4.3.1等比数列的概念（第2课时）（导学案）高二数学（人教A版2019选择性）

等比数列的概念（第2课时）导学案学习目标理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.理解等比数列的常用性质.掌握等比数列的判断及证明方法．重点难点1、教学重点运用等比数列的知识解决简单的实际问题.2、教学难点根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质，课前预习自主梳理知识点一实际应用题常见的数列模型1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y＝a(1＋r)n.2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y＝N(1＋p)n.知识点二等比数列的常用性质设数列{an}为等比数列，则：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq\f(1,q)，q2.(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq\f(p,q).知识点三等比数列性质的应用一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或eq\f(a,q)，a，aq，此时公比为q；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3(公比为q)，当四个数均为正(负)数时，可设为eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3(公比为q2)．自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.()(2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，则数列{an＋bn}也一定是等比数列．()(3)若数列{an}是等比数列，则{λan}也是等比数列．() 【答案】（1）×(2)×(3)×2.已知等比数列中，，则（

）A．8 B．14 C．128 D．256【答案】C【分析】根据等比数列的性质计算出答案.【详解】由等比数列的性质可知：，故,故选：C3.已知数列为等比数列，，则的值为（

）A．16 B．8 C．8 D．16【答案】C【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，故选：C4.已知数列为等比数列，且，则等于（

）A． B．32 C．12 D．【答案】B【分析】首先根据等比数列的性质计算，再根据所有的奇数项同号可求得的值，再由即可求解.【详解】由等比数列的性质可得，所以，因为，所以或，因为所以所以，故选:B.5.根据下列通项能判断数列为等比数列的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据可判断A和B，根据可判断C，根据可判断D.【详解】对于A，，，则有,故数列不为等比数列；对于B，则有，，则有，故数列不为等比数列；对于C，，故数列是首项为，公比为的等比数列；对于D，，故数列不为等比数列．故选：C．新课导学学习探究环节一创设情境，引入课题例4用10000元购买某个理财产品一年．（1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）?（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)?分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，，…构成等比数列．解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以所以，12个月后的利息为(元)．（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是．因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元．解不等式，得所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．环节二观察分析，感知概念例5 已知数列的首项．（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；（2）若为等差数列，公比，证明数列为等差数列．分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．证明：（1）由，，得的通项公式为设，则．又，所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．（2）由，，得两边取以3为底的对数，得所以又所以，是首项为1，公差为的等差数列．环节三抽象概括，形成概念思考：已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列?环节四辨析理解深化概念例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内?分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法．解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．由题意，知，，其中，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是．由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表)．表n1234567anbnn891011121314anbn环节五概念应用，巩固内化观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可．由，得．所以，当时，递减．又，所以，当时，．所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内．为什么？环节六归纳总结,反思提升问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？1．知识清单：(1)等比数列的实际应用．(2)等比数列的常用性质．(3)等比数列的判定和证明．2．方法归纳：方程和函数思想．3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一.(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值．相同点(1)都强调每一项与前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1、d或a1、q确定．联系(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列；(2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.环节七 目标检测，作业布置完成教材：第34页练习第1，2，3,4题备用练习1.在等比数列中，若，则（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用等比数列的性质可知，再结合条件即求.【详解】因为数列是等比数列，所以，又因为，所以.故选：D.2.已知正项等比数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由等比数列的性质得到，再根据等比数列的性质可知，再计算求值.【详解】由等比数列的性质可知，并且，，，.故选：B3.在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及题干条件，可得q值，根据，代入计算，即可得答案.【详解】由题意得，又，所以．故选：A4.已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则．【答案】C【详解】设等比数列的公比为，且若，则，所以，故正确，不正确；若，则，因此不正确，正负不定，D不正确.故选C5.已知等比数列的各项均为正数，且，则（

）A． B． C．10 D．15【答案】C【分析