关于l-强连通的刻画

关于l-强连通的刻画

1局部l-强连通定义1是x的一个子集。当s的a集w和v时，aw和av通常时，aw或av，称为l-强烈连接。定义2若x∈X,对任意的x∈O∈τ,存在一个L-强连通的开集G,满足x∈G⊂O,则称(X,τ)是在x处的局部L-强连通的。若(X,τ)在每一点处都是局部L-强连通的,则称(X,τ)是局部L-强连通的.定理1A非L-强连通当且仅当A中存在非空不交的闭集E和F.2局部r-强连通的机制定义3设U,V是拓朴空间X的子集A的任意非空不交的开集,若恒有则称A为X的R-强连通子集.其中CA(U),CA(V)分别表示U,V在A中的闭包.定义4设x是拓扑空间X中的一点,如果对X中任意包含x的开集U,都存在X中的一个R-强连通的开集V.满足x∈V⊂U,则称X在x处是局部R-强连通的.若X在每一点处都是局部R-强连通的,则称X是局部R-强连通的.定理2L-强连通必是R-强连通,R-强连通必定连通.证明设A为L-强连通的,由定理1知,A中任意两个非空闭集都相交,故A为R-强连通的.若A是R-强连通的,但不连通,则存在A中既开又闭的非空不交的子集E和F,使即A不是R-强连通的,矛盾.定理3设{Xα,α∈Γ}是非空R-强连通空间的非空簇,则积空间Πα∈ΓXαΠα∈ΓXα亦是R-强连通的.证明令X=Πα∈ΓXαX=Πα∈ΓXα,若存在X中两个非空不交的开集U,V,使C(U)∩C(V)=《,则U,V可以写成U=∪α∈△Uα‚V=∪α∈△′Vα,其中Uα,Vα是基中的成员.由于U∩V=《,因此,对任意α∈△,β∈△′,都有Uα∩Vβ=《,且《=C(U)∩C(V)=C(∪α∈△Uα)∩C(∪α∈△′Vα)⊃∪α∈△C(Uα)∩∪α∈△′C(Vα)=∪α∈△,β∈△′{C(Uα)∩C(Vβ)}因此,对任意α∈△,β∈△′,均有C(Uα)∩C(Vβ)=《.Uα,Vβ可以写成:Uα=Uα′1×Uα′2×⋯×Uα′n×ΠXα′α′∈Γ-{Uα′1,⋯‚Uα′n}Vβ=Uβ′1×Bβ′2×⋯×Vβ′m×ΠXβ′β′∈Γ-{Uβ′1,⋯‚Uβ′m}其中Uα′j,Vβ′i分别是Xα′j,Xβ′i中非空的开集.则{α′1,…,α′n}∩{β′1,…,β′m}≠.否则令{α′1,…,α′n}∩{β′1,…,β′m}={r1,…,rl}则C(Uα)∩C(Vβ)=Πα′∈{r1‚⋯‚rl}{Cα′(Uα′)∩Cα′(Vα′)}×ΠCα′(Uα′)α′∈{α´1,⋯‚α´n}-{r1‚⋯‚rl}×ΠCα′(Vα′)α′∈{β´1,⋯‚β´m}-{r1‚⋯‚rl}×ΠXαα∈Γ-{α´1,⋯‚α´n,β´1,⋯‚β´m}=.则必存在{r1,…,rl}中的rk,使Crk(Urk)∩Crk(Vrk)=《,即Xrk不是R-强连通的,矛盾.定理4设f是局部R-强连通空间X到拓扑空间Y的连续的、单的、开映射,则f(X)是Y中局部R-强连通的子集。证明设y是f(X)中的任一点,U是f(X)中任一包含y的开集,令f(x)=y,则f-1(U)是X中包含x的开集,由X的局部R-强连通性知,存在X中的R-强连通的开集V,满足x∈V⊂f-1(U),则f(x)=y∈f(V)⊂U,由条件知f(V)是f(X)中的开集,易证f(V)是f(X)中R-强连通的.由定义4知f(X)是Y中局部R-强连通子集.定理5设{Xα,α∈Γ}是非空R-强连通空间的非空簇,若对任意α∈Γ,Xα都是局部R-强连通的,则积空间Πα∈ΓXα亦是局部R-强连通的.证明设x是Πα∈ΓXα中任意一点,U是Πα∈ΓXα中任一包含x的开集,则U=∪α∈△Uα,其中Uα是基中的成员.对任一包含x的Uα,设Uα=Uα′1×Uα′2×⋯×Uα′n×ΠXα′α′∈Γ-{Uα′1,⋯‚Uα′n}由于Xα,α∈Γ是局部R-强连通的,由定义4知存在Xα′i中R-强连通开集Vα′i,满足xα′i∈Vα′i⊂Uα′i,i=1,2,…,n由于Vα′1,…,Vα′n,Xα,α∈Γ都是R-强连通的,由定理3知ΠVα′α′∈{α′1‚⋯‚α′n}×ΠXα′α′∈Γ-{α′1‚⋯‚α′n}亦是R-强连通的,且x∈ΠVα′α′∈{α′1‚⋯‚α′n}×ΠXα′α′∈Γ-{α′1‚⋯‚α′n}⊂ΠUα′α′∈{α′1‚⋯‚α′n}×ΠXα′α′∈Γ-{α′1‚⋯‚α′n}=Uα⊂U由定义4知,Πα∈ΓXα是局部R-强连通的.定理6若X是局部L-强连通的,则X必是局部R-强连通的.证明设U是X中任一包含x的开集,由定义2知,存在包含x的L-强连通的开集G,使x∈G⊂U.设V,W是G中任意非空不交的开集,由定理1知,必有CG(V)∩CG(W)≠《,即G为R-强连通的.由定义4知,X为局部R-强连通的.定理7若X是局部R-强连通,则X是必是局部连通.证明设x是X中任一点,U是X中包含x的任一邻域,则存在X中的开集G,使x∈G⊂U,由于X是局部R-强连通的,故存在X中R-强连通的开集V,使x∈V⊂G⊂U.若V是不连通的,则存在V中既开又闭的非空不交的子集E和F,而CV(E)∩CV(F)=E∩F=《,与V是R-强连通矛盾,故V是连通的,即X是局部连通的.定理8设{Aα,α∈Γ}为X中局部R-强连通的开子集簇,则Uα∈ΓAα是局部R-强连通的.证明设x为Ux∈ГAα中任一点,则存在α0∈Γ,使x∈Aα0,U为Uα∈ΓAα中任一包含x的开集,则U∩Aα0是Aα0的开集.而Aα0为局部R-强连通的,故存在Aα0中的R-强连通开集V,使x∈V⊂U∩Aα0⊂U,易知V也是Uα∈ΓAα中的R-强连通开集,由定义4知,Uα∈ΓAα是局部R-强连通的.定理9设A1,A2,…,An均为拓朴空间X中的开集且A1为局部R-强连通的,若n∩i=1Ai≠《,则n∩