基于混沌理论的河流演变过程分析

基于混沌理论的河流演变过程分析

1非平衡态力学的应用杨志达（yc.t.）在1973年将热系统与河流系统进行了比较。假设热系统的热量相当于河流系统的势能，而热系统的绝对温度相当于河流系统的高度。一旦认可这个类比,就不需要进一步的推导,所有的热力学定律和理论可以直接应用于河流系统的研究,进而并最终推导出最小能耗率理论。随着热力学理论研究的不断发展,热力学也进一步分为平衡态热力学和非平衡态热力学。非平衡态热力学是在平衡态热力学基础上发展起来的,以开放系统作为研究对象,研究其在近平衡态和远离平衡态的演变规律及性质。而河流系统是一个复杂的开放系统,同时又属于热力学系统,那么其演变规律理应遵循非平衡态热力学基本理论。所以,杨志达在1971年所说的热系统如果再具体地说应是指热力学开放系统。如果将热力学开放系统与河流系统进行类比,所有有关热力学开放系统的定律和理论都可以直接应用于河流系统的研究。杨志达等人在文献中也曾指出,一段接近动态平衡的开放河流,如果假设其两端各连接着一个水头差固定、始终保持恒定流放水状态的无限大的水库,就可以把这段开放河流视为一个动态平衡条件下的“封闭系统”。这里所述“封闭系统”,其实也相当于热力学中的开放系统。最小熵产生和耗散结构理论是非平衡态热力学的两个基本理论,基于最小熵产生理论可以推导出最小能耗率理论,也可以证明熵产生等于能耗率。所以,最小熵产生原理与最小能耗率原理是等价的。此外,近几十年来迅猛发展起来的混沌理论是对耗散结构理论的拓展,其在研究开放系统在远离平衡态非线性特性方面也获得广泛应用。本文首先阐述了最小熵产生、耗散结构和混沌理论的基本原理和研究方法,并企图澄清一些对最小熵产生和耗散结构理论的误解或错误观点。然后介绍了如何应用最小熵产生、耗散结构和混沌理论的基本原理和方法对河床演变过程进行分析。2系统总熵无断完善状态根据热力学理论,系统可以分为孤立系统、封闭系统和开放系统3大类。一个系统状态的变化可以通过系统的“熵”来表达。熵增加,系统趋于无序化状态;熵减少,系统趋于有序化状态。一般用符号S表示熵。根据热力学第二定律,在孤立系统中,熵只增不减。对于可逆过程,系统的熵不变,即dS=0;对于不可逆过程,系统的熵增加,即dS>0,也就是说只有不可逆过程才对熵做出贡献。而开放系统的熵变由两部分组成:一部分是系统内部不可逆过程所引起的熵增加,也称为熵产生diS;另一部分是系统与外界交换物质和能量引起的熵变,称为熵流deS。开放系统的总熵变dS为熵产生diS与熵流deS之和,即开放系统和封闭系统与孤立系统的差别在于系统中存在着熵流项deS。熵流项deS的值依据外界对系统的不同作用,可正、可负或为零,一般说来没有确定的符号。而根据热力学第二定律,由不可逆过程引起的熵产生项diS却永远是正值,即因此,开放系统的熵的变化dS不一定大于零,也可以等于零或小于零。我们可以根据开放系统的总熵变来判定一个系统所处的状态。系统处于非平衡态定态,即描述系统宏观状态的物理量不随时间变化,但系统内部仍存在各种物理量的宏观流动过程。如恒定流,就是一种非平衡定态。考虑到式(2),由式(3)可得可见,开放系统为定态时,熵流项deS与熵产生项diS在数值上相等,但符号相反。也就是说,系统从外界环境中引进了负熵流,而且引进的负熵流与系统内部不可逆过程引起的熵产生恰好抵消,这样系统就处于宏观性质不随时间而改变的定态。在定态,虽然系统内部仍有各种物理量的宏观流动过程,但是这些内部过程和外界的交换过程的平均效果使得系统的边界条件不会随时间发生变化。当则有系统从外界环境中引进的负熵流满足式(6)时,系统的总熵减少。在此状态下,由于从外界环境中引进的熵流和内部熵产生交换的不平衡,导致组成系统的物质数量也会变化,因而系统的边界条件不一定保持恒定。根据耗散结构理论,如果系统能够引进足够数量的负熵,系统就会处于远离平衡态区域。当则有系统从外界环境中引进的熵流满足式(8)时,就会使系统的总熵增加。由于物质数量交换的不平衡,系统的边界条件在这种状态下也可能会随时间发生变化。综上所述,开放系统在演变过程中,其总熵变dS可能处于3种状态,即dS=0;dS>0;dS<0。当dS=0时,系统处于定态,系统的边界条件不会随时间变化。当dS>0或dS<0时,系统偏离定态。一旦偏离定态,系统与外界交换物质和能量的平衡条件就被破坏,其边界条件就不一定保持恒定。3非平衡态的力学过程非平衡态热力学理论是研究开放系统的演变规律及性质的。一个开放系统依据距离平衡态的远近程度,可能以3种不同的宏观状态存在:平衡态;近平衡态;远离平衡态。但受外界约束条件的限制,这3种状态未必都能实现。如河流的平衡态永远不会实现,只能处于近平衡态和远离平衡态。近平衡态和远离平衡态都属于非平衡态。处于非平衡态的系统有许多变化着的因素影响其演变方向。但归纳起来,不外乎两大类:一类是广义流;另一类是广义力。广义力引发广义流,两者之间的关系一般是很复杂的函数关系,但在近平衡态,广义力的作用相对较弱,广义流与广义力的关系呈线性关系,所以近平衡态亦称为非平衡态线性区。而在远离平衡态,他们之间的关系是复杂的非线性关系,所以亦称为非平衡态非线性区。非平衡态热力学的基本理论主要包括近平衡态的最小熵产生原理和远离平衡态的耗散结构理论。这些理论为研究非平衡态开放系统和不可逆宏观过程奠定了基础。3.1系统的熵流项最小熵产生原理是非平衡态热力学中基本原理之一,它是比利时著名物理学家普利高津(PrigogineI.)提出来的。该原理表明:在非平衡态线性区(近平衡态),当开放系统的熵产生取极小值时,系统一定处于与外界约束条件相适应的非平衡定态。事实上定态并非平衡态线性区独有的特征,某些开放系统在非平衡态非线性区仍有可能处于定态。普利高津(PrigogineI.)在推导最小熵产生原理数学表达式时,为了使复杂的数学推导能够进行下去,作了一系列假设,其中包括系统的边界条件与时间无关,得到最小熵产生原理数学表达式如下式中:P表示系统熵产生;t为时间。式中等号对应定态,不等号对应偏离定态。熵产生P具有单位时间熵的量纲[ML2T-3θ-1],它在非平衡态热力学中就像熵S在平衡态热力学中那样起着非常关键的作用。正是因为在推导过程中,假设系统的边界条件与时间无关。所以中南大学的周筑宝先生认为,最小熵产生原理或最小能耗率原理只适用于系统边界条件恒定的开放系统,而不适用于边界条件随时间变化的开放系统,如河流。这一点其实值得商榷。因为,最小熵产生原理适用于任何开放系统,无论其边界条件是否保持恒定。这一点,我们可以从开放系统的熵变计算式(3)~(8)可以看出。如果外界约束条件(包括边界条件)发生变化,即边界条件非恒定情况下,系统将离开原来的定态,逐渐趋于与新的外界约束条件相适应的定态。在这个过程中,系统的熵产生不一定是单调减少,而是随着与外界交换物质和能量,熵流项其值可大、可小,所以熵产生项也可能增加、也可能减少,与外界约束条件(包括边界条件)变化有关。当系统演变到新的的定态时,熵产生一定是最小值。此外,实际观察到的河床演变现象也是如此(见图5)。式(9)只是表明,在线性非平衡区,如果边界条件保持恒定,系统熵产生P将随时间t而单调减少,直到系统达到和外界约束条件相适应的非平衡定态时才停止。此时熵产生具有最小值(见图1)。普利高津(PrigogineI.)也指出,系统受到的与时间无关的约束时,在充分长的时间之后达到定态。首先考虑与维持平衡态相容的约束情况。这样,所达到的平衡态是定态的特殊情况。其次,如逐渐改变约束使系统的状态离开平衡。由于连续性,这种渐近得到的新状态也是定态。周筑宝先生认为最小能耗率原理或最小熵产生原理在应用中存在一个误区,即边界条件恒定才是最小能耗率原理成立的必要条件,而河床演变则意味着河床边界条件处于不断变化之中,这显然不满足最小能耗率原理要求边界条件恒定的条件。所以进而提出所谓新最小能耗率原理,即引入“瞬时定态”概念,用一系列阶梯折线代替图1中光滑连续曲线,如图2所示。认为由于在组成此阶梯形折线的任一微小水平线段范围内的纵坐标(即熵产生P)与时间t无关,因此它们都可视为此线性非平衡区中的一种瞬时定态。这样就可以将最小熵产生原理或最小能耗率原理推广应用于非线性非平衡态热力学过程中任意瞬时(包括非线性区),并可用来解释河床演变的一般过程。周筑宝先生的观点首先与非平衡态热力学理论和河流动力学理论不符,其次就其数学推演来讲也是错误的。这是因为,根据最小熵产生原理,既然是瞬时定态,熵产生在δt邻域应为极小值。我们可以从数学分析中有关极值的定义来证明,在δt邻域,熵产生不存在极小值。根据数学分析中的极小值定义:如果有一个点ti(见图2),它有一个邻域δt存在,使函数P(t)在这邻域内有定义且对于这邻域内异于ti的任何t值,P(t)>P(ti)恒成立,则称P(ti)为函数P(t)的一个极小值。从图2中我们可以看出,在δt邻域,P(ti-δ/2)>P(ti),P(ti+δ/2)<P(ti),即在δt邻域,P(t)>P(ti)不总是成立。所以,根据极小值定义,在δt邻域,熵产生不存在极小值,瞬时定态说法也就不成立。此外,根据非平衡态热力学理论,最小熵产生原理是不能推广应用到非线性区的,它只在线性区成立。还有,河型转化也是不能用最小能耗率原理或最小熵产生原理来解释的,详细论述见下述耗散结构和混沌理论与河型转化部分。其实,最小熵产生原理或最小能耗率原理反映了非平衡定态的一种“惰性”行为。设系统已处于某一定态,在系统的边界条件保持恒定情况下,由于涨落,系统随时可能会偏离这个定态。一旦偏离定态,系统的熵产生或能耗率将大于定态的熵产生或能耗率。此时,系统的熵产生或能耗率将会随时间单调减小,最后恢复到原来的定态(见图3)。这表明,最小熵产生原理或最小能耗率原理保证了非平衡定态的稳定性。一旦系统达到非平衡定态,在没有外界的影响下,它将不会再自发地离开这个定态。在定态,系统的边界条件不会随时间变化。但在非定态,系统的边界条件不一定保持恒定。如果系统的边界条件保持恒定,一旦偏离定态,系统最后一定会恢复到原来的定态;如果系统的边界条件发生变化,系统将离开原来定态,寻找与新的边界条件相适应的定态或向远离平衡态演变形成耗散结构或混沌态。系统从一个定态变化到另一个定态,所经历的中间过程是非常复杂的,并不是在过程的每一瞬间都处于定态,而是在经历了一系列非平衡态演变过程,才恢复到新的定态。在新的定态,熵产生或能耗率一定为最小值,但在非平衡态演变过程中,熵产生或能耗率并不一定随时间单调减小。所以,最小能耗率原理或最小熵产生原理只是作为开放系统在线性区演化或发展的判据,不能用来解释河床演变过程中的一般情况。众所周知,河流具有自动调整作用,通过自动调整趋向于相对平衡状态。河流在调整演变过程中,其熵产生或能耗率或大或小,但调整幅度随着时间逐渐变小,即边界条件逐渐趋于恒定,当河流调整到相对平衡状态时,水流的熵产生或能耗率一定为最小值,而且河床边界条件保持恒定,当然这个恒定也是指相对而言。3.2耗散结构理论1969年普利高津(PrigogineI.)又提出了耗散结构理论。所谓耗散结构,是指一个远离平衡态的开放系统,通过与外界环境不断地交换物质和能量,当其中的某个或某组参量变化达到一定的临界值时,通过“涨落”可能发生突变亦即非平衡相变,进而形成一种在时间、空间或功能上有序的稳定结构。这种在远离平衡态非线性区形成的新的有序结构称作耗散结构。耗散结构需要不断与外界交换物质和能量才能维持,并保持一定的稳定性,不再因外界微小的扰动而消失。由于系统在一定条件下能够自行产生组织性和相干性,耗散结构理论也被称做非平衡系统的自组织理论。耗散结构的形成应具备4个条件:(1)系统的开放性;(2)远离平衡态;(3)非线性相互作用;(4)涨落现象。一旦耗散结构形成所具备的这4个条件出现,耗散结构的出现也就是必然的事情了。分岔是系统在远离平衡态非线性区域演化过程中的一个基本特性,通常是当某个系统的参量变化到一定程度时,系统的行为就会发生突然变化。系统耗散结构的演化总过程是一个不断分岔的过程,最简单的分岔如图4所示。图中λ为外界约束条件,当外界约束条件λ未达到分岔点λ1时,作用的结果只有一个解。也就是说,在分岔点λ1前为线性的近平衡区。当达到分岔点λ1以后,则为非线性的远离平衡区,因而出现多个分支解。但系统究竟是选择哪个分支,这一方面取决于这些分支的相对稳定性,哪个分支越稳定,系统选择哪个分支的可能性就越大;另一方面还取决于涨落。然而一旦系统选择突变到某一枝后。系统状态又重新变得稳定,微小涨落不再对新的稳定状态产生影响。当外界对系统的约束条件继续改变时,又会重复上述过程。所以,耗散结构理论认为,一个系统的行为和特性只有考察它的全部时间进程(即“历史”)才能确定。有时间进程的动力系统才有可能形成耗散结构。耗散结构一旦形成后,系统的熵产生或能耗率又降低到最小值。4混沌的表现与分岔结构20世纪70年代出现的混沌理论是耗散结构理论的拓展,也是研究开放系统在远离平衡态区域所表现出的非线性特性的理论。在某种意义上说,混沌理论是对耗散结构理论的补充完善。所谓混沌,是指发生在确定性非线性系统中的一种貌似无规则、类似随机的现象。混沌现象既不同于传统的确定性现象,也不同于传统随机现象,它是确定性与随机性的结合。混沌现象无处不在。混沌不是混乱,而是表面混乱而内部有序,是外在随意而内在有规,是局部不稳而整体稳定,是现象复杂而本质简单。总之,混沌理论表述了这样一个论点:有序来自无序,无序来自有序;混沌来自简单,简单来自混沌。混沌系统有3个明显的特征:(1)对初始条件十分敏感;(2)混沌是不可预测的;(3)混沌中有序。混沌实现的主要途径就是分岔。当系统处于非线性区域时,超过某一临界点后,系统就有可能失稳,出现突变,就可能导致出现混沌状态。分岔行为可以多级发生。从分岔到混沌,就表现为确定性系统的内在随机性。混沌是有序和无序的统一。当外界的控制参量不断改变时,在一定条件下系统会经历一个从无序到有序、从有序到有序,从有序到混沌的演化过程。从无序到有序,从耗散结构到混沌,系统不可逆转地向前发展,直至一个确定性与随机性的统一、稳定性与不稳定性的统一、有序与无序的统一。普利高津虽然在耗散结构理论中也曾提出“有序来自混沌”。但他提出的这种“混沌”是指平衡态时的无序状态,暂且称为“平衡态混沌”,而混沌学中的混沌是系统的一种远离平衡的状态,应称为“非平衡态混沌”。综上所述,远离平衡态的系统演化与平衡态或近平衡态系统演化的最大区别就是系统存在着发展演化的多种可能性,而其表现就是系统存在着分岔或分支点现象。通过分岔突变,可能达到两种不同的状态,一种是耗散结构,一种是混沌态。前者意味着有序;后者意味着无序。在自然界中,绝大部分现象都是无序的。所以,混沌态是自然界普遍存在的一种现象,而耗散结构只不过是混沌态的一种特例。5河流系统内部熵产生项根据开放系统的总熵变式(1),可写出河流系统的总熵变表达式如下其中式中:ΔS为河流系统的总熵变;ΔeS为河流系统与外界交换的熵,其值没有确定的正负号;ΔiS为河流系统内部熵产生,其值恒为正;ΔgS、ΔjS分别为第g种因素引起的子熵变和第j种因素引起的子熵变;kg、kj分别为第g种因素引起的子熵变权重和第j种因素引起的子熵变权重。影响冲积河流河床演变的因素很多,但无外乎是内部因素和外界因素。内部因素主要是河道水流的强弱;外界因素主要指约束水流的各种外界条件。由河道水流内部引起的熵变是熵产生项;而由外界约束条件引起的熵变是熵流项。外界约束条件引起的熵流项可经过物质和能量的交换而对河道水流引起的熵产生项进行约束,影响着河流水流熵产生的大小。外界约束条件对河道水流熵产生影响的程度,在河床演变的不同阶段会有所不同。这是因为冲积河流河床演变的方向是朝着河流相对平衡状态方向进行,在趋向于相对平衡过程中,可以调整的物理量有两大类:(1)与边界条件有关的量,如河道断面形状、糙率、纵剖面和河型等;(2)与流动特性有关的量,如水深、流速分布、含沙量分布和紊动特性。这些物理量的调整强度和幅度是逐渐衰减的,愈接近相对平衡,调整强度和幅度就愈小,因而这些物理量对河道水流熵产生影响程度逐渐减弱,直到相对平衡,水流熵产生或能耗率达到最小值。同时,由外界约束条件引起的熵流项也达到最小值,且与熵产生符号相反,两者相互抵消。其实,水流熵产生的过程就是水流能量不断被耗散的过程。众所周知,单位河长的水流能耗率为因系统的熵产生与能耗率等价。故河流系统内部熵产生还可写成式中:T为绝对温度;Q为流量;γ为水容重;J为水力比降。处于非平衡态的河流有许多变化着的因素影响着其演变方向,正是水流内部的熵产生和约束水流的各种外界条件共同作用的结果决定了河床演变方向和河流所处的状态。6保持相对平衡的河流水沙运动规律众所周知,河流具有自动调整功能。河流自动调整从时间上讲,有短期调整和长期调整之分。短期调整伴随着来水来沙变化总是在不断进行之中,既便河流处在相对平衡状态下也不会停止。长期调整的目标是寻求河流相对平衡状态,长期调整往往是一个漫长的时间过程。河流的相对平衡是一种动力平衡,这种动力平衡相当于热力学中的开放系统的非平衡定态。所以,河流的自动调整不仅趋向于动力平衡,还应遵循最小熵产生原理或最小能耗率原理,在调整过程中,系统的熵产生或能耗率趋向于与当地约束条件相适应的最小值。也就是说,当河流调整到相对平衡状态时,河道水流的熵产生或能耗率应为最小值。最小熵产生原理或最小能耗率原理保证了河流在相对平衡状态的稳定性。这里所说的稳定性是指河流的相对平衡状态不会因水沙运动的微小变化而改变。河流水沙运动变化具有偶然性和随机性,相当于热力学系统中的涨落。如果河流处于相对平衡状态,由河流水沙运动不恒定性所引起的这种涨落,不会导致河流离开原来的相对平衡状态。河道水流熵产生的最小值取决于作用在河流上的外界约束条件。根据最小熵产生原理,在河流边界条件保持恒定情况下,河流的自动调整总是向熵产生减少的方向进行(见图1)。当熵产生减少到最小值时,河流调整达到相对平衡状态,并保持相对稳定。当作用在河流上的外界约束条件(包括边界条件)发生变化后,水流熵产生的最小值也随之改变。河流就会离开原来的相对平衡状态,寻求与新的约束条件相适应的相对平衡状态。在这个调整过程中,熵产生或能耗率并不是单调减少,而是有增有减,直到新的相对平衡状态,水流的熵产生或能耗率一定是与外界约束条件相适应的最小值(见图5)。图5是杨志达(YangC.T.)给出的美国田纳西州SouthForkForkedDeer河某河段单位水流功率(与熵产生或能耗率等价)与时间的关系曲线。在1964年至1966年期间,对该河段进行了人工治理。从图中可以看出,该河段在治理前(1965年)单位水流功率保持一个最小值,表明该河段处于相对平衡状态。河道治理后,原有的外界约束条件发生了变化,河流开始调整,相对平衡状态被破坏。河流在调整过程中,单位水流功率偏离最小值,寻求与治理后外界约束条件相适应的单位水流功率最小值。河流在调整的初期,由于河床冲淤变形幅度较大,河床边界变化较大,即外界约束条件不再保持恒定。在这种情况下,单位水流功率不一定减小,而是有可能增加,这取决于河床边界的冲淤变化幅度。在调整的后期(1970年以后),随着河床冲淤变形幅度减小,河床边界也逐渐趋于稳定,即外界约束条件开始保持恒定,这时,河流的调整开始朝着减小单位水流功率方向进行。当河流调整到相对平衡状态时(1982年),单位水流功率又达到与治理后外界约束条件相适应的最小值。这个最小值与治理前的单位水流功率最小值不一定相等,这是因为河道治理后,约束水流的边界条件发生了变化,那么与边界条件有关的单位水流功率最小值也就不可能相等。7河型转化的存在依据河流是一个开放系统,其演变过程必然同时受到内部因素和外界因素影响。河流之所以会形成不同河型,是受内因和外因共同制约的结果。内因就是河道水流熵产生或能耗率有趋于最小值的倾向,它是形成不同河型的根本原因。外因就是约束水流的各种外界条件,它是形成不同河型的重要条件。在自然界,经常看到同一条河流从河源到河口,由于沿程外界条件的变化,呈现出不同的河型。如果一条河流,当外界条件发生较大变化后,河型转化就有可能会发生。众多资料表明,河型转化是超过某一临界值而发生的突变。这种突变相当于热力学中的非平衡相变,是由某些参量的渐变引起的从量变到质变的一个过程。河流在发展演变过程中,既可以从外界获得负熵流,也可以获得正熵流,这取决于外界条件的变化。河流的状态有有序的一面,也有混沌的一面。负熵流促使河流朝有序化方向发展,正熵流促使河流朝无序化方向发展。如前所述,系统在远离平衡后可能有两种不同的状态,一种是耗散结构,一种是混沌态。它们都是通过分岔突变而达到的。有序化过程可能产生耗散结构,无序化过程可能产生混沌态。耗散结构与混沌态在河型转化过程中交替出现,就可能会形成不同的河型。冲积河流在发展演变过程中总是试图建立水流熵产生或能耗率最小的河型,在建立这种河型过程中,又受到外界条件的约束。在顺直型、游荡型、分汊型和弯曲型几种河型中,弯曲型河流水流熵产生最小,也是较为稳定的河型,所以也更加有序化。这就是为什么冲积河流无论其初始河型如何,如果外界条件允许河流向弯曲型河流发展演变,那么河流会首先选择弯曲型河流作为它发展演变的目标。河流在发展演变过程中总是倾向于弯曲型河流,将导致形成有序化的耗散结构。弯曲型河流也有可能向分汊型、游荡型河流转化,但这种转化导致形成无序化的混沌态。可见,河流在试图建立弯曲型河流过程中,同时仍伴随有无序化过程。有序化和无序化两个过程是伴生的,没有无序化的过程,也就没有有序化的过程。无序化是熵增过程,有序化是熵减过程。河流演变由近平衡态区域进入远离平衡态区域后,通过涨落使原有的河型失稳而突变形成新的河型,是有其发展演变历史的。判断转化后的河型属于耗散结构还是混沌态,必须考查河流的发展演变历史。如果河型转化后,新河型较原有的河型更加稳定,则新河型属于耗散结构。如果转化后,新河型的稳定性较原有的河型更差,则新河型就处于混沌态。河流处于近平衡态或相对