带三点边条件surm-liouville问题特征值的性质与渐近估计

带三点边条件surm-liouville问题特征值的性质与渐近估计

0特征值问题的特征在微分算子理论的研究中，函数值的轨迹公式在反谱问题、单子理论和可积分系统中发挥着非常重要的作用。多点边值问题的应用背景为多层介质模型,结构较两点边值问题复杂。对具体方程的多点边值问题并不多见,而三点边条件的特征值问题的特征展开与迹公式有部分的研究。本文主要研究了下面一个带三点边条件的Strum-liouville问题(E*)其中λ为特征参数;q1,q2为实值连续函数;α,β,h*,k*∈R且h*>0,k*<0。当连接点a处于b,c之间时,称(E*)为折射型的。本文采用留数方法,对(E*)的特征值重新进行渐近估计,并获得多种特殊情形下的渐近迹公式。1元连续函数的解为求φ,ψ的渐近估计式,先考虑下列二初值问题的解φ(x,λ),ψ(x,λ)记Q1=supx∈(a,b)|q1(x)|Q1=supx∈(a,b)|q1(x)|,约定Q1(x)=∫xbq1(ξ)dξ。命题1(3)的解存在唯一,是x,λ二元连续函数,是λ的整函数且φ(x,ˉλ)=¯φ(x,λ)。引理设q(x)∈C1[a,b],当sinα≠0时,λ=S2‚S=σ+iτ‚|S|≥S0＞0有而当sinα=0时附注:约定Q2(x)=∫xcq2(ξ)dξ,类似可得ψ(x,λ)的诸估计式。2[c][1n+c12-2,[2]b1由引理,经简单运算知其中Ai,Bi(i=1,2,3),Ci,Di(i=1,2)同文献定义。按文献易知分以下三种情况加以讨论:(ⅰ)当a=b+c2即b+c-2a=0时令c-b=r2,k*+h*=R*2,F10=-sinα·sinβ/2≠0。ω0(λ)≜-F10R*2Ssinr2S=E0R*2Ssinr2S的零点取矩形迴路Cn,四顶点(n+12)π(±1±i)/r2。命题2设S=σ+iτ,CN取法如上,则当S∈CN时,e|τ|r2/|sinr2S|=Ο(1)。由Rouchë.E定理易知:命题3整函数ω(λ)与ω0(λ)在迴路CN内零点个数相同。由留数理论Ν∑n=-Ν[λn+(σ1n)2]=-12πi∮CΝ2Slogω(λ)ω0(λ)dS=2F10R*2r2Ν∑n=-Ν[C1(-1)n+C2]+2D2F10R*2+1[F10]2R*22{C1+C23r2[r2(C1+C2)-3C2]+1r22Ν∑n=-Ν[C1(-1)n+C2][C1(-1)n+C2-2][σ1n]2}+Ο(1Ν)令Ν11n=2F10R*2r2[C1(-1)n+C2],n=0,±1,±2,⋯Ν12n=1[F10]2R*22r22[C1(-1)n+C2][C1(-1)n+C2-2][σ1n]2,n=±1,±2,⋯Q11=2D2F10R*2,Q12≜C1+C23[F10]2R*22r2[r2(C1+C2)-3C2]θ1n≜-2[σ1n]2-2N11n-2N12n,Q1=N10+Q11+Q12定理1问题(E*)在折射情形:当sinα≠0,sinβ≠0且b+c-2a=0时,相应渐近迹公式为其中θ1n与Q1的选取同上。若取围道Cn,四顶点为(n+12)π(±1±i)/r2时,类似地有:定理2问题(E*)在折射情形:当sinα=0,sinβ=0且b+c-2a=0时,相应渐近迹公式为其中θ2n与Q2的选取类似以上情形。若取矩形迴路Cn,四顶点为t±n(1+i),tm=mπ/r2时,类似地有:定理3问题(E*)在折射情形:当sinα=0,sinβ≠0且b+c-2a=0时,相应的渐近迹公式为其中θ3n与Q3的选取类似以上情形。(ⅱ)当a＞b+c2即2a>b+c时,令-k*+h*=R*1,r′1=2a-b-c。令ω0(λ)≜-E0S(R*1sinr′1S+R*2sinr2S)取矩形迴路Cn,四顶点t±(2n+1)±iT,T∈R,其中tm=mπ/2r′1。ω(λ)ω0(λ)=1-C1cosr′1S+C2cosr2SSE0(R*1sinr′1S+R*2sinr2S)+D1cosr′1S+D2cosr2SS2E0(R*1sinr′1S+R*2sinr2S)+Ο(|S|-3)当r2=2r′1即b=4a-3c时,F(S)≜sinr′1S·(2R*2cosr′1S+R*2)相应的零点σ1n=nπ/r′1,σ1′n=[(2n+1)π-arccosR*22R*1]r′1n=0,±1‚±2‚⋯令Ρ11n=2r′1E0⋅C1+C2(-1)n2R*1(-1)n+R*2,Ρ12n=2r′1E0⋅D1R*2-D2R*1R*2√4R*21-R*22⋅1σ1′n‚n=0,±1,±2,⋯Ρ13n=1r′1E20⋅[C1+C2(-1)n]2[2R*1(-1)n+R*2]2⋅1[σ1n]2,n=±1,±2,⋯Ρ14n=C2(R*22-2R*21)-C1R*1R*2E20r′1R*22(√4R*22-R*21)5⋅{2(C1R*2-2R*1C2)(4R*22-R*21)-3R*21[C2(R*21-2R*22)-C1R*21R*22]}⋅1σ1′n≜Ρ14⋅1σ1′n‚n=±1,±2,⋯,Ρ15n=[C2(R*21-2R*22)-C1R*1R*2]2E20r´21R*22(4R*22-R*21)2⋅1[σ1′n]2=Ρ15⋅1[σ1′n]2‚n=0,±1,±2,⋯Ρ16=2r′1E0⋅C2(R*21-2R*22)-C1R*1R*2R*2(R*21-4R*22)‚Τ11=2E0⋅D1-2D2R*1+2R*2Τ12=1E20⋅C1+C23r′1(R*1+2R*2)3[(C1+C2)(R*1+8R*2)r1-3(C1+4C2)]Τ1≜Τ11+Τ12+Τ110-Τ120-Ρ140-Ρ150+Ρ16η1n≜-2[σ1n]2-[σ1′n]2-[σ1′-n]2-2Ρ11n-Ρ12n+Ρ12-n+2Ρ13n+Ρ14n+Ρ14-n+Ρ15n+Ρ15-n-2Ρ16定理4问题(E*)在折射情形:当sinα≠0,sinβ≠0且b=4a-3c时,相应的渐近迹公式为其中η1n与T1的选取同上。若取围道Cn:t±(2n+1)±iT,T∈R,其中tm=mπ/2r2时,有:定理5问题(E*)在折射情形:当sinα=0,sinβ=0且b=4a-3c时,相应的渐近迹公式为其