人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第23讲 4.1指数（含解析）

第01讲4.1指数课程标准学习目标①理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简.知识点01：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<02、正整数指数幂的运算法则：①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）④SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）⑤SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0）知识点02：根式1、SKIPIF1<0次根式定义：一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.特别的：①当SKIPIF1<0是奇数时，正数的SKIPIF1<0次方根是一个正数，负数的SKIPIF1<0次方根是一个负数.这时，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根用符号表示SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0是偶数时，正数的SKIPIF1<0次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数SKIPIF1<0的正的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示，叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次算术根；负的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示.正的SKIPIF1<0次方根与负的SKIPIF1<0次方根可以合并写成SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).③负数没有偶次方根；④SKIPIF1<0的任何次方根都是SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<02、根式：式子SKIPIF1<0叫做根式，这里SKIPIF1<0叫做根指数，SKIPIF1<0叫做被开方数．在根式符号SKIPIF1<0中，注意：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有意义③当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0只有当SKIPIF1<0时才有意义.3、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的区别：①当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）②当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）③当SKIPIF1<0为奇数时，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④SKIPIF1<0为偶数时，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0【答案】D【详解】当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0.故选：D知识点03：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）于是，在条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.3、SKIPIF1<0的正分数指数幂等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的负分数指数幂没有意义.【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）化简：SKIPIF1<0=．（用分数指数幂表示）.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点04：有理数指数幂①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）知识点05：无理数指数幂①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）【即学即练3】（2023·高一课时练习）计算SKIPIF1<0.【答案】0【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0题型01根式的概念【典例1】（2023·全国·高一假期作业）二次根式SKIPIF1<0成立的条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0是任意实数【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）81的4次方根是．【答案】SKIPIF1<0【详解】81的4次方根是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）625的四次方根为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以625的四次方根为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）SKIPIF1<0的平方根为，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根为；已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平方根为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.题型02根式的化简(求值)【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为1.故选：A【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）当SKIPIF1<0有意义时，化简SKIPIF1<0的结果是（

）A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0有意义，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C.【变式1】（2023·江苏·高一假期作业）若SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0的结果是（

）A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）有下列说法：①SKIPIF1<0；②16的4次方根是SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中，正确的有(填序号)．【答案】②④【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，SKIPIF1<0，故①错误；16的4次方根有两个，为SKIPIF1<0，故②正确；因为SKIPIF1<0，故③错误；因为SKIPIF1<0是正数，故SKIPIF1<0，故④正确．故答案为：②④题型03分数指数幂的简单计算【典例1】（多选）（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列各式中一定成立的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确故选：SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）根式SKIPIF1<0的分数指数幂的形式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选D.【典例3】（2023秋·山西·高一校联考期中）（1）化简：SKIPIF1<0.（结果用分数指数幂表示）（2）化简：SKIPIF1<0.（结果用分数指数幂表示）（3）求值：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高一单元测试）下列式子的互化正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】根据分数指数幂的运算可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C【变式2】（2023·全国·高一假期作业）化简求值:(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式3】（2023·高一课时练习）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【答案】（1）1；（2）SKIPIF1<0；（3）1.【详解】（1）原式SKIPIF1<0；（2）原式SKIPIF1<0；（3）原式SKIPIF1<0.题型04条件求值【典例1】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知SKIPIF1<0，下列各式中正确的个数是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】①SKIPIF1<0,正确；②SKIPIF1<0，正确；③因为SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故错误；④SKIPIF1<0，正确.故选：C【典例2】（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）（1）求SKIPIF1<0的值；（2）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【典例3】（2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考期中）计算下列各式(1)SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，求下列各式的值：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【答案】(1)89；(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.【详解】（1）原式SKIPIF1<0；（2）①∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②（法一）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（法二）SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）（1）计算SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）-5；（2）14.【详解】（1）SKIPIF1<00.3﹣1﹣36+33+1SKIPIF1<036+27+1SKIPIF1<05．（2）若SKIPIF1<0，∴xSKIPIF1<02＝6，xSKIPIF1<04，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】3【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：3．【变式3】（2022秋·广西玉林·高一校考期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）化简SKIPIF1<0的结果为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0故选：C.2．（2023·江苏·高一假期作业）化简SKIPIF1<0的结果为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D3．（2023·高一课时练习）计算SKIPIF1<0，结果是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0.故选：B4．（2023·全国·高一假期作业）有下列四个命题：①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在；正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数；①③错误，②④正确．故选：C5．（2023·全国·高一专题练习）化简SKIPIF1<0（a，b为正数）的结果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0.故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为SKIPIF1<0，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设地球的公转周期为SKIPIF1<0，则火星的公转周期为SKIPIF1<0.设地球､火星运行轨道的半长轴分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故选:A.7．（2023·全国·高一假期作业）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由立方差公式，SKIPIF1<0，故选：A．8．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0.故选：B二、多选题9．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的是（）A．16的4次方根是2B．SKIPIF1<0的运算结果是±2C．当n为大于1的奇数时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有意义D．当n为大于1的偶数时，SKIPIF1<0只有当SKIPIF1<0时才有意义【答案】CD【详解】对于A，由于SKIPIF1<0，所以16的4次方根是SKIPIF1<0，故A不正确．对于B，SKIPIF1<0，故B不正确．对于C，由根式的意义知，当SKIPIF1<0为大于1的奇数时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有意义，故C正确．对于D，由根式的意义知，当SKIPIF1<0为大于1的偶数时，SKIPIF1<0只有当SKIPIF1<0时才有意义，故D正确．故选：CD．10．（2023·全国·高一假期作业）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】令SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：AB三、填空题11．（2023·高一课时练习）求值：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0.12．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023·江苏·高一假期作业）计算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.14．（2023·江苏·高一假期作业）求值：(1)SKIPIF1<0；(2)π0－SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0×SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）原式SKIPIF1<0；（2）原式SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）阅读下段文字：“已知SKIPIF1<0为无理数，若SKIPIF1<0为有理数，则存在无理数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为有理数；若SKIPIF1<0为无