人教A版高中数学必修第二册同步讲义第07讲 平面向量基本定理（含解析）

第07课平面向量基本定理目标导航目标导航课程标准课标解读理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义..掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识精讲知识精讲知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．【即学即练】（多选）下列结论正确的是（

）A．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有两解C．向量SKIPIF1<0能作为所在平面内的一组基底D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足SKIPIF1<0，则A，B，P三点共线【答案】CD【详解】对于A，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A错误；对于B，根据余弦定理，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三角形无解，故B错误；对于C，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然该方程组无解，即SKIPIF1<0不共线，故C正确；对于D，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A，B，P三点共线，故D正确.故选：CD.反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．能力拓展能力拓展考法01平面向量基本定理的理解【典例1】已知G是SKIPIF1<0的重心，点D满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又因为G是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：A.考法02用基底表示向量【典例2】如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形SKIPIF1<0图SKIPIF1<0中的正八边形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0能构成一组基底【答案】B【详解】在正八边形SKIPIF1<0中，对于A，SKIPIF1<0，所以选项A正确；对于B，SKIPIF1<0，所以选项B错误；对于C，在正八边形SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以向量SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方向与向量SKIPIF1<0方向相同，且长度为向量SKIPIF1<0长度的SKIPIF1<0倍，所以SKIPIF1<0，所以选项C正确；对于D，由图可知向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为相等向量，所以向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共线，故SKIPIF1<0和SKIPIF1<0能构成一组基底，所以选项D正确.故选：B.考法03平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是BC的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．6【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.【变式训练】锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】依题意SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.故选：D分层提分分层提分题组A基础过关练1．在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选:B.2．在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【详解】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:D.3．如图，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A.4．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于A，假设存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程组无解，即不存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，A不选；对于B，假设存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程组无解，即不存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，B不选；对于C，假设存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，选C；对于D，假设存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程组无解，即不存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，D不选；故选：C5．如果SKIPIF1<0表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】根据平面基底的定义知，向量SKIPIF1<0为不共线非零向量，即不存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，对于A中，向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，不存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可以作为一个基地；对于B中，向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，假设存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可以作为基底；对于C中，向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，假设存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不可以作为基底；对于D中，向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，假设存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可以作为基底；故选：C.6．（多选）已知SKIPIF1<0是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．平面内任意一个向量SKIPIF1<0都可以表示成SKIPIF1<0，其中m，n为实数C．对于m，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量SKIPIF1<0，存在两对以上实数m，n，使SKIPIF1<0【答案】AB【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.7．（多选）在下列向量组中，可以把向量SKIPIF1<0表示出来的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】BC【详解】对于A．SKIPIF1<0＝(0，0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不可以作为平面的基底，不能表示出SKIPIF1<0；对于B．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，SKIPIF1<0可以作为平面的基底，能表示出SKIPIF1<0；对于C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，SKIPIF1<0可以作为平面的基底，能表示出SKIPIF1<0；对于D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不可以作为平面的基底，不能表示出SKIPIF1<0．故选：BC.8．（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，且向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则实数SKIPIF1<0的可能取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．3【答案】AD【详解】解：因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，所以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以作为平面内的一组基底，又向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；故选：AD9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【详解】对于A，SKIPIF1<0不共线，所以可以作为一组基底.对于B，SKIPIF1<0不共线，所以可以作为一组基底.对于C，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共线，所以不可以作为一组基底.对于D，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共线，所以不可以作为一组基底.故选：CD.10．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，则实数SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．如果SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数λ1，λ2，使SKIPIF1<0＝________.我们把SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【答案】SKIPIF1<0【详解】平面向量的分解定理：如果SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数λ1，λ2，使SKIPIF1<0.我们把SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.故答案为：SKIPIF1<012．已知下列四个命题：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②设SKIPIF1<0是已知的平面向量，则给定向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，总存在实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；③第一象限角小于第二象限角；④函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0.正确的有________.【答案】④【详解】对于①，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是非零向量，并且它们不共线，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而结论不成立，①不正确；对于②，若给定向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，而已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，则不存在实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，②不正确；对于③，SKIPIF1<0是第一象限角，SKIPIF1<0是第二象限角，显然SKIPIF1<0，③不正确；对于④，函数SKIPIF1<0，而正弦函数SKIPIF1<0和余弦函数SKIPIF1<0的最小正周期都是SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，④正确.故答案为：④题组B能力提升练1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（

）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【详解】对于①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故两向量共线；对于②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故两向量共线；对于③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假设存在SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不共线向量，故得到SKIPIF1<0无解.故选：A.2．若SKIPIF1<0是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【详解】不共线的向量能作为基底，因为SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，故排除A；假设SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，无解，所以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，故B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，故排除C；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，故排除D，故选：B3．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）．A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内的一组基底，可得向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面内不共线向量，对于A中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共线，可以作为平面的一组基底；对于B中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共线，可以作为平面的一组基底；对于D中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共线，可以作为平面的一组基底.共线：B.4．如果SKIPIF1<0是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0为不共线向量，可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0必不共线，都可作为平面向量的基底，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，不能作为该平面所有向量的基底.故选:D.5．在给出的下列命题中，错误的是（

）A．设SKIPIF1<0是同一平面上的四个点，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0必共线B．若向量SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0上的两个向量，则平面SKIPIF1<0上的任一向量SKIPIF1<0都可以表示为SKIPIF1<0，且表示方法是唯一的C．已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰三角形D．已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形【答案】B【详解】对A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且有公共点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共线，故A正确；对B，根据平面向量基本定理可得若SKIPIF1<0共线，则不满足题意，故B错误；对C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，所以SKIPIF1<0为等腰三角形，故C正确.对D，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形，故D正确.综上，错误的选项为B.故选：B.6．（多选）设SKIPIF1<0是已知的平面向量，向量SKIPIF1<0在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（

）A．给定向量SKIPIF1<0，总存在向量SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；B．给定向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，总存在实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；C．给定单位向量SKIPIF1<0和正数SKIPIF1<0，总存在单位向量SKIPIF1<0和实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；D．若SKIPIF1<0，存在单位向量SKIPIF1<0和正实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】ABD【详解】对A，给定向量SKIPIF1<0，总存在向量SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然存在SKIPIF1<0，所以A正确.对B，因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，故B正确．对C，给定单位向量SKIPIF1<0和正数SKIPIF1<0，总存在单位向量SKIPIF1<0和实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0分解到SKIPIF1<0方向的向量长度大于SKIPIF1<0时，向量SKIPIF1<0没办法按SKIPIF1<0分解，所以C不正确.对D，存在单位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的模为1，由三角形的三边关系可得SKIPIF1<0，所以D成立.故选：ABD7．（多选）下列说法中正确的为（

）A．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0B．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，则SKIPIF1<0D．非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为30°【答案】BD【详解】解：对于A选项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；对于B选项，向量SKIPIF1<0，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C选项，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，向量依然不能比较大小，故C错误；对于D选项，因为SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而向量的夹角范围为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，即为30°，故D项正确.故选：BD8．（多选）下列命题正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是钝角，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能作为平面内所有向量的一组基底D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】AD【详解】对于A:SKIPIF1<0；对于B:当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0夹角为平角；对于C:SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共线，不能构成基底；对于D：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向时SKIPIF1<0也成立.故选：AD.9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若SKIPIF1<0是正八边形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0能构成一组基底 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以AH与CF是共线向量，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不能构成一组基底，A项错误；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，B项正确；由上过程可知SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C项错误；又正八边形的每一个内角为：SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0,相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D项正确．故选:BD.10．设SKIPIF1<0是两个不共线的非零向量，且SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0可以作为一个基底；（2）以SKIPIF1<0为基底，求向量SKIPIF1<0的分解式．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）利用反证法，先假设SKIPIF1<0共线，推出矛盾，由此证得SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0可以作为一个基底.（2）利用向量线性运算求得向量SKIPIF1<0的分解式.【详解】（1）假设SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0不共线，得SKIPIF1<0所以λ不存在，故SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0可以作为一个基底．（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．题组C培优拔尖练1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，两条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故选：A.2．如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.3．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0､SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.4．如图，在SKIPIF1<0中，点D是边AB上一点且SKIPIF1<0，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是SKIPIF1<0的平分线，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为BF是SKIPIF1<0的平分线，所以存在一个实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E是边BC的中点，所以SKIPIF1<0，又点A，E，F共线，所以SKIPIF1<0①．（三点共线的应用：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数），若A，B，C三点共线，则SKIPIF1<0）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点C，F，D共线，所以SKIPIF1<0②，联立①②，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C．5．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF