人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第27讲 4.5.1函数的零点与方程的解（原卷版）

第05讲4.5.1函数的零点与方程的解课程标准学习目标①了解函数的零点与方程的解的关系，并能结合函数的图象判定函数的零点。②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题知识点01：函数零点的概念1、函数零点的概念对于一般函数SKIPIF1<0，我们把使SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的零点.几何定义:函数SKIPIF1<0的零点就是方程SKIPIF1<0的实数解,也就是函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的公共点的横坐标.

这样：方程SKIPIF1<0有实数解SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴有公共点2、已学基本初等函数的零点①一次函数SKIPIF1<0只有一个零点SKIPIF1<0；②反比例函数SKIPIF1<0没有零点；③指数函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）没有零点；④对数函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）只有一个零点1；⑤幂函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，有一个零点0；当SKIPIF1<0时，无零点。知识点02：函数零点存在定理及其应用1、函数零点存在定理如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象是一条连续不断的曲线，且有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内至少有一个零点，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，这个SKIPIF1<0也就是方程SKIPIF1<0的解.说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间SKIPIF1<0上的图象是连续不断的;②SKIPIF1<0.两个条件缺一不可.2、函数零点的求法①代数法：根据零点定义，求出方程SKIPIF1<0的实数解;②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解【即学即练1】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的零点为．【答案】2【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03、函数零点个数的判断①利用代数法，求出所有零点；②数形结合，通过作图，找出图象与SKIPIF1<0轴交点的个数；③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.知识点03：二次函数的零点问题一元二次方程SKIPIF1<0的实数根也称为函数SKIPIF1<0的零点.当SKIPIF1<0时，一元二次方程SKIPIF1<0的实数根、二次函数SKIPIF1<0的零点之间的关系如下表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的实数根SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）SKIPIF1<0方程无实数根SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0的零点SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数无零点【即学即练2】（2023·高一课时练习）若函数SKIPIF1<0的一个零点是1，则它的另一个零点是．【答案】3【详解】由SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故另一个零点为3故答案为：3题型01求函数的零点【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的零点为．【典例2】（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点为.【变式1】（2023春·浙江·高一校联考期中）函数SKIPIF1<0的零点是【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）求下列函数的零点．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.题型02函数零点个数的判断【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的零点个数为（）A．1 B．2C．1或2 D．0【典例2】（2023·高一课时练习）方程SKIPIF1<0的实数解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的实根个数为．【典例4】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数是.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的零点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无数个【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0.(1)作出函数SKIPIF1<0的图象；(2)就a的取值范围讨论函数SKIPIF1<0的零点的个数．【变式3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0至多有个零点.【变式4】（2023·全国·高三对口高考）函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象的交点个数为个．题型03判断函数零点所在的区间【典例1】（2023春·云南楚雄·高一统考期末）若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）设SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的解，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【变式1】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）函数SKIPIF1<0的零点所在区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则k的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．3题型04已知零点个数求参数的取值范围【典例1】（2023·全国·高一假期作业）若方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设SKIPIF1<0表示m，n中的较小数．若函数SKIPIF1<0至少有3个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高一课时练习）若函数SKIPIF1<0有2个零点，求实数a的取值范围．【典例4】（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0是偶函数.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式；(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调，求实数a的取值范围；(3)已知SKIPIF1<0，试讨论SKIPIF1<0的零点个数，并求对应的m的取值范围.【变式1】（2023·北京·高三专题练习）设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0恰有一个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若关于x的方程SKIPIF1<0恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（

）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【变式3】（2023·全国·高一假期作业）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且只有一个零点，则SKIPIF1<0的取值集合是.【变式4】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)画出SKIPIF1<0的图象，并指出其单调减区间；(3)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有2个不相等的实数根，求实数SKIPIF1<0的取值范围．题型05已知零点所在区间求参数的取值范围【典例1】（2023春·河南信阳·高一统考期末）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）（2023秋·高一单元测试）函数SKIPIF1<0的一个零点在区间SKIPIF1<0内，则实数a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为实数，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．【变式1】（2023·高一课时练习）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恰有一个零点，则a的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【变式3】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.题型06二次函数的零点问题【典例1】（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）方程SKIPIF1<0的一根大于1，一根小于1，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【典例3】（2023·江苏·高一假期作业）（1）判断二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是否存在零点；（2）若二次函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的两个零点均为正数，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【变式1】（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在两个不同的实根，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·高一课时练习）若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)若该函数有两个不相等的正零点，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求SKIPIF1<0的取值范围．题型07函数与方程综合【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0，常数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是奇函数，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有且仅有一个零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【典例2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数SKIPIF1<0(1)证明：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；(2)讨论关于x的方程SKIPIF1<0的实数解的个数．【变式1】（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0为奇函数.(1)求实数a的值；(2)若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解，求实数m的取值范围.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧的图象如图所示．(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不相等的实数根，求实数SKIPIF1<0的取值范围．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的零点所在的区间为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高一假期作业）已知方程SKIPIF1<0的解在SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．2 C．1 D．03．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·高一课时练习）已知二次函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的零点情况是（

）A．有两个零点 B．有唯一零点 C．没有零点 D．不确定5．（2023春·山东聊城·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的零点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设实数a为常数，则函数SKIPIF1<0存在零点的充分必要条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023春·江苏南通·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0有五个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，SKIPIF1<0被称为“高斯函数”，其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，例如：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题9．（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的零点可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023·高一课时练习）设SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为常数），则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．函数SKIPIF1<0仅有一个零点三、填空题11．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，则实数a的取值范围是．12．（2023春·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，则SKIPIF1<0在区间内(填序号).①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023·高一课时练习）已知一次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求这个函数的解析式；（2）若函数SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的零点．14．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值；(3)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内存在零点.B能力提升1．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·天津·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0恰有2个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·浙江·高一景宁中学校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是单调递增函数；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，则称区间SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0级“调和区间”.若函数SKIPIF1<0