故正确；故选：D【例22】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的最小正周期为，故A不符合；函数，其最小正周期为，故B不符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数，则其最小正周期.故选：B.2．（2023北京）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意；对于B，作出函数的图象，由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意；对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意；对于D，函数，其图象如图，由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意.故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，的最小正周期为；对于B，，的最小正周期为；对于C，，的最小正周期为；对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC4．（2023春·江西上饶·高一校联考期中）（多选）下列函数，最小正周期为的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A错误；对于B，作出函数的图象如下，观察可得其最小正周期为，故B正确；对于C，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故C正确；对于D，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故D错误.故选：BC考点三正弦、余弦函数的奇偶性【例31】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，∵，∴函数是偶函数，故A错误；对于B，∵，∴函数是偶函数，故B错误；对于C，函数是偶函数，故C错误；对于D，函数是奇函数，最小正周期，故D正确．故选：D.【例32】（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数）是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数）是奇函数，所以，解得，所以的最小值为，故选：A【例33】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3).【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数．【解析】（1）的定义域为，，因为，所以为偶函数，（2）的定义域为，，因为，所以为奇函数，（3）由，得，解得，所以函数的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数（

）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】由可知是奇函数．故选:A2．（2023春·云南·高一校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成（如下图所示），又的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确；对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误；对于C：定义域为，，即为偶函数，又，所以为的周期，故C错误；对于D：为最小正周期为的偶函数，故D错误；故选：A3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知函数是奇函数，则的值可以是（

）A．0 B．C． D．【答案】BD【解析】由函数为奇函数，可得，解得，当时，，所以B满足题意；当时，，所以D满足题意；故选：BD.4．（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（多选）以下函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，对于:,,所以为奇函数,故错误对于:,所以为偶函数,故正确;对于:,,所以为偶函数,故正确;对于:,,所以为偶函数,故正确;故选:考点四正弦、余弦函数的对称性【例41】（2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数的图象（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】B【解析】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误；B.，所以函数关于直线对称，故B正确；C.，所以函数不关于点对称，故C错误；D.，所以函数不关于点对称，故D错误；故选：B【例42】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的图像关于点中心对称，所以，，所以，，所以当时，当时，时，所以的最小值为.故选：C【一隅三反】1．（2023云南）函数图象的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，由，得，，则不是函数图象的一个对称中心，故A错误；对于B，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故B错误；对于C，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故C错误；对于D，，得，，则是函数图象的一个对称中心，故D正确.故选：D.2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，对于A，当时，，则是曲线的对称轴，A是；对于B，当时，，则不是曲线的对称轴，B不是；对于C，当时，，则不是曲线的对称轴，C不是；对于D，当时，，则不是曲线的对称轴，D不是.故选：A3．（2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称【答案】BD【解析】因为，令，则，所以的对称轴方程为：，令，则D正确，A错误；令，则，所以的对称轴中心为：，令，则的一个对称中心为，则B正确，C错误.故选：BD.考点五正弦、余弦函数的单调性【例51】（2023春·重庆江津·高一校考期中）（多选）函数在（

）A．区间上是增函数 B．区间上是增函数C．区间上是减函数 D．区间上是减函数【答案】BC【解析】.A选项，因在上单调递增，在上单调递减，则在上无单调性，故A错误；B选项，因在上单调递减，则在上单调递增，故B正确；C选项，因在上单调递增，则在上单调递减，故C正确；D选项，因在上单调递增，在上单调递减，则在上无单调性，故D错误.故选：BC【例52】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调递增区间是.【答案】【解析】由，解得，所以函数的单调递增区间是.故答案为：【例53】（2023春·广西钦州·高一校考期中）（多选）下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A选项，时，，单调递增，故A符合.B选项，时，，单调递减，故B不符合.C选项，时，，，单调递减，故C不符合.D选项，时，，，单调递增，故D符合.故选：AD.【例54】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由题意有,可得,又由，在上为减函数，故必有,可得.故实数的取值范围为.故答案为：【一隅三反】1．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）函数的一个单调减区间是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】作出函数的图象如图所示，由图象可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间．故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，即函数的单调递减区间为，取可得，为函数的单调递减区间，B正确；取可得，为函数的单调递减区间，令，解得，即函数的单调递增区间为，取可得，为函数的单调递增区间，A错误；因为在上单调递增，C错误；取可得，为函数的单调递增区间，所以在上单调递增，D错误故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）函数的单调递减区间为.【答案】【解析】因为，所以的单调递增区间就是的单调递减区间．令，解得.所以函数的单调递减区间为.故答案为：.4．（2023·全国·高一课堂例题）函数的单调递增区间为．【答案】，【解析】由题意，得，所以，，解得，．令，，则，．所以的单调递增区间为，，所以函数的单调递增区间为，．故答案为：，5．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，所以.当时，由在区间上单调递增可知，得；当时，由解得；当时，无实数解.易知，当或时不满足题意.综上，ω的取值范围为.故选：D6．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的图象的对称轴为直线，，因为在区间上不单调，所以对称轴，在直线与直线之间，即，，化简得，，因为，所以令，得，又当时，，综上.故选：B．考点六正弦、余弦函数的单调性的应用【例61】（2023春·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，，又，所以，故C错误；对于D，因为，，又，所以，即，故D正确.故选：D.【例62】（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，所以，所以.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·广西钦州·高一校考期中），，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以.故选：B2．（2023·全国·高一假期作业）下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，在上单调递增，所以，故A正确；因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近，所以，故B正确；因为，而，函数在上单调递增，所以，故C正确；因为，而，由正弦函数的单调性可知，故D错误.故选：D3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）设，则大小关系（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，且在上单调递增，则，即；又因为，且在上单调递减，则，即，且，所以.故选：B.考点七正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例71】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数，则的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，所以的值域是.故选：C.【例72】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是．【答案】【解析】函数，，当时，函数取得最小值.故答案为：【例73】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）函数的值域为．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.【例74】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，可得，因为函数的值域为，所以，解得.故选：C.【一隅三反】1（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为函数在上递增，上递减，又，，，所以即.故选：A．2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）函数的最小值是．【答案】【解析】由，又，则，所以，所以函数的最小值是．故答案为：．3．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，令则,如图所示，∵的值域是，，∴，即：∴由图可知，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.4．（2