关于矩阵迹的两个不等式

关于矩阵迹的两个不等式

0生成解析大学算法的不当之处的解析法20世纪80年代，控制论专家布雷姆韦姆（brimon）教授提出了矩阵轨迹的两个不等式假设。后来,很多作者对其进行了讨论,得到了许多很好的结果。陈道琦教授在文献中证明了半正定Hermit矩阵的一个不等式|tr(A1A2⋯Am1)|≤1mm∑k=1[tr(Amk)](1)|tr(A1A2⋯Am1)|≤1m∑k=1m[tr(Amk)](1)詹仕林教授进一步讨论了幂等矩阵乘积的不等式|tr(A1A2⋯Am1)|≤[m∏k=1tr(Amk)]1m≤1mm∑k=1[tr(Amk)](2)|tr(A1A2⋯Am1)|≤[∏k=1mtr(Amk)]1m≤1m∑k=1m[tr(Amk)](2)文献对他们的结果作了一些优化并推广了不等式(2)|tr(A1A2⋯Am)|≤[m∏k=1tr(Amk)]1m≤1mm∑k=1[tr(Amk)]|tr(A1A2⋯Am)|≤[∏k=1mtr(Amk)]1m≤1m∑k=1m[tr(Amk)]得到不等式|tr(A1A2⋯Am)|≤m∑k=11αk[tr(Aαkk)]|tr(A1A2⋯Am)|≤∑k=1m1αk[tr(Aαkk)],其中αk>0,m∑k=11αk=1(3)αk>0,∑k=1m1αk=1(3)本文在文献的基础上继续探讨得到了另一个重要不等式|tr(Aα11⋯Aαmm|m≤m∑j=1(αjtrAmj)|tr(Aα11⋯Aαmm|m≤∑j=1m(αjtrAmj),其中αj>0‚m∑j=1αj=1。(4)并进一步用特征值探讨了相关的不等式,得出n∑i=1m∏j=1λαjij≤n∑i=1m∑j=1αjλij(5)1为半纯正分布的abib引理1.1设A1,…,Am是n阶半正定Hermit矩阵,则|tr(A1A2⋯Am)|≤[m∏k=1tr(Amk)]1m≤1mm∑k=1[tr(Amk)](6)引理1.2设αi∈(0,1),i=1,…,m,是有理数,且m∑i=1αi=1‚Ai是半正定Hermit矩阵,则m∏i=1(trAi)αi≤m∑i=1αitrAi(7)引理1.3如果A是半正定矩阵,则对∀k∈z+,Ak也是半正定矩阵.引理1.4如果A是半正定Hermit矩阵,则对α是任一正有理数,则存在一半正定Hermit矩阵B,使Bα=A.2特定a11mmamj化[1水]n定理2.1设αj∈(0,1),j=1,…,m,是有理数,且m∑j=1αj=1‚Aj是半正定Hermit矩阵,则|tr(Aα11⋯Aαmm)|m≤m∑j=1(αjtrAmj)(8)证明:令Bj=Aαjj,由引理1.4知Bj是半正定Hermit矩阵,由引理1.1得|tr(B1⋯Bm)|m≤m∏j=1[tr(Bj)m](9)即得|tr(Aα11⋯Aαmm)|m≤m∏j=1[tr(Aαjj)m]=m∏j=1[tr(Amj)αj](10)由引理1.2知|tr(Aα11⋯Aαmm)|m≤m∑j=1(αjtrAmj)证毕.定理2.2设λij≥0,i=1,…,n,j=1,…,m,又设αj∈(0,1)是有理数,且m∑j=1αj=1,则n∑i=1m∏j=1λαjij≤n∑i=1m∑j=1αjλij证明:令Aj=[λ1m1j0⋱0λ1mnj],则Amj=[λ1j0⋱0λnj],Aαij=[λαjm1j0⋱0λαjmnj],m∏j=1Aαjj=[m∏j=1λαjm1j0⋱0m∏j=1λαjmnj]因为λij≥0,所以λ1m≥0,故Aj=[λ1m1j0⋱0λ1mnj]为半正定Hermit矩阵,由定理2.1知|tr(Aα11⋯Aαmm)|m≤m∑j=1[αjtr(Amj)](11)又|tr(Aα11⋯Aαmm)|m=|tr(m∏j=1Aαjj)|m=(n∑i=1m∏j=1λαjmij)m(12)m∑j=1[αjtr(Amj)]=n∑i=1m∑j=1αjλij(13)于是有(n∑i=1m∏j=1λαjmij)m≤n∑i=1m∑j=1αjλij(14)又因为n∑i