专题22成对数据的统计问题（教师版）

专题22成对数据的统计问题成对数据的统计问题主要通过成对样本数据（二维数据）研究两个变量之间的关系，学习成对数据的数据处理方法，并根据样本估计总体的思想，通过成对样本数据的统计特征推断两个变量（二维总体）的统计特征，具体体现在了解样本相关系数的统计含义，了解一元线性回归模型和2×2成对数据的统计问题主要通过成对样本数据（二维数据）研究两个变量之间的关系，学习成对数据的数据处理方法，并根据样本估计总体的思想，通过成对样本数据的统计特征推断两个变量（二维总体）的统计特征，具体体现在了解样本相关系数的统计含义，了解一元线性回归模型和2×2列联表及独立性检验，会应用这些方法解决简单的实际问题。本专题的探究一主要包含成对数据相关性的判断依据—样本相关系数的理解，一元线性回归模型和可以转化为一元线性回归模型的计算，以及利用这个模型进行预测。探究二主要是考查一对分类变量是否具有关联性，而独立性检验为我们提供了解决这类问题的办法，可借助例2梳理独立性检验的步骤.探究三是概率与统计案例的综合应用，常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验，回归方程等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，综合性强，要善于把问题分解成我们熟悉的问题进而利用所学知识进行求解。——合肥八中高级教师方旭探究1：成对数据的分析【典例剖析】例1.(2022·浙江省模拟)创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入x(亿元)与研发创新的直接收益y(亿元)的数据统计如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0<x≤17时，建立了y与z的两个回归模型：模型=1\*GB3①：y=4.1x+11.8；模型=2\*GB3②：y=21.3x-14.4；当x>17时，确定y与x满足的线性回归方程为：y=-0.7x+a(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x≤17时模型=1\*GB3①、=2\*GB3②的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型=1\*GB3①模型=2\*GB3②回归方程yyi=1182.479.2(附：刻画回归效果的决定系数R2=1-i=1n(2)为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．(附：b=i=1(3)研发改造后，该公司F产品的效率X大幅提高，X服从正态分布N(0.52,0.012)，公司对研发团队的奖励方案如下：若F产品的效率不超过50％，不予奖励；若F产品的效率超过50％但不超过53％，每件F产品奖励2万元；若F产品的效率超过53％(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则选题意图:选题意图:成对数据的统计相关性及一元线性回归模型，常以解答题的形式考查简单的实际问题，难度一般.试题具有图表丰富、数据与阅读信息量大的特点,考查数据分析、数学运算、数学建模等核心素养.例1综合考查模型的选择与应用及正态分布，对分析问题的能力、运算能力要求较高.思维引导：第（1）问计算R2的值，选择合适的模型；第（2）问利用回归方程进行预测；第（3）问利用正态分布的特点求出奖励Y分别取0、2、5时的概率，从而求出E【解析】(1)由表格中的数据，有182.4>79.2，即182.4i=17(yi-y)2>79.2i=17(yi-y)2，

所以模型=1\*GB3①的R2小于模型=2\*GB3②，说明回归模型=2\*GB3②刻画的拟合效果更好，

所以当x=17亿元时，研发改造直接收益的预测值为

y=21.3×17-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93(亿元)，

(2)由已知可得：x-20=1+2+3+4+55=3⇒x=23，

y-60=8.5+8+7.5+6+65=7.2⇒y=67.2，

所以a=y+0.7x=67.2+0.7×23=83.3，

所以当x>17亿元时，y与x满足的线性回归方程为y=-0.7x+83.3，

当x=20亿元时，研发改造直接收益的预测值为y=-0.7×20+83.3=69.3；

当x=20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元>72.93

Y

0

2

5

P

0.0228

0.8185

0.1587所以每件F产品获得奖励的期望值为：

E(Y)=0×0.0228+2×0.8185+5×0.1587=2.4305(万元)．

【变式训练】练11(2022·福建省模拟·多选)某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在25℃的室温下测量水温y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据(xi,y现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有(

)A.y=25-c1e-c2【解析】散点图的特点是单调递增，增长速度越来越慢，且水温y< 25．

对A选项，符合散点图的特点；

对B选项，y=25+c1x+c2≥25不符合散点图的特点；

对C选项，符合散点图的特点；

对D练12(2022·湖北省武汉市联考)2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据：x(天)1234567y(秒)990990450320300240210经研究发现，可用y=a+bx作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率，参考数据：(其中i=1ti=118450.370.55参考公式：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2【解析】(1)由题意，y=17(990+990+450+320+300+240+210)=500，

令t=1x，设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，则

b=i=17tiyi-7t⋅yi=17ti2-7t2=1845-7×0.37×5000.55=1000，

则a=500-1000×0.37=130，

∴y=1000t+130，又t=1x，

∴y关于x的回归方程为y=1000x+130，

故x=50时，y=150，

∴经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为150秒;

【规律方法】1.判断相关关系的两种方法=1\*GB3①散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.=2\*GB3②决定系数法：利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强.2.求经验回归方程：=1\*GB3①利用公式b=i=1nxiyi-nxy=2\*GB3②经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|R2判断，R2越大，拟合效果越好.3.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程：①若y=a+bx②若满足对数式：y=a+blnx③若满足指数式：y=c1ec2x，两边取对数探究2：独立性检验【典例剖析】例2.(2022·湖北省联考)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．

假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．

单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计

(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．

(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p;

(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X=99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n及E(X)．

参考公式：χ2=n(ad-bc)P(0.500.400.250.150.1000.0500.025k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024选题意图选题意图：独立性检验可以单独考查，也可与概率、随机变量的分布列、期望等交汇考查，通过对统计案例的分析，掌握独立性检验的方法，体会独立性检验的基本思想在解决实际问题中的应用，借助例2梳理独立性检验的步骤.思维引导：第（1）问分析频率分布直方图中的数据，填写2×2列联表，计算χ2的值，从而判断犯错概率不大于0.05；第（=1\*romani）问利用正难则反的思想，先求2次疫苗后均未产生抗体的概率，再求其对立事件的概率;第（=2\*romanii）问中，Χ~Bn,0.9，将PΧ=9最大，转化为PΧ=9≥PΧ=8,PΧ=9≥P【解析】(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：

在[0,20)内有0.0025×20×200=10(只);

在[20,40)内有0.00625×20×200=25(只):

在[40,60)内有0.00875×20×200=35(只):

在[60,80)内有0.025×20×200=100(只):

在[80,100]内有0.0075×20×200=30(只)．

由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：

单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200

零假设为H0:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．

根据列联表中数据，得χ2=200×(50×20-20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841=x0.05．

根据α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．

(2)(i)令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗

产生抗体”，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”．

记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，

则P(A)=160200=0.8，P(B)=2040=0.5，P(C)=1-P(A)P(B)=1-0.2×0.5=0.9．

所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9．

(ii)由题意，知随机变量=1\*GB3①当接种人数为109时，EX=np=109×0.9=98.1;=2\*GB3②当接种人数为110时，E(X)=np=110×0.9=99．【变式训练】练21(2022·湖北省黄石市月考·多选)为了增强学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：性别合计男性女性喜欢280p280+p不喜欢q120120+q合计280+q120+p400+p+q附：K2=nP0.150.100.050.0250.0100.00lk2.0722.7063.8415.0246.63510.828已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35A.列联表中q的值为120，p的值为180

B.随机对一名学生进行调查，此学生有90％的可能喜欢该项运动

C.有99％的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系

D.没有【解析】男生喜欢该项运动的人数占男生人数的280280+q=710，解得q=120，

女生喜欢该项运动的人数占女生人数的p120+p=35，解得p=180，故A正确；性别合计男性女性喜欢280180460不喜欢120120240合计400300700所以χ2=700(280×120-120×180)2400×300×460×240≈7.609>6.635，

所以有99％的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故C正确；

而χ2练22(2022·山东省潍坊市模拟)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量X[0,300)[300,600)[600,900)[900,+∞)工期延误天数Y0258历史气象资料表明：该工程施工期间降水量X小于300，600，900的概率分别为0.3，0.7，0.9．(1)求工期延误天数Y的均值与方差；(2)求在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过5天的概率；(3)由于该工程在7～8月施工，故当气温较高时，工人可能无法按时完成当日计划工作量．已知在某个40天的施工周期内，有30天的最高气温不低于35℃，这其中仅有12天完成了当日的工作量；剩余10天中，有8天完成了当日的工作量．依据小概率值α=0.005的χ2附：χ2=n【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300)=0.3，P(300≤X<600)=P(X<600)-P(X<300)=0.4，

P(600≤X<900)=P(X<900)-P(X<600)=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=0.1，

所以Y的分布列为：y0258p0.30.40.20.1

于是，E(Y)=0×0.3+2×0.4+5×0.2+8×0.1=2.6，

D(Y)=(0-2.6)2×0.3+(2-2.6)2×0.4+(5-2.6)2×0.2+(8-2.6)2×0.1=6.24．

故工期延误天数Y的均值为2.6，方差为6.24;

(2)由对立事件的概率公式可得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7，

又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.6，

由条件概率得P(Y≤5|X≥300)=P(300≤X<900)P(X≥300)=0.60.7=67，

故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过5【规律方法】2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式χ2=n(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.探究3：概率与统计的综合问题【典例剖析】例3.(2022·江西省景德镇市模拟)十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了《关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议》，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值k70≤k<100性能指标值k90≤k<10085≤k<9080≤k<8575≤k<8070≤k<75等级ABCDE为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品进行随机抽样并测量了每件产品的指标值，若以组距为5画频率分布直方图时，发现Y(设“频率组距=Y”)满足：(1)试确定n的所有取值，并求a；(2)从样本性能指标值不小于85的产品中釆用分层抽样的方法抽取5件产品，求样本中等级A产品与等级B产品的件数.然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A级品的概率．选题意图选题意图：概率统计试题具有应用性、情境性、综合性的特点，试题注重基本概念的理解，着眼于知识在理解的基础上应用，考查常规的、熟悉的知识内容.例3难度一般，考查概率与统计的综合应用，考查学生数据分析、数学运算的核心素养.思维引导：第（1）问分析数据，利用频率之和为1，求出a；第（2）问考查古典概型求概率，列举出所有的样本点，从而求出事件“所求2件都是A级品”的概率.【解析】(1)根据题意，70≤k<100，按组距为5可分成6个区间，

分别是70,75、75,80、80,85、85,90、90,95、95,100,

因为70≤k<100，由5n≤k<5n+1，n∈N*，可知n的取值集合为14,15,16,17,18,19，

每个小区间对应的频率值为5Y=2n-2560,n∈14,15,16,175a⋅220-n,n∈18,19．

所以，3+5+7+960+5a×22+2=30a+25=1，解得a=150．

(2)等级A产品的频率为5×150×22+2=35，等级B产品的频率为2×17-2560=320，

所以，等级A产品和等级B产品的频率之比为35:320=4:1，

所以，从样本性能指标值不小于85的产品中釆用分层抽样的方法抽取5件产品，

等级A产品的件数为4，分别记为a1、a2、a3、a4，等级B产品的件数为1，记为b，

从这5件产品中任意抽取【变式训练】练31(2022·广东省东莞市月考)足球是一项大众喜爱的运动．2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天．

(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2×2列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1=1．

(i)求P3(直接写出结果即可)；

(ii)证明：数列{α0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828【解析】(1)假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，

X2=200×(60×80-20×40)280×120×100×100≈33.3>10.828，

根据小概