解三角形的应用（范围最值问题）新高考数学一轮复习

解三角形的应用——范围、最值问题授课教师：数学教研组

2023年月日热点分析近年来高考热点以三角形为载体正弦定理、余弦定理为工具研究三角形中的角、边、面积及其他相关量的取值范围和最值问题数形结合这类试题主要考查学生数学运算的能力。等价转化逻辑推理新高考实施以来，多选题和结构不良等新题型的出现，使命题情境更加丰富，开放性更强。这类试题一般为中等难度，但题目相对综合，涉及的知识点较多。通常有下列五种解题思路构造函数或构造基本不等式求范围或最值；利用三角函数求范围或最值；利用三角形中的不等关系求范围或最值；利用二次函数求范围或最值。根据三角形解的个数求范围或最值；154235种解题思路常见的结构模型12345678910三角消角函数结构对边对角长度结构异边异角几何结构齐次边型分式结构二次齐次余弦结构秦九韶式应用结构爪型三角形及应用斯特瓦尔特与均值恒等变换目标函数几何辅助数形结合今天先讲解以下三种模型12对边对角长度结构3异边异角几何结构齐次边型分式结构目录对边对角长度结构1对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.结合余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA变式可得：a²=(b+c)²-2bc(1+cosA)此公式在已知a，A的情况下，可得到b+c和bc的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值。结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围。12对边对角长度结构1【典例】（2020·全国·统考高考真题）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值

【解析】1对边对角长度结构1方法一：余弦+不等式最优解由余弦定理得：2

（当且仅当AC=AB时取等号）

（当且仅当AC=AB时取等号）

对边对角长度结构1正弦化角（通性通法）方法二

余弦与三角换元结合方法三

异边异角几何结构2

异边异角几何结构2

最优解1【解析】

异边异角几何结构2

方法二

方法三

异边异角几何结构2方法一：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围最优解2

异边异角几何结构2由题意求得边a的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围方法二

异边异角几何结构2数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围方法三

齐次边型分式结构3

齐次边型分式结构3（1）

（2）

【解析】课堂练习【训练1】

【训练2】

【训练3】

课堂练习【解析】

【训练1】课堂练习【解析】

【训练2】课堂练习【解析】

【训练3】方法提炼三角形中的范围或最值问题，常常需利用正、余弦定理将其化成边的问题，然后利用基本不等式或函数求最值；或者将其化成角的问题，利用三角公式将所给式子化成一个角的三角函数式，利用三角函数的图象与性质求最值.解题时要根据条件建立所求量(或式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(或式子)的值作为函数值，将上述关系转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题，同时要注意三角形自身范围的限制，尽量完善角或边的范围(也就是函数的定义域)，避免结果的范围过大.任何范围或最值问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围或最值问题也不例外.另外，除遵循函数问题的基本解法外，三角形中的范围或最值问题还有自己独特的解法，如可以结合三角