关于有限群的群类结构

关于有限群的群类结构

在本手册中，讨论的组不是有限的组，使用的符号和语言是标准的。e（g）表示组g中元素的集合，k是e（g）中值的最大值，n表示k个循环子组的数量，t是自然数，（t）是t相异征元素的集合，（g）=（…g？）m（g）=m（g）=m（g）（x）是结论。文献研讨了最高阶(k阶)元素的个数|M(G)|对有限群的影响,证明了当|M(G)|为2,奇数,2p(p为素数)或ϕ(k)时,G为可解群.文献证明了|M(G)|为8的有限群是可解群,文献证明了|M(G)|小于20的有限群可解.本文继续文献的工作,运用K_型讨论了|M(G)|=44,52的有限群,得出了这类群的结构,证明了这类群均可解.1群g的k型将群G的所有k阶循环子群按共轭分类,设全部不同的类为J1,…,Jt.令mi=|G:NG(〈ai〉)|,其中〈ai〉∈Ji,1≤i≤t.那么mi与〈ai〉在Ji中的选取无关,而仅与Ji本身有关.称数组(m1,m2,…,mt)为群G的K_型.记为:K(G)=(m1,m2,…,mt)引理1.1设群G为r阶循环子群的个数为n,则|Mr(G)|=nϕ(r),特别的|M(G)|=nϕ(k).引理1.2若|M(G)|=ϕ(k)(即n=1时),则G为超可解群.引理1.3方程ϕ(x)=2p(p为素数)的解x为1)当p=2时,x=5,8,10,12.2)当p=3时,x=7,9,14,18.3)当p≥5时,若g=2p+1为素数,则方程ϕ(x)=2p有2个解:x=g,2g.若g=2p+1不是素数,则方程ϕ(x)=2p无解.2u3000g1.3—|M(G)|=44引理2.1设|M(G)|=44,则n,ϕ(k)和k的值为证明由引理1.1,引理1.3及ϕ(k)的性质,并通过计算可得n,ϕ(k)和k的取值.引理2.2不存在群G使|M(G)|=44且n=44.证明当n=44时,k=2,此时G为初等Abel2_群,故|M(G)|为奇数,矛盾.引理2.3若|M(G)|=44,n=1.则G同构于下述超可解群之一:1)G≅[Z69]S,其中Z69是G的正规子群,S≤Z2222×Z11.2)G有正规r(r=92,r=138)阶循环子群Zr,且G/Zr≤Z2222×Z11.证明当n=1时,k阶循环子群〈M(G)〉=Zk是惟一的,于是Zk是G的正规子群.由k是G中最高阶元的阶,所以CG(Zk)=Zk,于是G/CG(Zk)≤Aut(Zk).当k=69时,Aut(Zk)≅Z2222×Z11,因(69,44)=1,扩张可裂,所以G≅[Z69]S,其中S≤Z2222×Z11,即得1).当k=92,138时,Aut(Zk)≅Z2222×Z11,于是G/Zr≤Z2222×Z11,即得2).引理2.4若|M(G)|=44,n=11.则1)当k=5,10时,G是{2,5}-群.2)当k=8时,G是2-群,{2,3}-群或-群.3)当k=12时,G是{2,3}-群或{2,3,11}-群且G可解.证明设a是G的最高阶元,|a|=k,因|G|=|G:NG(〈a〉)||NG(〈a〉):CG(a)||CG(a)|(*)因NG(〈a〉)/CG(a)同构于Aut(〈a〉)的子群,所以|NG(〈a〉):CG(a)|整除|Aut(〈a〉)|=ϕ(k),又因|a|=k,可得π(CG(a))=π(|a|)=π(k).设〈a1〉,〈a2〉,…,〈a11〉是G的11个k阶循环子群,令m=|G:ΝG(〈a〉)|=min1≤i≤11{|GNG(⟨a⟩)|=min1≤i≤11{|G:NG(〈ai〉)|}.由n=11,|G:NG(〈ai〉)|≤n,从而m=1,2,3,4,5,11.1)当k=5,10时,若m=1,2,4,5.由(*)式,G是{2,5}-群;若m=11,则G有11阶元,与k=5,10矛盾;若m=3,则G的所有K_型为(3,8),(3,3,5).若K(G)=(3,8),则G的11个k阶循环子群按共轭分类分为2类:一类有3个循环子群,另一类有8个循环子群,不妨设|G:NG(〈a2〉)|=8.由(*)式,G是{2,5}-群.若K(G)=(3,3,5),不妨设|G:NG(〈a2〉)|=5,由(*)式,G是{2,5}-群.因m=|G:NG(〈a〉)|=3,从而G有3阶元,矛盾,即m≠3.2)当k=8时,若m=1,2,3,4,5,由(*)式,G是2-群,{2,3}-群或{2,5}-群.若m=11,则G有11阶元,矛盾.3)当k=12时,若m=1,2,3,4,由(*)式,G是{2,3}-群.若m=5,有K(G)=(5,6),由(*)式,G是{2,3}-群,同时因m=5,G有5阶元,矛盾.即m≠5.若m=11,由(*)式,G是{2,3,11}-群,由单群分类定理,K3-单群的阶的素因子不含11,所以G可解.引理2.5若|M(G)|=44,n=2,则1)当k=23时,群G不存在.2)当k=46时,G是可解群,且|G|=2r·11·23,其中1≤r≤3.证明1)若k=23,由Sylow定理知G中23阶子群的个数m≡1(mod23),矛盾.2)若k=46,设a∈G,|a|=46,则CG(a)是{2,23}-群.ⅰ)若CG(a)的23阶子群惟一,由文献的引理1.1知CG(a)=〈a2〉×L,L是2-Sylow子群.于是CG(a)的46阶元有22(|L|-1)个,|L|=2r.因22(|L|-1)≤44,所以|L|=2,|CG(a)|=46.由(*)式,|G|=2r·11·23,其中1≤r≤3.因|G:NG(〈a〉)|=1或2,所以NG(〈a〉)是G的正规子群,从而G有次正规群列:G≥NG(〈a〉)≥CG(a)=〈a〉>1,于是G可解.ⅱ)若CG(a)的23阶子群不惟一,由文献的引理1.1知CG(a)至少有528个46阶元,矛盾.引理2.6若|M(G)|=44,n=22,则G是{2,3}-群.证明1)当k=3,4时,G显然是{2,3}-群.2)当k=6时,设〈a1〉,〈a2〉,…,〈a22〉是G的22个k阶循环子群.设m=|G:ΝG(〈a1〉)|=min1≤i≤22{|G:ΝG(〈ai〉)|}NG(⟨a1⟩)|=min1≤i≤22{|G:NG(⟨ai⟩)|},则m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,22.若m=7,11,22时,G有7或11阶元,与k=6,矛盾.若m=1,2,3,4,6,8,9,由(*)式,可得G是{2,3}-群.若m=5,则K(G)的取值和G的结构如下:若m=10,则K(G)=(10,12),从而G是{2,3}-群.m=5,10时,G有5阶元与此时G是{2,3}-群矛盾.即m≠5,10.由引理2.3～2.6可得如下定理:定理2.1若|M(G)|=44,则G为下述群之一:1)引理2.3中所列的超可解群.2)一些特殊的2-群,{2,3}-群,{2,5}-群和{2,3,11}-群.3)引理2.5中的{2,11,23}-群.特殊的,G是可解群.3kg矛盾的构造引理3.1设|M(G)|=52,则n,ϕ(k)和k的值为引理3.2不存在群G使|M(G)|=52,且n=52.引理3.3若|M(G)|=52,n=1.则G同构于下述超可解群之一:1)G≅[Z53]S,其中Z53是G的正规子群,S≤Z52.2)G有正规r(r=106)阶循环子群Zr,且G/Zr≤Z52.以上3个引理的证明方法与2中的相应引理的证明方法相同.引理3.4若|M(G)|=52,n=13.则1)当k=5,10时,G是{2,5}-群.2)当k=8时,G是2-群,{2,3}-群或{2,5}-群.3)当k=12时,G是{2,3}-群.证明设〈a1〉,〈a2〉,…,〈a13〉是G的13个k阶循环子群,设m=|G:ΝG(〈a1〉)|=min1≤i≤13{|G:ΝG(〈ai〉)|}‚则m=1‚2‚3‚4‚5‚6‚13.NG(⟨a1⟩)|=min1≤i≤13{|G:NG(⟨ai⟩)|}‚则m=1‚2‚3‚4‚5‚6‚13.1)ⅰ)当k=5时,若m=1,2,4,5,由(*)式,G是{2,5}-群.若m=3,则K(G)的取值和G的结构如下:同时因m=3,G有3阶元与G是{2,5}-群矛盾,即m≠3.若m=6,则K(G)=(6,7),于是G有7阶元,矛盾.若m=13,则G有13阶元,矛盾.ⅱ)当k=10时,若m=1,2,4,5,由(*)式,G是{2,5}-群.若m=3,则K(G)的取值和G的结构如下:若m=6,则K(G)=(6,7),于是G是{2,5,7}-群.因m=3,6时,G有3阶元,与G是{2,5}-群或{2,5,7}-群矛盾.即m≠3,6.若m=13,则G有13阶元,矛盾.2)当k=8时,若m=1,2,4,由(*)式,G是2-群.若m=3,6,则G是{2,3}-群.若m=5,则G是{2,5}-群.若m=13,则G有13阶元,矛盾.3)当k=12时,若m=1,2,3,4,6,则G是{2,3}-群.若m=5,则K(G)=(5,8),从而G是{2,3}-群,与m=5,G有5阶元,矛盾.所以m≠5.若m=13,则G有13阶元,矛盾.引理3.5若|M(G)|=52,n=26.则G是{2,3}-群.证明1)当k=3,4时G显然是{2,3}-群.2)当k=6时,设〈a1〉,〈a2〉,…,〈a26〉是G的26个k阶循环子群.设m=|G:ΝG(〈a1〉)|=min1≤i≤26{|G:ΝG(〈ai〉)|}‚则m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,26.若m=1,2,3,4,6,8,9,12,由(*)式,G是{2,3}-群.若m=7,11,13,26,则G有7阶元,或11阶元,或13阶元,与k=6矛盾.若m=5,则K(G)的取值和G的结构如下:若m=10,则K