2021年浙江省杭州市中考数学试卷（解析版）

2021年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.(3分)-(-2021)=()

A.-2021B.2021C.--1—D.—?—

20212021

【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.

【解答】解：-(-2021)=2021.

故选：B.

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的概念是解题关键.

2.(3分)“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记

录.数据10909用科学记数法可表示为()

A.0.10909X105B.1.0909X104

C.10.909X103D.109.09X102

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为“X10”,其中间＜10,〃为整数,

据此判断即可.

【解答】解：10909=1.0909X1()4.

故选：B.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定。与〃的值是解题的关键.

3.(3分)因式分解：1-4/=()

A.(l-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(l+2y)

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：1-49

=1-(24

=(1-2y)(l+2y).

故选:A.

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.

4.(3分)如图，设点P是直线/外一点，PQLI,垂足为点。，点T是直线/上的一个动点，

连结尸7,则()

A.PT^2PQB.PTW2PQC.PT^PQD.PTWPQ

【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论.

【解答】解：；PQ，/,点T是直线/上的一个动点，连结PT,

:.PTNPQ,

故选：C.

【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键.

5.(3分)下列计算正确的是()

A.亚=2B.k2)2=.C.*=±2D.2=±2

【分析】求出后=2,在赤=2,再逐个判断即可.

【解答】解：A.正=2,故本选项符合题意；

B.{(-2)2=2,故本选项不符合题意；

C.正=2,故本选项不符合题意；

D...2)2=2,故本选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键,

6.(3分)某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次.设该景点今年

四月到五月接待游客人次的增长率为x(x>0),则()

A.60.5(1-%)=25B.25(1-%)=60.5

C.60.5(1+x)=25D.25(1+x)=60.5

【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25(1+x),进而

得出答案.

【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(x>0),则

25(l+x)=60.5.

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程中增长率的问题，一般公式为:

原来的量X(l±x)=现在的量，x为增长或减少的百分率.增加用+,减少用

7.(3分)某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天甲、乙

两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是()

A.AB.Ac.AD.A

5432

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C,

画树状图如图：

开始

甲ABC

/1\/N

乙ABCABCABC

共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，

甲和乙从同一节车厢上车的概率为3=工，

93

故选：C.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

8.(3分)在“探索函数y=or2+^+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了

直角坐标系中的四个点：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经

过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其

2262

【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则只需把

开口向上的二次函数解析式求出即可.

【解答】解：由图象知，A、B、。组成的点开口向上，。>0；

A、B、C组成的二次函数开口向上，a>0;

B、C、。三点组成的二次函数开口向下，a<0；

A、D、C三点组成的二次函数开口向下，fl<0；

即只需比较A、B、。组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可.

设A、B、C组成的二次函数为)”=417+6江+<?|,

把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入上式得，

4=2

<a[+b]+c।=0,

9a[+3b]+C[=l

解得

6

设A、B、。组成的二次函数为)'=/+法+<:,

把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入上式得，

'c=2

<a+b+c=0，

4a+2b+c=3

解得a=互，

2

即。最大的值为互，

2

故选：A.

【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质

和待定系数法求函数的解析式.

9.(3分)已知线段48,按如下步骤作图：①作射线4C,使ACJ_AB；②作NB4C的平分

线AD-,③以点4为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EPLAB于点P,

则AP：AB=()

A.1：疾B.1：2C.1：MD.1：V2

【分析】直接利用基本作图方法得出AP=P£，再结合等腰直角三角形的性质表示出

的长，即可得出答案.

【解答】解：-：AC1.AB,

NC4B=90°,

YA。平分NBAC,

：.ZEAB=^X90°=45°,

2

VEPlAfi,

AZAPE=90°,

AZEAP=ZAEP=45°,

：.AP=PE,

.,.设AP=PE=x,

^l.AE=AB=y[2x,

.".AP：AB—x:y[2>c—1:V2.

故选：D.

【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法

得出线段之间关系是解题关键.

10.（3分）已知yi和”均是以x为自变量的函数，当工="?时，函数值分别是Mi和M2,

若存在实数，〃，使得MI+M2=0,则称函数）1和,Y2具有性质P.以下函数yi和”具有性

质尸的是（）

A.yi=/+2x和户=-x-1B.yi=7+2x和*=-x+1

C.yi=-y2=-x-]D.yi=-A>和”=-x+]

XX

【分析】根据题干信息可知，直接令"+”=0,若方程有解，则具有性质P,若无解，

则不具有性质P.

【解答】解：4.令yi+*=0,则/+2x-x-1=0,解得x=±ZG或x=±ZG,即

22

函数yi和"具有性质P,符合题意；

B.令yi+*=0,则/+2x-x+l=0,整理得，7+x+l=0,方程无解，即函数yi和"不

具有有性质P,不符合题意；

C.令yi+”=0,则-工-X-1=0,整理得，/+x+l=0,方程无解，即函数yi和”不

x

具有有性质P,不符合题意;

D.令yi+*=O,则-2-x+l=O,整理得，/-x+l=O,方程无解，即函数yi和”不

x

具有有性质P,不符合题意；

故选：A.

【点评】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常

见思路，本题也可利用函数图象快速解答.

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）计算：sin30°=A.

-2一

【分析】根据sin30。=1直接解答即可.

2

【解答】解：sin30°-1.

2

【点评】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键.

12.（4分）计算：2a+3a=5a.

【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字

母的指数不变求解.

【解答】解：2a+3a=5a,故答案为5a.

【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键.

13.（4分）如图，已知的半径为1,点P是。。外一点，且0P=2.若P7是。。的切

线，7为切点，连结07,则PT=_F_.

【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度.

【解答】解：是。。的切线，7为切点，

OTLPT,

在RtaOPT中，0A1,0P—2,

•,PT-rop2-QT2=yj22-l2=V3>

故：PT—43-

【点评】本题考查了圆的切线性质，即圆的切线垂直于过切点的半径.

14.(4分)现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

甲种糖果乙种糖果

单价(元/千克)3020

千克数23

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来

确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为24元/千克.

【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可.

【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：(30X2+20X3)+5=24(元/千克).

故答案为：24.

【点评】本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求30、20这两个数的平

均数，对平均数的理解不正确.

15.(4分)如图，在直角坐标系中，以点A(3,1)为端点的四条射线A8,AC,AD,AE

分别过点B(l,1),点C(l,3),点0(4,4),点E(5,2),则NBAC=/D4E

(填中的一个).

【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系.

【解答】解：连接OE，

由上图可知AB-2,BC=2,

••.△ABC是等腰直角三角形，

：.ZBAC—45°,

又:A£-7AF2+EF2-V22+12-^)

同理可得DE-62+]2—加，

AD—yF+32—

则在△ADE■中，有^E2+DE2=AD2,

...△ADE是等腰直角三角形，

：.ZDAE-45°,

ZBAC—ZDAE,

故答案为：一.

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，可以根据各个点的坐标构造直角三角形求出各

线段的长度，再根据边来判断角的大小.其解题关键在于构造相关的直角三角形.

16.（4分）如图是一张矩形纸片ABCQ,点M是对角线AC的中点，点E在8c边上，把

△OCE沿直线。E折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接DF,EF.若M尸=4B,

则18度.

【分析】连接DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AM。和为等腰三角

形，ZDAF^ZMDA,/MCD=NMDC；由折叠可知。F=OC,可得/Z）FC=/£>CF；

由MF=AB,AB=CD,DF=DC,可得FM=FD,进而得到//FDM；利用三角

形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得NORS=2N尸MO；最后在中,

利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得.

【解答】解：连接。M,如图：

•・•四边形A8C。是矩形，

AZADC=90°.

・・,加是AC的中点，

：.DM=AM=CM,

：.ZFAD=ZMDAf/MDC=/MCD.

VDC,关于OE对称，

:,DF=DC,

：.ZDFC=ZDCF.

*：MF=AB,AB=CD,DF=DC,

：・MF=FD.

；・NFMD=NFDM.

•・・ZDFC=NFMD+/FDM,

:・/DFC=2/FMD.

•.*/DMC=ZFAD+ZADM,

：.ZDMC=2ZFAD.

设NE4Q=£,则NOR7=4£,

:・/MCD=/MDC=4x°.

VZDMC+ZMC£>+ZMDC=180o,

2x+4x+4x=180.

•»x=18.

故答案为：18.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用

三角形内角和定理列出方程是解题的关键.

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：

解：由①，得2+x>-1,

所以x>-3.

由②，得1-x>2,

所以-%>1,

所以-1.

所以原不等式组的解是-1.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：圆圆的解答过程有错误，

正确过程如下：由①得2+2x>-l,

：.2x>-3,

.,.x>-—,

2

由②得1-x<2,

-x<\,

/.x>-1,

...不等式组的解集为X>-1.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟

跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分

布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）.

某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

组别（次）频数

100-13048

130〜16096

160~190

190~22072

(1)求。的值：

(2)把频数分布直方图补充完整；

(3)求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

【分析】(1)用360减去第1、2、4组的频数和即可；

(2)根据以上所求结果即可补全图形；

(3)用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案.

【解答】解：(1)a=360-(48+96+72)=144；

(2)补全频数分布直方图如下：

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

(3)该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为卫

360

X100%=20%.

【点评】本题考查频数(率)分布直方图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件，利用数形结合的思想解答.

19.（8分）在①4D=AE,®ZABE=ZACD,③尸B=FC这三个条件中选择其中一个，补

充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在△ABC中，/A8C=NACB,点。在A8边上（不与点A,点8重合），

点E在4c边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CO相交于点F.若①

A£）=4E（②或③尸8=FC）,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【分析】若选择条件①，利用NA8C=NACB得至IJA2=AC,则可根据“S4S”可判断△

ABE^/XACD,从而得至I]8E=C£）；

选择条件②，利用/ABC=NACB得到48=4C,则可根据“4SA”可判断AABE四△ACD,

从而得到BE=CD；

选择条件③，利用NA8C=NAC8得到AB=AC,再证明NABE=/ACD,则可根据“ASA”

可判断△ABEZ/XACD,从而得到BE=CD.

【解答】证明：选择条件①的证明为：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△4BE和△ACO中，

，AB=AC

<ZA=ZA>

AE=AD

.,.△ABE丝△AC。（SAS）,

：.BE=CD；

选择条件②的证明为：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△4BE和△4CO中,

，ZABE=ZACD

，AB=AC，

ZA=ZA

.,.△ABE丝△AC。（ASA）,

：.BE=CD-,

选择条件③的证明为：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

,:FB=FC,

：.ZFBC=ZFCB,

：.ZABC-ZFBC=ZACB-NFCB,

即NABE=ZACD,

在△ABE和△ACO中，

fZABE=ZACD

<AB=AC，

ZA=ZA

A/\ABE^/\ACD（ASA）,

：.BE=CD.

故答案为①4D=AE（®ZABE=ZACD^@FB=FC）

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的

性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条

件.也考查了等腰三角形的性质.

20.（10分）在直角坐标系中，设函数（Zi是常数，八>0,x>0）与函数）2=42%

x

（左2是常数，幻W0）的图象交于点A,点A关于y轴的对称点为点8.

（1）若点B的坐标为（-1,2）,

①求心，上的值；

②当时，直接写出x的取值范围；

（2）若点8在函数”=包（七是常数，心W0）的图象上，求心+总的值.

k

【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1,2）,分别代入yi=>（上是常数，用>0,

X

X>0）,”=%2X（七是常数，女2#0）即可求得内，攵2的值；

②根据图象即可求得；

（2）设点A的坐标是（xo,y）,则点B的坐标是（-刈，y）,根据待定系数法即可求得

k[=xo*y,攵3=-xo・y,即可求得回+依=0.

【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1,2）,

'・•函数yi=占L（%是常数，公>0,x>0）与函数（上是常数，攵2*0）的图象交

X

于点A,

ki

.*.2=-2=上，

1

，攵1=2,22=2；

②由图象可知，当时，x的取值范围是x>l；

（2）设点A的坐标是（刈，y）,则点8的坐标是（-刈，y）,

9

.\k\=xo*y9fa=-xoy9

A/:i+fa=0.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称的性质，待定系数法求

函数的解析式，表示出B的坐标是解题的关键.

21.（10分）如图，在aABC中，N4BC的平分线8。交AC边于点。，AE_L8C于点£,已

知NA8C=60°,ZC=45°.

（1）求证：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面积.

【分析】（1）计算出NAO8和N8AC,利用等角对等边即可证明;

（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积.

【解答】（1）证明：平分乙4BC,ZABC=60°,

AZ£）BC=AZABC=30°,

2

VZC=45°,

二/AOB=NO8C+/C=75°,

ZBAC=180°-ZABC-ZC=75°,

：.ZBAC=ZADB,

（2）解：在RtZ^ABE中，ZABC=60°,AE=3,

：.BE=-----=5/3,

tan/ABC

在RtZ\AEC中，ZC=45°,AE=3,

.•.EC=-^-=3,

tanC

:.BC=3+M，

：.SMBC=1BCXAE=.

22

【点评】本题考查等腰三角形的判定以及利用锐角三角函数求值，解题的关犍是求出/

AOB和/BAC的度数.

22.（12分）在直角坐标系中，设函数丫=症+灰+1（a,人是常数，aWO）.

（1）若该函数的图象经过（1,0）和（2,1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象

的顶点坐标；

（2）写出一组“，。的值，使函数），=,/+法+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说

明理由.

（3）已知。=匕=1,当x=p,q（p,q是实数，p中q）时，该函数对应的函数值分别为

P,Q.若p+q=2,求证：P+Q>6.

【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，

解二元一次方程组即可；

（2）写出一组a,b,使得廿-4ac>0即可；

（3）已知4=6=1,贝（Jy=/+x+l.容易得至lj尸+。=〃2+〃+1+/+4+1,利用p+夕=2,即〃

=2-q代入对代数式P+。进行化简，并配方得出尸+Q=2（9-1）2+626.最后注意利

用正钩条件判断4力1，得证.

【解答】解：（1）由题意，得［a+b+l=°,

l4a+2b