16.3 分母有理化第3课时（分层作业）（3种题型基础练+提升练）（解析版）

16.3分母有理化(第3课时）（3种题型基础练+提升练）考查题型一分母有理化计算1．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）分母有理化：．【答案】【详解】解：．2．（2022秋·上海·八年级校考期中）分母有理化：．【答案】【详解】解：，3．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知则的倒数为．【答案】【详解】∵，∴的倒数为，4．（2022秋·八年级单元测试）计算：．【答案】【详解】解：．5.计算：．【答案】．【详解】解：原式，，，，．6．把下列各式分母有理化．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）（2）（3）7．把下列各式分母有理化．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）．考查题型二解有关二次根式的方程与不等式8．（2022秋·上海·八年级校考期中）不等式的解集是．【答案】【详解】解：，移项，得：，合并同类项，得：，∵∴系数化1，变号，得：，分母有理化，得：，即不等式的解集是，9．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）不等式的解集是．【答案】【详解】解：移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化1，可得：，分母有理化，可得：，∴不等式的解集是．10．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式的解集是.【答案】【详解】解：，即∵，∴∴；11．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）解不等式：的解集是．【答案】【详解】解：，，，，即，12．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）不等式的解集是．【答案】．【详解】解：，，，∵，∴，，．13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）解不等式：．【答案】【详解】不等式，移项得：，合并得：，解得：．14．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）解不等式：【答案】【详解】，即：．15．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）解不等式：．【答案】【详解】解：，，，∵，∴，∵，∴．16．（2022秋·八年级单元测试）解方程：．【答案】【详解】解：去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．考查题型三分母有理化的应用17．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）比较大小：（填上“＞”或“＜”）【答案】＞【详解】解：∵，又∵，∴．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）设为的小数部分，为的整数部分，则的值是．【答案】【详解】解：∵，为的小数部分，为的整数部分，∴，，∴，19．设的整数部分是，小数部分是，试求的值．【答案】10【详解】解：，又，，，，．20．（2021·上海·八年级期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，21．（2022·上海徐汇·八年级期末）已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．【答案】2+【分析】把自变量x的值代入函数关系式进行计算即可．【详解】解：当x＝时，函数y＝＝＝＝2+，故答案为：2+．【点睛】本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．22．（2022·上海·八年级期末）先化简：，再求当时的值.【答案】xy；1【详解】===，当时，原式==1.23．（2021·上海·八年级期中）已知且，请化简并求值：【答案】【详解】解：∵∴∴24．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知，，求的值．【答案】12【详解】解：，，25．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）观察下列各式的计算过程，寻找规律．；；；…利用发现的规律解决下列问题：(1)化简：__________（为正整数）；(2)计算：．【答案】(1)(2)2022【详解】（1）（2）原式．26．已知，求出的值．【答案】【详解】解：，，即，即．化简，得：，．27．（2022秋·八年级单元测试）已知，，求代数式的值．【答案】【详解】，，原式28．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________．(2)应用：化简．(3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数）【答案】(1)①；②(2)(3)【详解】（1）解：①；②；（2）；（3）．29．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)化简：；(2)计算：；(3)比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，30．（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：，>，，，…根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：，，＝，…根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）【详解】解：（1）∵，>，，，…，∴，∴，故答案为：＞；（2）==；（3）原式．31．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）解决如下问题：(1)分母有理化：．(2)计算：．(3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值．【答案】(1)﹣1(2)44(3)3【详解】（1）解：；（2）解：∵，，，…，，=，=，=45-1，=44；（3）解：a＝，∴，∴，∴．32．（2023·全国·八年级专题练习）材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（±）2，所以＝＝±：材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）；请根据材料解答下列问题：(1)=；=．(2)化简：++…+．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：∵，，∴=，，故答案为：，；（2）解：∵＝＝＝﹣1，，，，∴原式==．33．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）(2)将下列各式分母有理化：①；②；（要求；写出变形过程）(3)计算：的结果____．【答案】(1)，(2)①；②(3)【详解】（1）由题意可得，的有理化因式为，的有理化因式为，故答案为：，；（2）①；②；（3），故答案为：．34．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．【答案】(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）【详解】（1）∵∴点（，）的“横负纵变点”为（，）∵∴点（，）的“横负纵变点”为（，）故答案为：（，）；（，）．（2）∴化简得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴点（，）∵∴（，）故的坐标为：（，）．35．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考请你阅读下列材料，并完成相应的任务．裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．在