专项训练04 一次函数与面积、最小值（原卷版）

一次函数与面积、最小值专项训练卷（2020春•浦北县期末）已知点，，，，若最短，则值是A． B．4 C． D．（2022春•五华区期末）如图，在平面直角坐标系中有两点，，点是轴上一点，使最小，则点的坐标为A． B． C． D．（2022秋•东阳市期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7（2021春•射阳县校级期末）如图，等腰的底边长为4，腰的垂直平分线分别交，于点，，若为底边的中点，点为线段上一动点，的周长最小值为8，则的面积是A．10 B．12 C．14 D．16（2019秋•秦淮区期末）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是A． B．4 C．5 D．（2022秋•思明区校级期末）如图，等腰中，，，是边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为．（2022春•静安区期末）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为．（2020秋•槐荫区期末）已知两直线：的关系式为，的关系式为，事实上，如果，则有；如果，则有．应用：（1）已知直线、的关系式分别为，，①如果直线，则；②如果直线，则．（2）有一直线经过原点，且与垂直，将直线向下平移2个单位后得到直线，求直线的关系式．（2020春•曲阜市校级期末）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线上的三点、、，有，，发现，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点坐标，，，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率．（1）请你应用以上规律直接写出过、两点的直线的斜率．探究活动二（2）数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线与直线垂直于点，，，．请求出直线与直线的斜率之积．综合应用（3）如图3，平面直角坐标系中有两点，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且垂直于直线的直线的解析式．（2018•沙坪坝区校级期末）如图，直线分别与直线、直线交于、两点，直线交轴于点，直线与轴和轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为，的横坐标为1，，，连．（1）求直线的解析式；（2）求的面积．（2022春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．（1）求直线的解析式；（2）直线交轴于点，求的面积；（3）当的面积是面积的3倍时，求出这时点的坐标．（2021秋•莲都区期末）已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为．（1）求点，点的坐标；（2）过点作直线，与交于点，且，求点的坐标；（3）连接，将沿轴向左平移得到△，再将以，，，为顶点的四边形沿剪开得到两个图形．若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求平移的距离．（2021秋•雅安期末）已知如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点．①求点和点的坐标；②请判断的形状并说明理由；③在直线上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2021秋•沈河区校级期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点为直线上一动点（点不与点重合），连结．（1）当点中时，的面积为；（2）在点的运动过程中，请直接写出的面积与之间的函数关系式及相应自变量的取值范围；（3）当点运动到什么位置时，的面积为5？请直接写出此时点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，过点作直线的垂线，交轴于点．（1）求直线的函数关系式；（2）连接，求的面积；（3）点是轴上一点，是否存在这样的点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2021春•本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求的面积；（2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标；（3）点，在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．（2021秋•高陵区期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线，交于点．（1）求直线的函数表达式．（2）试说明．（3）若为直线上一点，当时，求点的坐标．（2021春•青羊区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接．在直线上有一动点．（1）求直线的解析式；（2）若，求满足条件的点坐标；（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2020秋•丘北县期末）如图，在中，以为原点构建直角坐标系，点在轴上，与轴交于点，已知，．（1）求直线的解析式；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2022秋•中原区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．（1）求和的值；（2）直线与轴交于点，动点在轴上．①若的面积为8，求点坐标；②是否存在点使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．（2021秋•历城区期末）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，两直线交于点，解答下列问题：（1）求，的值和点的坐标；（2）若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标；（3）若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点的坐标．（2021秋•双流区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线于点．已知位于第三象限的点在直线上，且．（1）求点的坐标；（2）已知点，在轴负半轴上，点是上一点，连接，，则的值最小，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，若轴上有一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标．（2021秋•天府新区期末）已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于，两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．（1）求直线的表达式和点的坐标；（2）点是轴上的一动点，当时，求点坐标；（3）如图2，点坐标为，连接，点为直线上一点，且，求点坐标．（2021秋•济南期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．（1）求直线的表达式与点的坐标；（2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点．试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）试探究轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形是