专题23.11 图形的变换与坐标（解析版）

专题23.11图形的变换与坐标一、单选题1．已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，按缩小，则点的对应点的坐标为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．【详解】∵以O为位似中心，按1：2缩小△AOB，即把△OAB缩小为原来的，∴点A的对应点的坐标为()或，即(1，2)或(-1，-2)，故选：C．【点睛】本题考查相似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．2．在平面直角坐标系中，，，若把线段扩大倍得线段，若，则的坐标可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据点A的对应点的坐标为（2，4），得到位似中心为坐标原点O，再根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：把线段AB扩大2倍得线段，点A的坐标为（1，2），点A的对应点的坐标为（2，4），∴位似中心为坐标原点O，∵点B的坐标为（4，6），∴点B的对应点的坐标可以是（4×2，6×2），即（8，12），故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．3．在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，将EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（）A．（-2，1） B．（-8，4） C．（-8，4）或（8，-4） D．（-2，1）或（2，-1）【答案】C【分析】若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是或,从而可得答案．【详解】解：∵点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，位似比为1：2将扩大，∴点E的对应点E′的坐标是：（-8，4）或（8，-4）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是或．4．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是2，则与的周长之比为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比．【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，

∵以点C（-1，0）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，点B的横坐标是-2，

∴EC=1，

∵点B的对应点B'的横坐标是2，

∴CF=3，

∵BE//B'F∴，

∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：1：3．

故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确得出位似比是解题的关键．5．如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若与的周长比是，则它们的面积比为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用位似是相似的特殊形式，利用相似的性质可知对应边A′B′与AB之比等于△A′B′C′的周长与△ABC的周长之比为2：3，再根据面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，△A'B'C'的周长与△ABC的周长比是2：3，∴∽，，∴．故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四边形OABC是矩形与四边形ODEF是矩形，可得BC⊥y轴于C，DE⊥y轴于D，可求C（0，4），D（0，2），由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，可得直线BD与直线CE交于M，待定系数法求BD解析式为，CE解析式为，联立方程组，求解即可．【详解】解：∵四边形OABC是矩形与四边形ODEF是矩形，∴BC⊥y轴于C，DE⊥y轴于D，∵点B的坐标为（-2，4），点E的坐标为（1，2），∴C（0，4），D（0，2），∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，∴直线BD与直线CE交于M，设BD解析式为代入点的坐标得，，解得，∴BD解析式为，设CE解析式为代入点的坐标得，，解得，∴CE解析式为，∴，解得，∴M点坐标为（2，0）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，求对应点所在直线解析式，解方程组，熟记两个图形位似必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行是解题关键．二、填空题7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，且相似比k＝．若B（2，1），则点E的坐标是_____．【答案】（6，3）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，相似比k＝，∵点E是点B的对应点，点B的坐标为（2，1），∴点E的坐标为（2×3，1×3），即（6，3），故答案为：（6，3）．【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．8．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，点C在线段OA上，则点C的坐标为___．【答案】（2，1）【分析】根据关于原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标分别乘以，得到C点坐标．【详解】解：∵点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，且A（6，3），∴C点坐标为，即（2，1），故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．9．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为．把缩小，则点的对应点的坐标分别是_____，_____．【答案】(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，分别把A,B点的横纵坐标分别乘以或−即可得到点B′的坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴的对应点A′的坐标是(-1，2)或（1，-2），点B（−9，−3）的对应点B′的坐标是（−3，−1）或（3，1），故答案为：(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．10．如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为线段，其中点与点对应，点与点对应，且在y轴右侧，则点的坐标为________.【答案】【分析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），∴点D的坐标为：，即，故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为（6，0），则点E的坐标是___________．【答案】（9，9）．【分析】根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴，，解得，OD＝9，OF＝9，则点E的坐标为（9，9），故答案为：（9，9）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为__________．【答案】或【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-3，1），C（-2，0），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C′，∴点A的对应点A'的坐标为：（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即（1，-2）或（-1，2）．故答案为：（1，-2）或（-1，2）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．13．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是_____．【答案】（﹣3，0）或（，）【分析】连接HD并延长交x轴于点P，根据正方形的性质求出点D的坐标为（3，2），证明△PCD∽△PGH，根据相似三角形的性质求出OP，另一种情况，连接CE、DF交于点P，根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式，求出两直线交点，得到答案．【详解】解：连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心，∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，2），∴点D的坐标为（3，2），∵DC//HG，∴△PCD∽△PGH，∴，即，解得，OP＝3，∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（﹣3，0），连接CE、DF交于点P，由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），求出直线DF解析式为：y＝﹣x+5，直线CE解析式为：y＝2x﹣6，解得直线DF，CE的交点P为（，），所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（，），故答案为：（﹣3，0）或（，）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续下去，若，则正方形的面积为________．【答案】【分析】根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴，∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴，∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，∵A3B3⊥x轴，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，……则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040，故答案为：24040．【点睛】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．三、解答题15．如图，的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上，，请按要求在方格纸内作图．（1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，使与的位似比为；（2）在图2的格点中标出点，使得与的面积相等，并直接写出点的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析，E1(－1，7)，E2(5，5)．【分析】（1）根据位似图形的性质得出对应点坐标进而画出图形即可；（2）根据面积相等得到高相等，过点A作BC的平行线找格点写出坐标即可．【详解】解：（1）∵A(2，6)，B(0，2)，C(6，0)，且与的位似比为1：2，∴，，，如图所示，即为所求；（2）如图，过点A作BC的平行线，∵与的面积相等，∴的高等于的高，即等于点A到BC的距离，由平行线之间距离处处相等可知，点E1、点E2即为所求，由图可知：E1(－1，7)，E2(5，5)．【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线的性质，熟练掌握位似图形的作法及平行线间距离处处相等是解题的关键．16．如图，四边形的四个顶点的坐标分别是、、，．（1）以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，画出符合要求的位似四边形；（2）在（1）的前提下，写出点A的对应点的坐标（______，______）；（3）在（1）的前提下，如果四边形内部一点M的坐标为，写出M的对应点的坐标（_____，______）．【答案】（1）答案见详解；（2）A′（﹣2，﹣6）；（3）M′（﹣2x，﹣2y）．【分析】（1）连接AO并延长，使OA'＝2OA，延长OB并延长，使OB'＝2OB，延长OC并延长，使OC'＝2OC，连接可得出所求的四边形；（2）根据图形，以及平面直角坐标系找出A'坐标即可；（3）分别找出B'，C'，D'坐标，分别与B，C，D坐标对比归纳总结得到M'坐标即可．【详解】解：（1）做出相应的图形，如图所示；（2）根据题意得：A'（﹣2，﹣6）；（3）根据图形得：B'（﹣4，﹣4），C'（﹣4，﹣2），D'（﹣6，﹣6），归纳总结得到M'（﹣2x，﹣2y）．【点睛】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．17．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．（1）求△A1B1C1与△ABC的相似比；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）设点P为线段BC的中点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是多少？【答案】（1）2；（2）见解析；（3）（﹣4，3）．【分析】（1）计算A1C1：AC的值可得到相似比；（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）先写出P点坐标，再利用关于以原点为位似中心的点的坐标特征得到点P经过位似变换后对应点的P1的坐标为（4，3），然后写P1关于y轴的对称点的坐标即可．【详解】解：（1）∵A1C1＝2，AC＝1，∴A1C1：AC＝2，∴△A1B1C1与△ABC的相似比为2；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）∵C1C，A1A、B1B都经过原点O，∴△A1B1C1与△ABC为位似图形，位似中心为原点，∵点P为线段BC的中点，∴P（2，），∴点P经过位似变换后对应点的P1的坐标为（4，3），∵点P1关于y轴对称的点的坐标为（﹣4，3），∴点P2的坐标是（﹣4，3）．【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了轴对称变换．18．如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．【答案】（1）图见解析，C1（2，﹣2）；（2）图见解析，C2（1，0）；（3）△ACC2是等腰直角三角形【分析】（1）根据关于x轴对称的的点坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）延长B1A1到A2使B1A2＝2B1A1，延长B1C1到C2使B1C2＝2B1C1，从而得到△A2B1C2；

（3）利用勾股定理的逆定理可证明△ACC2是等腰直角三角形．

【详解】解：（1）由题意可得A、B、C三点关于x轴对称的点分别为：（0，-3）、（3，-4）、（2，-2），

给三点标上字母并依次连接即可得到所求作的图形，如下△A1B1C1为所作，由上可得C1（2，﹣2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（1，0）．（3）∵AC2＝12+22＝5，CC22＝12+22＝5，AC22＝12+32＝10，∴AC2+CC22＝AC22，∴△ACC2是等腰直角三角形．【点睛】本题考查图形变换条件下的作图与推理，熟练掌握轴对称、位似等图形变换条件下的坐标特征及勾股定理的逆定理是解题关键．19．如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1，2)、B(−3，0)、C(0，0)．（1）请直接写出点A关于x轴对称的点的坐标；（2）以C为位似中心，在x轴下方作ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并直接写出A1B1C1的面积=；（3）请直接写出：以A，B，C，D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（1）(−1，−2)；（2）见解析，12；（3）D(−2，−2)，(−4，2)，(2，2)【分析】（1）根据轴对称的坐标特征求解；

（2）根据位似图形的意义画出图形，然后根据位似比与面积比的关系求出位似图形的面积；

（3）根据平行四边形的意义可以得解．【详解】解：(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征可得点A′的坐标为(−1，−2)；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；由题意可知△ABC的面积=0.5×3×2=3，∵三角形前后位似比为1：2，∴三角形前后面积比为1：4，∴△A1B1C1的面积=3×4=12；(3)如图，由题意，满足条件的平行四边形第四个顶点有D、E、F三种情况，∵BC=3，∴上图中D为（-1+3，2）即（2，2），上图中E为（-1-3，2）即（-4，2），设上图中F为（x,y），则由题意可得：，∴，解之可得：（舍去），∴F为（-2，-2），综上所述，满足条件的点D的坐标为(−2，−2)，(−4，2)，(2，2).【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称与位似变换的图形特征和性质是解题关键．20．如图，中任意一点经过平移后对应点为．（1）画出作同样的平移后得到的，并写出的坐标；（2）以点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为．并写出的坐标．【答案】（1）△A1B1C1见详解；A1（0，1），B1（1，-2），C1（3，2）；（2）见详解，A2（-1，2），B2（1，-4），