计算流体力学课件：差分方法2

有限差分法（2）知识点：离散误差的Fourier分析;

间断周围数值振荡的原因、群速度控制（GVC）；

模型方程向N-S方程的推广：流通矢量分裂

12知识回顾1.有限差分基本原理差商->微商待定系数法…j-2j-1jj+1…2.基本概念差分格式、截断误差、精度差分方程、修正方程显格式、隐格式全离散、半离散守恒性、非守恒型3.相容性、稳定性;Lax等价定理3知识回顾:守恒型格式写成差量形式习惯写法：4§4.1差分格式的误差分析概念1：

精度

vs.分辨率描述网格充分密集时差分格式的误差特性描述网格有限的情况下，差分格式的误差特性2阶精度误差4阶精度格式1格式23阶精度显然：足够小的情况下，格式1误差更小并非足够小的情况下，格式2有可能误差更小精度特性分辨率特性5概念2：有效网格分辨率目的：计算差分，Case1Case2网格点数增加了一倍，但问题也复杂了一倍用同一差分格式计算，两种工况误差完全相同。有效网格点数：一个波长里面的网格点数（PPW:PointperWavelength)有效波数10个点20个点1.耗散与色散误差6精确解1阶迎风2阶迎风数值实验

时间推进：3步TVD型Runge-Kutta,且时间步长足够小（误差忽略）空间离散：1阶及2阶迎风格式（20个网格点）实验观察到的现象——两类误差：

振幅误差

相位误差（波速误差）

的实部应当为0，虚部应当为7上述现象误差源分析误差可忽略（高阶格式，步长充分小）误差源差分误差对方程（解）误差的影响半离散分析：假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用）全离散分析：同时分析时、空离散的误差（难度大）假设对于：有隐含假设:线性差分格式

非线性系统作用于单波，会产生多个谐波精确解精确差分格式（谱方法）:修正波数8令：（1）式化为：“半离散化”：空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算如果，无误差分析（修正波数）与误差的关系

理想情况：

的误差导致解的幅值误差——耗散误差

的误差导致解传播速度的误差——色散误差假设对于：有差分误差与方程解误差的关系

反映了一个波内的点数。PPW（波内的点数）=9耗散、色散误差分别由修正波数的实部和虚部决定。关键参数：修正波数含义：反应波数（谱）空间内差分的误差任意函数：定义：求导数，精确解差分解Fourier分析的任务计算出，并考差其与的逼近程度。考察格式分辨率（resolution）的重要指标

精度：反映时的情况

分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能对于多尺度问题，分辨率更重要。牺牲精度，提高分辨率

优秀的差分格式，1个波长里面6个点即可精度分辨率10如何计算修正波数？定义：

方法1.理论计算

根据差分具体表达式及定义计算例1：令则：于是：1阶迎风例2：2阶迎风11方法2：数值计算定义：Step1）选取计算域[0,2p],计算网格（例如1001）Step2）给定波数k,生成函数值Step3)调用差分子程序，得到导数值Step4)通过Fourier反变换，得到谱：假设已有求差分的子程序（黑箱，已知是线性的）线性黑箱强调：研究CFD本身，不能只使用理论手段，还要用数值手段根据修正波数的定义，有Step5)改变k的值，重复2-5，得到对于的依赖关系。画图非线性情况会产生高次谐波，造成step4中隐含的假设无法成立

将Fourier分析手段拓展到非线性系统

需要研究的课题仅提取波数为k的波12中心差分格式的色散特性0：精确解；1：4阶普通2：6阶普通；3：4阶紧致4：6阶紧致；5：6阶超紧致迎风差分格式的色散特性0：精确解，1：2阶迎风2：5阶迎风偏心3：3阶迎风紧致4：5阶迎风紧致每个波长里面2个网格点，谱方法的分辨率，差分法分辨率的极限（只有无穷阶精度才能达到）20阶超紧致格式——接近谱方法13不同差分格式的色散误差曲线结论：要求分辨率相同的情况下，

采用高阶格式可放宽空间网格步长，从而减少计算量重要方向：高分辨率差分格式0：精确解1：2阶迎风2:3阶迎风3：3阶迎风紧致4：5阶迎风紧致指定误差要求的情况下，不同差分格式能模拟的最大a(a越大，所需网格越少）

附录：部分差分格式…j-2j-1jj+1…表中的迎风差分格式均针对a>0当a<0时，需把下标的“j+k”换成“j-k”（例如把j+2换成j-2,把j-1换成j+1);并在表达式前加上“-”号。例：迎风偏斜格式：上游的基架点更多些（或上游权重更大）14§4.2数值解的群速度及间断处数值振荡来源对于：有修正波数数值解色散误差：数值解传播的速度与精确解不一致数值解传播偏快数值解传播偏慢0：精确解；1：2阶迎风；2：5阶迎风偏心3：3阶迎风紧致；4：5阶迎风紧致

快格式(FST)：

慢格式(SLW):

混合格式(MXD):

特点：波数越高，误差越严重1.色散误差与群速度15t=0.5时刻的精确解及数值解空间离散：五种不同格式；时间推进：3阶Runge-Kutta【数值实验】波的传播问题观察现象：1）高波数成分误差严重，低波数成分误差不明显；2）二阶Pade格式的解传播速度快于精确解，其余格式偏慢；3）迎风型格式有耗散，尤其是二阶迎风格式；

概念：群速度——波包传播的速度162.间断附近数值振荡的来源【数值实验】间断的传播计算域[0,1];计算网格点100

时间推进：3阶Runge-Kutta

空间离散：1）二阶中心差分

2阶迎风及2阶中心格式的色散特性2）二阶迎风差分172阶迎风精确解2阶中心过激波数值振荡的根源——色散误差导致群速度不一致快格式慢格式波前振荡波后振荡=+++…群速度控制的基本思路（群速度控制GVC:Fu&Ma）：

间断前、后分别采用慢格式和快格式，可有效抑制振荡Zhuang&Zhang:抑制波动原则

示意图：间断的Fourier分解好思路18利用GVC的思想构造可计算间断的差分方法1）间断的前后判据

简易方法：则j点在间断左侧j-1jj+1则j点在间断右侧原理：越靠近间断，振荡越剧烈（a>0时，右侧为“前”）2）根据GVC的思想构造格式间断前：快格式；间断后：慢格式；格式GVC23）改写成为守恒型非线性情况，通常守恒型效果更好NND格式GVC2a19

4）

a<0时，同样思路构造

（利用对称性，仅需把下标j+k换成j-k即可）

采用GVC2a(NND2a)格式的计算结果——消除振荡使用NND2a（守恒形式）；NND2（普通形式）及1阶迎风格式的计算结果将j换成j+120§4.3通量分裂技术格式F+格式F-对流项：信息（波）从上游传至下游——上游信息更重要——迎风差分扩散项：信息从中心向周围扩散——不区分上、下游——中心差分迎风差分优点：有效利用信息传播的方向，增强稳定性微分与差分方程的影响域N-S方程：单波方程：单波方程——一个波，容易判断波传播方向N-S对流项（Euler）——方程组：多波问题，复杂双曲方程组的原则——特征分解，找到独立传播的波常系数矩阵A的情况——完全解耦，独立求解变系数矩阵A的情况——局部讨论2122Step1针对模型方程构造差分格式Step2将格式推广到Euler方程方法1：流通矢量分裂(FVS)

特点：对流通矢量f(U)本身进行分裂

Steger-Warming,vanLeer,Lax-Friedrichs利用通量分裂技术，将模型方程推广到Euler(或N-S)方程格式1格式2格式1格式223方法2：通量差分分裂（FDS）特点：对流通矢量f的导数进行分裂

Godnov,Roe,HLL,HLLC

方法3：AUSM类方法vanLeer分裂法+压力项单独处理

利用Riemann解利用差分表达式，计算求解Riemann问题，获得通量1.Jacobian系数矩阵及其性质重要性质242流通矢量分裂(FVS)利用性质=+优点：耗散小缺点：导数间断方式A:特点：不必进行矩阵运算，计算量小Steger-Warming分裂A:Steger-Warming分裂25Steger-Warming具体步骤（以一维为例）已知1）计算2）计算3）计算4）带入（1）式得到5）利用不同的迎风格式，分别计算

（1）（后差，前差）6）计算7）时间推进26二维问题的steger-Warming分裂令：则：具体使用步骤，以计算为例令

计算特征值

分裂特征值，计算

带入左式，计算正、负流通矢量

计算计算设置，并注意对于曲线坐标系仅需令三维问题同样处理

二维、三维具体公式见傅德薰等《计算空气动力学》4.7节（158-162）书中公式有一定的排版错误，使用前务必重新仔细推导！27B:Lax-Friedrichs(L-F)分裂特点：正特征值负特征值=+缺点：耗散偏大局部L-F分裂，每个点上计算全局L-F分裂，全局（一维）上计算足够大数学性质（光滑性）最好，但耗散偏大常数与迎风格式结合，等价于人工粘性例如，可取28方式很多=+S-W:L-F:=+VanLeer:=+29

分裂后失去了A的性质（可以像常数一样与求导交换）FVS分裂：

优点：无需矩阵运算，计算量小

缺点：分裂后改变了特征方向，耗散大利用了性质一般情况下：变系数，

不能与导数交换实质：没有做到解耦；只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证f+向正向传播，f-向负向传播

缺点：由于未解耦，各变量的误差会相互传递30概念澄清：

流通矢量分裂本身不带来耗散，但其会影响到差分的耗散;举例：分裂过程耗散如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂不带来耗散。=+向上平移向下平移分裂差分格式耗散分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大精确满足，不引入误差！如使用低精差分度格式，则对分裂形式敏感（推荐使用特征分裂）如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感（可使用逐点分裂）313.特征重构方法常系数方程组：完全解耦变系数情况——局部冻结系数…j-2j-1jj+1…在基架点上系数不变计算：在差分基架点上Aj

不变，可按常矩阵处理局部冻结系数分别采用后差和前差优点：严格保证（局部）特征方向，数值解质量好；缺点：大量矩阵运算，计算量大。32通常写成守恒型差分，计算…j-2j-1jj+1…在基架点上系数不变具体步骤：

假设已知U，且针对模型方程（线性单波方程）

已构造出差分格式（1）1）计算出教材130页的公式(6.1.11-6.1.13),式中用到各变量在j+1/2的值（例如）

可使用j,j+1点值的算术平均（如）或Roe平均（教材6.4节）；由计算；方法很多，例如前面介绍的或33

均可2）

在网格基上计算…j-2j-1jj+1…计算fj+1/2用到的点注意，在该网格基上（例如k=j-1,j,j+1）保持不变例如：3)利用已构造好的差分格式，计算通量4）得到总通量

5）计算差分（j点处）步骤的算法描述（注意：实际上是两重循环）doj=1,Ndok=j-1,j+1(网格基，可以是更多或更少点)

enddoenddodoj=1,N

enddo需要多次矩阵运算，计算量大

守恒性好，耗散小，数值解质量好34作业题1：构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验针对单波方程：对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行Fourier误差分析，画出kr,ki的曲线。

要求：精度不限；

网格基架点数不超过6个；

能够分辨的波数范围尽量宽；

（即kr,ki曲线近可能接近准确解）

给出差分的具体表达式，画出kr,ki的曲线；

说明构造格式的阶数，并采用本PPT第5页的方法给出的精度验证；

形如：……另外，进行如下数值验证：空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用3步Runge-Kutta方法，时间步长可足够小（例如0.01）。给出t=20,50两个时刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。35提示：1.如不使用优化技术，则格式构造方法简单，Taylor展开后解代数方程组即可。2.建议尝试使用优化技术

例：假设格式形式如下如果要求其有5阶精度，则通过Taylor展开可得到6个方程，6个系数可直接解出。我们要求其有4阶精度（当然3阶，2阶也可），于是Taylor展开只能提供5个方程。6个未知数（a1-a6），5个方程；有1个自由参数。调整这个自由参数，使得kr,ki曲线最为理想。

如何调整？1)可以人工调整，观察kr,ki曲线，选取满意的。