2021年黑龙江绥化中考数学试卷

2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷

一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字

母涂黑

1.（2021.绥化）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（）

美丽绥化

A.B.C.D.

1.A

2.（2021•绥化）据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次，把704000000这个

数用科学记数法表示为（）

A.7.04x107B.7.04X109C.0.704x109D.7.04x108

2.D

3.（2021•绥化）如图所示，图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

正面

3.C

4.（2021•绥化）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

Vx+1

A.x>—1B.后-1且#0C.x>—1且J/0D.x^O

4.C

5.（2021•绥化）定义一种新的运算：如果渊）.则有“▲%=晨2+M+I—例，那么（一；）上2的值是（）

33

A.13B.5C.--------D.—

42

5.B

6.（2021•绥化）下列命题是假命题的是（）

A.任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边

B.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等

D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

6.C

1.（2021.绥化）下列运算正确的是（）

A.（a5）2=加B.JC4«A4=X8C.V9=±3D.3-27—6=26

7.B

8.（2021.绥化）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）

A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形

｛答案｝C

9.（2021•绥化）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一.某企业为了解员工某月A,B两种移动支付方

式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A,8两种支付方式都不使用的有10人，样

本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额。（元）分布情况如表：

支付金额。（元）0<o<10001000<a<2000。>2000

仅使用A36人18人6人

仅使用B20人28人2人

下面有四个推断:

①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A,B两种支付方式的为800人;

②本次调查抽取的样本容量为200人；

③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；

④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元.

其中正确的是（）

A.①③B.③④C.①②D.②④

9.4

10.（2021•绥化）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500

箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？

设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（）

6000450060004500

A.------=-----------B.----------=-------

xx+500x-500x

6000450060004500

C.------------------D.-----------............

xx-500x+500x

10.D

11.（2021•绥化）已知在RSAC3中，ZC=90°,/ABC=75。,AB=5,点E为边AC上的动点，点尸为边AB上的

动点，则线段尸E+硝的最小值是（）

C

A

A.述B.-C.V5D.6

22

11.8解析：如图，作点尸关于AC的对称点尸，延长A/、8C交于点8,

...NBA8'=30°,EF=EF.；.FE+EB=BE+EF,；.当B、E、尸三点共线且与AB'垂直时，线段FE+E8的值最

小，即作于。.在△A3。中，BD=-AB=-.

22

12.（2021.绥化）如图所示，在矩形纸片ABC。中，AB=3,BC=6,点、E、尸分别是矩形的边AD、BC上的动点，将

该纸片沿直线EF折叠.使点5落在矩形边A。上，对应点记为点G,点A落在M处，连接EF、BG、BE,EF与

8G交于点N.则下列结论成立的是（）

①BN=AB；

②当点G与点。重合时，£F=—；

2

97

③XGNF的面积S的取值范围是一WSW-；

42

④当CF=—时，S&MEG=—^―.

24

A.①③B.③④C.②③D.②④

12.D解析：①错误.说明A8=3是定值，8N的值是变化的即可；②正确.由S硒BEDF=DE•AB=2BD•EF,利

2

45

用面积法求出E尸即可判断；③错误.求出AGN尸面积的最大值为「，即可判断；④正确，利用勾股定理求出A£=

16

—.进而得SAMEG=1ME•GM=主恒，即可判断.

224

二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域

内.

13.（2021•绥化）在单词相〃版加加ics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“广的概率是.

2

13.一

11

14.（2021・绥化）在实数范围内分解因式：ab2~2a=.

14.a0+72）0-72）

15.（2021♦绥化）一条弧所对的圆心角为135。,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm.

135•万•r

15.40解析：设弧所在圆的半径为r,由题意，得工=27^5X3,解得「=40（cm）.

180

16.（2021•绥化）当工=糜1+3时，代数式（手之一节打一）+二的值是.

x-3xX--6x+9x

16.工解析：解:原式=X2-9x2-x)xx-9.x1

2021Mx-3尸Mx—3)2x-9Mx-3>x-9(x-3)2

当x=&53+3时，原式=_______11

G/2021+3—3淤2021

17.（2021.绥化）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2个A种奖品和4个8种奖品共

需100元；购买5个A种奖品和2个8种奖品共需130元.学校准备购买A,8两种奖品共20个，且A种奖品的

2

数量不小于B种奖品数量的M，则在购买方案中最少费用是元.

17.330解析：设A种奖品的单价为x元，8种奖品的单价为y元，

2升4y=100,x=20,

依题意得<解得

5x+2j=130.y=15.

2

设购买A种奖品个，则购买3种奖品（20—小）个.・・・A种奖品的数量不小于8种奖品数量的g

、2.、40

・・M2-（20—M—.

57

又・・・历为整数，，加26.

设购买总费用为卬元，则卬=20加+15（20—川）=5m+300,・.・5>0,工卬随〃，的增大而增大，

・,.当m=6时，卬取得最小值，最小值=5X6+300=330.

18.（2021.绥化）已知机，〃是一元二次方程/一3犬一2=0的两个根，则'+,=.

mn

3

18.--Or：木题考查了一元二.次方程根与系数的关系,山/〃、n是一元二次方程/一31一2=0的两个根,根据

2

ji774-ni

根与系数的关系可得/〃+九=3,〃〃?=一2,所以一+—=——把力?+小〃z〃的值整体代入计算即可.

mnmn

解：•・）〃、〃是一元二次方程12—3x—2=0的两个根，

A/n+n=3,/n〃=-2,

11n+m3

・・・一+—=-----=一一，

mnmn2

19.（2021・绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是.

19.毡解析:

・・,正六边形的边长为4cm,J正六边形的半径是4cm.，正六边形的外接圆

3

的半径是4cm.:内切圆的半径是正六边形的边心距，.,.GO=OA・sin60（）=Nx4=2j§',...正六边形的外接圆

2

4_26

的半径与内切圆的半径之比为

2百"V

20.（2021.绥化）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称

图形，对称轴MN与线段OE相交于点尸，点。的对应点B恰好落在旷=人（原0,x<0）的双曲线上，点。、E的

X

对应点分别是点。、A.若点A为O£的中点，且砂=1,则k的值为.

20.-24解析：如图，连接03,・・・RdQOE与RlZ\8CA关于MN成轴对称，且OA=AE,由对称性可知，AG=

111

GE,OA—AE—ECf•»AG=-AC.•S&AEF=1，••S^AFG——SAEI——.

422

'：MN!menOD,：.4AFGS/\ABC,：.=（—）2=—：.sAHC=-x16=8.^'：OA=-AC,

S^BCAC16,22

121

/.SAOC=8+4=12,,・,点3在反比例函数y=—的图象上，：.S^OBC=12=-\k\,

25x2

VRO,，4=—24

21.（2021•绥化）在边长为4的正方形A3CD中，连接对角线AC、即，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB

=3PC,则PC=.

｛答案｝1或我或一二+后.

4

｛解析｝如图1,•.•四边形A8CZ）是正方形，48=4,

图1

：.AC±BD,AC=BD,OB=OD,AB=BC=AD=CD=4,ZABC=ZBCD=90°,

在RtZ\ABC中，由勾股定理得:AC=JAB2+8C2=J/+42=4&,：.0B=2母.

'；PB=3PC,二设PC=x,则PB=3x,

有三种情况:.

①点P在8c上时，如图2,

图2

"：AD=4,PB=3PC,：.PC=\;

②点P在AC上时，如图3,

2

在RtZ\BP。中，由勾股定理得:822=8。2+0/，（3x）2=Q及）2+（272-x）

解得：*=总产4（负数舍去），即pc=H；®..

③点P在C。上时，如图4,

图4

在RtZSBPC中，由勾股定理得:8G+PG=BP2,4?+r=（3x）2,解得：*=及（负数舍去），

即PC=y[2;综上，PC的长是1或&或一五+用

4

22.（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③

中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第〃个图形中三角形个数是.

AAA

AAAAAA

A▲A盒A▲▲A.........第〃个图形

AAAAAAAAA

▲AA▲▲AA

①②③④

22.〃2+〃—i解析：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律:

第①个图形：『+0,

第②个图形:22+1,

第③个图形：32+2,

第④个图形:42+3,.

第n个图形：n2+n—1.

故答案为:n2+n—1.

三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.

23.（2021.绥化）（1）如图，已知AABC,P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边4c上求作一点E,使AE+

EP=4C.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在图中，如果AC=6cm,4P=3cm,则AAPE的周长是cm.

23.解:（1）如图，点E即为所求.

（2）9

理由：垂直平分线段PC,

：.EP=EC.

.,.△APE的周长=AP+AE+EP=4P+AE+EC=AP+4C=3+6=9（cm）.

24.（2021・绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，。为

平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线08.

（1）在平面直角坐标系内，以原点。为位似中心，把△04?缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与

△OAB的相似比等于,；

2

（2）将AOAB以O为旋转中心，逆时针旋转90。，得到△048”作出△O4B”并求，出线段OB旋转过程中所形

成扇形的周长.

24.解:⑴如图，△04夕或△A4"8唧为所求.

(2)如图，△048即为所求.

线段OB旋转过程中所形成扇形的周长=2X2屈+&2姮=4拒+J万兀

180

25.(2021•绥化)一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为AABC,

点B、C、D在同一条直线上，测得乙4cB=90。，N4BC=60。，AB=32cm,NBDE=75°,其中一段支撑杆CD=

84cm,另一段支撑杆。E=70c〃z.求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？(用四舍五入法对结果取整数，

参考数据：sinl50~0.26,cosl50~0.97,tanl50=0.27,g=1.732)

E

25.解:方法一:如图1,过点。作。防于M,过点。作rWLSA交A4延长线于N,

在中，ZABC=60°，AB=32(cm),

1

•cos60°=32X—=16(cm).

VDC=84(cm),

：.BD=DC+BC=\00(cm).

VZF=90°,ZDMF=90Q,

：.DM//FN.

AZMDB=ZABC=60Q.

在RtZ\8£W中，NA8C=60°,80=100,

:.DN=BD•sin60=100x也=506(cm)•

2

VZF=90°,NN=90°,ZDMF=90°,

四边形MFN£＞是矩形.

:.DN=MF=50出.

ZBDE=15°,ZMDB=60°,

:・NEDM=NBDE—/MDB=75°-60°=15°.

VDE=10(cm),

AME=DE-sinZEDM=70Xsinl5°^18.2(cm).

.".£F=M£+MF=50^+18.2^104.8^105（cm）.

所以支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm.

图1

方法二:如图2,点。作8A交84延长线于“，过点E作EG-LH。延长线于G,

在RtZXABC中,ZABC=60°,48=32(cm),

1

.\BC=AB•cos60°=32X—=16(cm).

VDC=84(cm),

：.BD=DC+BC=\00(cm).

同方法一，得sin60=100x走=506(cm).

2

•・♦在中，NDBH=60°,

；・NBDH=30°.

VZBDE=75°,

AZ££)G=1800-ZBDH-ZBDE=180°-75°-30°=75°.

AZDEG=90°-75°=15°.

：.DG=DE•sin\5°-18.2(cm).

・・・G〃=QG+QH=18.2+50百比104.84105(cm).

VZF=90°，ZH=90°，NG=90°,

・・・四边形EG”尸是矩形.

/.EF=EG®105(cm)•

所以支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm.

图2

26.（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720

米，先到乙地的人原地休息.已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，

保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不

计）.小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间r（秒）之间的函数图象，如图所示.根据所给信息解决以下

问题.

(1)m—,n—；

(2)求CO和E尸所在直线的解析式；

(3)直接写出/为何值时，两人相距30米.

26.解:(1)由题意，得小刚原来的速度为16+4=4(米/秒),

小亮的速度为720+144=5(米/秒)，

•••小亮从甲地出发，〃秒两人第一次相遇，

(5-4)"7=16.

解得"7=16.

•••两人第二次相遇后，小刚用了国二迎生

秒到达乙地,

4+2

.,,,.720—80x5160

二点E的纵坐标〃=---------X(6-5)

4+2

故答案为：16;-相.

(2)由⑴，得加=16.

80-m

由题意，得点C横坐标为机+=48,纵坐标为(5—4)X(48-16)=32.

2

AC(48,32).

设直线CO的解析式为Sco=kif+",将C(48,32),0(80,0)代入,

4幽+4=32,“］一।

解得

80勺+年=0.仿=80.

二直线CD的解析式为ScD=-r+80(48WW80)

•.•点E横坐标为72*80X5+80=陋,点£纵坐标为〃，m

63

400160

：.E(——，一)

33

设直线EF的解析式为&「=公£+岳，将E,尸两点坐标代入，

400,,,_160

---k\।bi-----fk2=—5,

得3113解得V

与=720.

144k2+b2=0.

直线EK的解析式为Si：F=-5/+720(144)

(3)f为46,50,110,138时，两人相距30米.

-400160、

解析：VB(16,0),C(48,32),0(80,0),E(―,—),

设直线8c的解析式为品0=人+左，将8,C两点坐标代入，得

1468网&+质4==30,2.解得|%=1，

A=-16-

...直线BC的解析式为58c=f—16(16UW48).

设直线OE的解析式为跖£=&/+公，将。，E两点坐标代入，得

8OZ4+4=0'44=1,

400一，160解得，

［丁及+『丁.为=_80.

直线DE的解析式为5/»；=L80(80<W—),

当S=30时,

Ssc=f-16=30,解得/=46;

SCD=-r+80=30,解得f=50;

S0B=r-80=30,解得r=U0；

SEF=-5r+720=30,解得r=138.

综上，，为46,50,110,138时，两人相距30米.

27.(2021•绥化)如图，在—BC中，AB=AC,以A8为直径的。。与3c相交于点。，DELAC,垂足为E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若弦MN垂直于垂足为G,旭=,，求。0的半径；

AB4

(3)在(2)的条件下，当NA4C=36。时，求线段CE的长.

27.解:⑴证明:如图I,连接0£>,

•：OB=OD,：.ZOBD=ZODB.

"：AB=AC,

：.ZABC^ZACB.：.ZODB^ZACB.：.OD//AC.

,：DELAC,

：.DE±OD,：.OD是0。的半径，

是。。的切线.

(2)如图2,连接。M,

且AB为。。的直径，MN=6，:.MG=>MN=昱.

22

设00的半径为r,则OM=r,AB=2r.

AG1.111

,?——=一，：.AG=-AB=-r.：.OG=OA~AG=-r.

AB4422

在中，根据勾股定理得，OG+MGZnOM,

・・.(lr)2+(且「)2=汽

22

Ar=l,即。。的半径为1;

(3)如图3,作NA3C的平分线交4C于R

在△A8C中，AB=AC,NBAC=36°,

・・・/A8C=NC=g(180°-ZBAC)=72°,

AZABF=ZCBF=-ZABC=36°=NBAC,

2

：.AF=BF.

]^AF=BF=x,

在△BC/中，NCBF=36°,ZC=72°,

AZBFC=180°-36°-72°=72°=ZC,

:.BC=BF=x.

由(2)知，。。的半径为1,

：.AB=AC=2,：.CF=AC-AF=2-x,

■:NCBF=/CAB,ZC=ZC,

BCCF

:.AABCFs/AXACB,：.—=—.

ACCB

...x=2^...x=6一i或％=一6一](舍),

2x

：.BC=45-I.

连接AD,

VAB为。O的直径，・•・ZADB=90°.

9：AB=AC,:.CD==BC=2土

22

u：DELAC,：.ZDEC=90°=ZADC.

vzc=zc,

CECD

：./\ADEC<^A/\ADC.:.——=—.

CDCA

V5-1

•CE.七

・b-12

2

.CF-3-下

4

28.（2021.绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△£•€1，中，ZECW=90°,CE=CH,HE的延长线与CD的

延长线交于点尸，点。、B、”在同一条直线上.

(1)求证：XCDE”ACBH；

HB1--孙…

(2)当——二时，求v的值;

HD5FC

(3)当HB=3,HG=4时，求sin/CFE的值.

28.解:(1)证明：；四边形A8CO是正方形，，8C=CO,ZDCB=90°

"：ZECH=90Q,:.NDCB—NBCE=NECH—NBCE,

即NOC£=N8CH,

CD=CB,

在△CDE和△CBH中，-N£)CE=NBCH,

CE=CH,

.♦.△COE丝△CBH(SAS).

(2)由(1)得:：.ZCDE=ZCBH,DE=BH.

；四边形ABC。是正方形，

：.ZCDB=ZDBC=45°.

：.4CDE=4CBH=180°-45°=135°.

:.NEDH=135°-45°=90°.

；BH:DH=1:5,

.•.设则D〃=5a,:.DE=BH=a,

在RtA//DE中,EH=-JDE2+DH2=J/+(5(j)2=726a.

如图1,过C作CM_LEH于M,过。作Z)N_L"/于M则DN〃CM.

,/ZXDEH的面积=-DNXEH=-DEXDH,

22

:.=DN义底==a・5a,.解得DN=鼠羽~a.

2226

Fy____D______c

A

G

|/9Z

,:CE=CH,NEC，=90°,;.CM=-EH=±上a.

22

DN//CM,：.△尸CM,

5726

.FDDN

"~FC~'CMV26一万

------a

2

⑶如图2,过点E作尸E//Z3”交CF于P,过点E作EQLCF于Q.

,：PEHDH,：.ZEPQ=ZBDC=45°.

VZCDE=135",.•./EDQ=45°.

...△PED为等腰直角三角形.

由(1)得:△CDE四△CB”，

：.DE=BH,：.DE=BH=PE=3.

NBHG=NPEF,

在△BHG和△PEFU」，\BH=PE,

NHBG=NEPF,

.,.△BWG^APEF(ASA).:.HG=EF=4.

•••△PEC是等腰直角三角形，.•.&)=0£>E=3及，

]q5

\'EQ±PD,：.QE=-PD^-.

3&

在Rt/\FEQ中，sinZCFE=—=.

EF48

29.（2021•绥化）如图，已知抛物线^=加+公+5（的夕）与x轴交于点4（-5,0）,点8（1,0）（点A在点8的

左边），与y轴交于点C,点。为抛物线的顶点，连接BD.直线y=一£经过点4,且与y轴交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N是抛物线上的一点，当ABOV是以0V为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；

（3）点尸为线段4E上的一点，点G为线段0A上的一点，连接尸G,并延长FG与线段8。交于点”（点，在第

一象限），当NEFG=3N84E且”G=2FG时，求出点尸的坐标.

29.解：⑴将4(-5,0),2(1,0)代入抛物线口=谓+加+5(存0),

25a-5b+5=0,a=~\,

解得

a+h+5=0.Q~4.

抛物线的解析式为y=-4x+5;

(2)•••£>(—2,9),8(1,0)，点N是抛物线上的一点且是以£W为腰的等腰三角形，

,此题有两种情形：

①当£W=£>8时，根据抛物线的对称性，得A与N重合，

：.Ni(-5,0).

②方法一:当£W=8N时(如图1),N在30的垂直平分线上，8。的垂直平分线交于/,交x轴于点BD交

y轴于点K.

设直线DB的解析式为y^kx+b,

9=-2k+h-3,

把。(一2,9),8(1,0)代入，得八,,'解得

O=k+b.b=3.

...直线DB的解析式为y=-3x+3.

.,.K(0,3).:.BK=M.

；NKBO+NOKB=90°,NKBO+N/QB=90°,:.NOKB=NIQB.

QB_Vio

.•.sinZ/QB=—

BQ蕨一记

•.•/是8。的中点，BD=3屈,

.•.皿=晅

2

,19

：.BQ^15..,.2(-14,0),/.

-14%+b=0,

设直线。/的解析式为)，=依+6,代入得,1,,9

——k+b--.

I22

解得

3

114

•••直线Q1的解析式为尸-x+y.

'一§"才‘解得尤=T3土洞

联立，得

尸—X2—4x+5.

.1141—13土JliT,1471土MT

,.y=-xd—=----------—=----------.

3336318

.,-13-V18T71-718?,,-13+718171+7181

-MK(Z---------，--------)x.MK(---------，--------)