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第1页/共1页莆田市2023届高中毕业班第四次教学质量检测试卷参考答案17.【小问1详解】因为，由正弦定理得，则，又因为，则，得，即，所以.【小问2详解】因为△ABC的面积，即，可得，由余弦定理可得：，即，解得，所以△ABC的周长为.18.【小问1详解】由题意可知：X的可能取值为，则有：，，，所以X的分布列为：故X的期望.【小问2详解】若甲选择从B组中任选2道题，设Y表示甲答对题目的个数，则，所以Y的期望，因为，所以甲应选择B组.19.【小问1详解】连接，在中，由余弦定理，即，则，可得，由题意可得：，则，可得，，平面，则平面，且平面，所以平面平面ABCD．【小问2详解】在△PAB内作，交于点M，因为平面PAB，平面PAB，则，，平面，则平面，如图，以A为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则，解得，即，可得，设平面的法向量，则，令，则，即，由（1）可知：平面的法向量，则，所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.20.【小问1详解】因为.所以，所以.因为，，…，，当时，.因为，所以，又也满足关系，所以，所以.【小问2详解】因为，所以.因为，所以，，，所以.，因为，所以.因为在时单调递增，所以，故.21.【小问1详解】因为，所以．由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．令，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，解得，【小问2详解】由（1）可知，在上单调递减，且，，故，使得．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．因为，，所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点．因为，所以要证，即证，即证．因为，得，所以，故需证即可．令，，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故．即，原不等式即证.22.【小问1详解】设，因为，，所以，．因为，所以．因为，所以双曲线的渐近线方程为．【小问2详解】由（1）知双曲线的方程为，设，．①当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，化简得，则，即，且，因为，化简得，所以或，且均满足．当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点．②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线，联立方程组，得（舍去）或，此时直线过定点．综上

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