非线性系统在经济学中的应用

非线性系统在经济学中的应用

过去，我们使用了基于牛顿力学的假设对观测世界进行描述。如果将一组确定的平均值与牛顿方程相结合，则会形成一条确定的路径。如果你知道每条轨道上的一点，你就知道系统发展的整体情况。按确定论的观点,即使初始条件有微小的差别,轨道的差别也不大,从而可以对系统的将来作出准确的预测。然而,美国气象学家Lorenz在1963年研究天气预报时却发现,当把大气动力学方程组简化为12个方程作数值模拟,在相同的初始条件下,重复模拟结果会随时间的增加而彼此分开,最后变得无任何相似之处,这是确定论无法解释的现象,这种对初始条件的敏感性现象实际上就是混沌现象。著名的美国经济学家诺贝尔经济学奖获得者保罗.A.萨缪尔森曾指出:“经济学的规律只是在平均意义上才是对的,它们并不表现为准确的关系。”按照他的这种思想,在经济学领域里对混沌的理解和把握可以不必太拘泥于数学定义的苛刻与抽象,只需从平均意义上把握混沌的主要本质特征就可以了。所以就“平均意义”而言,我们可以从混沌经济系统所具有的本质特征入手来进行综合判断。1混合经济系统的本质特征1.1长期不可预测的误差积累效应俗称蝴蝶效应,即系统演化对初始条件的敏感性。在混沌出现的参数范围内,初始条件的一个微小误差在迭代过程中会不断的放大,不但使迭代结果变得极为不同,而且在近似随机的历经了整个吸引子以后,使得系统的长期预测变为不可能。刚开始,许多人认为这是由于人的能力不够所造成的。从客观上讲,在初始条件变化后的迭代过程中,确实存在两种误差:一种来自于物理量本身的测量误差。任何测量都有误差,只是仪器越精密,误差会越小,但科学技术再发展也不可能造出一台绝对没有误差的仪器;另一种来自于计算机,即使计算出一个整数,它也可能在小数点若干零后加上一个尾巴。同时在迭代过程中要把第n次迭代的输出值作为第n+1次迭代输入值,在这个转换过程中总要进行四舍五入,这本身又要产生误差。该误差在以后的迭代中也会被不断地放大,所以在整个迭代过程中包含了一个误差不断积累放大的过程。由此看来,长期不可预测性好像是人的能力不够或是机器的精度不够所造成的。但下面这样一个事实就会否定这一点,通过前面介绍可知,对于逻辑斯蒂迭代,在参数k>k∞时对初始条件敏感,而在k<k∞时对初始条件却并不敏感。例如,在k1<k<k2时,系统的长时间行为是趋于稳定的两点周期,这时上述产生误差的原因仍然都存在,即使产生的误差比较大也不会改变这种两点轮回的状态。因为从任何允许的初始条件出发都会趋于这种稳定的状态,所以混沌对初始条件敏感性的本质不在于产生误差的原因,而是非线性系统本身的固有属性,是大自然的内在规律性。1.2随机性分析模型混沌产生于确定性方程,有时又把混沌定义为确定性的内在随机性。传统的方法总是千方百计地寻求微分方程的解,认为知道了微分方程的解就等于知道了一切,不但包括未来,还包括过去。所以只要能写出微分方程的解,那么它一定是非混沌的。正是这种观点掩盖了混沌再现的可能性,例如,对于逻辑斯蒂模型,很容易写出它的精确解,它是非混沌的,但当把逻辑斯蒂微分方程变为差分方程进行迭代时,它所包含的从被周期分叉到混沌等复杂性才被提示出来,所以,知道了微分方程的解并不等于知道了一切,且往往正是这种性质才掩盖了微分方程所包含的复杂性。对于非线性微分方程能够求解的本来就极为稀少,而且对于绝大多数还要进行数值求解。我们知道在实际计算中,数值求解需要把微分方程变为差分方程进行迭代,由于每次迭代都会由四舍五入产生误差,所以有人又把这种实际迭代称为随机迭代。因为混沌对误差的敏感性不在于误差本身而在于系统本身固有的对误差的放大功能,在混沌产生的条件下,当迭代步骤足够大时,相点几乎跑遍整个吸引子。这样确切位置已变为不确定,因此,要作出长期预测就变为不可能,这是确定性方程所含有的内在随机性。内在随机性不同于通常的随机性,例如,对于逻辑斯蒂迭代,知道了今年的昆虫数就可极好地预测下年的以及下下年的昆虫数;对于天气预报,知道了今天的天气形势就可以很好地预报明天以及后天的情况。而对掷股子就不同了,知道了这次出现的点数并不能准确地说出下次将会出现的点数。因此,确定性方程所产生的内在随机性的随机强度是随着迭代步数的增加而增加的,对于系统的短期行为可以预测,而对长期行为变为不可能。1.3进化的吸引子吸引子是系统的收敛表现,无论一个稳定的动态系统是否出现混沌,在多数情况下,都可以用一个吸引子来描述该系统的均衡状态或极限时间路径,一个非线性系统最终会演化为以下几种不同的吸引子:不动点吸引子、极限环和奇怪吸引子(也称为混沌吸引子或Lorenz吸引子)。吸引不动点是将系统的行为收敛为一个静态的平衡点,极限环收敛为一个周期性或准周期性的行为,而奇怪吸引子则趋向不同于前二者的收敛行为,它具有分数维的吸引子,它是系统出现混沌的特征。奇怪吸引子是一个不可数的点集,它使从其内部出发的所有时间路径仍留在该集合中,邻近的时间路径会被它所吸引,从该集合中出发的时间可能是非周期的,或者具有与事先任意选定所数值一样长的持续期。1.4叠加性系统论因混沌现象发生于非线性系统,所以,经济混沌系统不再具有线性系统所特有的叠加性。所谓叠加性,是指现象系统中,各要素之间的比例关系和各要素间的合并或加和性。如某些经济变量间的现象比例关系,一些复杂经济系统可看成一些简单子系统的叠加。对于混沌经济系统而言,我们就不能再简单地认为系统各要素之间具有比例关系或是简单的加和关系。1.5非周期性系统演变的不规性,即系统演变不具有明显的规律性,或者说系统子阿运动过程中不重复原来的轨迹,称为非周期性。1.6混沌是一个分数的系统混沌经济系统本身与其子系统、孙子系统等不同层次在结构上具有的相似性和类似性,称为自相似性。在一般情况下,它的几何结构不是传统意义上的维数,而是一种具有分数维的“分形”物,其维数不再是整数,而是分数。如处于混沌阶段的股价指数就具有明显的分形特征,它的维数就是一个分数。总而言之,混沌经济系统是具有积累效应的非线性系统的一种不规则的宏观上无序、微观上有序的运动状态。所以混沌是对存在于非线性系统中的无序的研究,以混沌为基本观点的系统科学,提倡横向的跨学科研究,探索远离平衡态的、非线性的、不可逆的、自组织的客观过程,创造处理复杂性、不确定性、演化特性的新方法。混沌中蕴含着有序,有序的过程中也可能出现混沌。混沌解释了自然界的非周期与不可预测性问题,从而成为20世纪三大重要基础科学之一,即:相对论、量子力学与混沌。2经济混沌理论经济系统本身就是由多种因素相互作用的非线性系统,时间上的不可逆性、线路上的多重因果反馈环及不确定性使其具有非常复杂的非线性特征。资本市场作为经济系统的一个重要组成部分,其价格演化过程是由许许多多的经济个体和经济因素共同参与作用决定的。系统受外界影响,作用体相互作用,一个微小的变化经过由众多经济个体所形成的系统的自组织、自加强和自协调作用可能引起质变,价格的变化具有很大的不确定性、不可逆性、多样性和多变性等特征。所以我们可以说,资本市场是一个明显的具有复杂性特征的非线性系统。传统的研究范式都是将之化简为现实的线性近似,虽取得了许多成果,但复杂现象本身被简单化,亦失去了许多有用的信息,因此对许多经济现象不能作出合理的解释。而分形与混沌等复杂性理论的作用就在于在复杂的非线性系统中找到规律,虽然这些理论发现于自然科学领域,但在经济理论研究中同样有着广泛应用。与主流经济学理论相比较,混沌经济学在以下几个方面扩展了经济学研究的对象。第一,主流经济学常常将经济系统的结构性变化和扰动视为由外生随机变量所引起的,从而消弱了其对复杂经济现象的解释能力;而混沌经济学认为貌似随机现象的扰动和结构性变化,完全是由经济系统内生决定的。他们依靠混沌理论,成功地模拟了这些现象。第二,混沌经济学认为,经济系统的变化本质上是无规则和非周期的,但这些混沌现象却可以确定性地由动态模型来描述。第三,如同研究混沌的物理学家、数学家早已指出的,混沌经济学也认为,对本质上是混沌系统的经济变化进行预测是不可能的。经济研究的目的在于掌握经济运动的规律,并运用这些规律来描述、模拟和预测经济运动的变化。在混沌经济系统研究中,经济系统的非线性预测是及其重要的方面。而经济混沌预测的一个重要方面即是依据吸引子的运动趋势进行预测。由于处于吸引子外的状态点的运动轨迹与其临界点的运动轨迹都有驻留在吸引子内保持其分形特征的趋势,因而根据这一趋势,预测状态点的临界状态与其后续状态点之间的函数关系就可以作为预测的基本函数模型。这样,就可以对所研究的经济混沌进行短期预测。实践也证明,混沌模型可对经济系统进行短期预测,但不能进行中长期的预测。这和我们现在的感受相符合,短期天气预报常常很准确,而中长期预报则偏离较大。现在,利用混沌理论研究经济学已经有二十多年了,复杂经济系统的非线性预测已取得了重要的进展,许多预测技术得到了实际应用。这其中的非线性预测突破了传统的预测范式,为复杂