2024年高考数学复习：28 离心率归类训练（原卷版）

28离心率【题型一】判断横放竖放求参【典例分析】已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．2 C．或2 D．或【经验总结】依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面：通过讨论，确定焦点在x轴还是在y轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑【变式演练】1.已知双曲线的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是（）A． B． C． D．2.已知曲线C：的离心率，则实数m值为（）A．6 B．-6 C． D．3.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【题型二】直接法【典例分析】椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【经验总结】直接利用椭圆和双曲线的定义和基础性质求离心率离心率的公式：椭圆；双曲线【变式演练】1.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（）A． B． C． D．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中､分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（）A． B． C． D．3.设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．【题型三】补连另一焦点利用定义【典例分析】已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【经验总结】椭圆和双曲线，与一个焦点有关，思维上优先连接另一焦点，分析是否能借助定义解决。【变式演练】1.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（

）A． B． C． D．2.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．3.设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【题型四】余弦定理1：基础型【典例分析】已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【经验总结】一般情况下，焦点三角形，可以构造余弦定理。【变式演练】1.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2.设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【题型五】余弦定理2：勾股定理用两次【典例分析】如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【经验总结】焦点三角形或者焦点弦，有垂直（或者在圆上）可以构造勾股定理，特别是焦点弦，俩交点，可以构造两个勾股定理。【变式演练】1.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．2.已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（

）A． B．2 C． D．3.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【题型六】余弦定理3：余弦定理用两次【典例分析】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【经验总结】焦点弦俩交点，可以分开为两次构造余弦定理【变式演练】1.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（

）A． B． C． D．3.．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（

）.A． B．C． D．【题型七】中点型【典例分析】已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【经验总结】中点型可以点差法，，点代入法计算【变式演练】1.已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．22.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（）A．2 B． C． D．3.已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【题型八】多曲线交点1：和抛物线【典例分析】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【变式演练】1.已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2.椭圆N的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点，，则椭圆N的离心率为（

）A． B． C． D．3.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【题型九】多曲线交点2：与圆【典例分析】已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【变式演练】1.如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2.已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(

)A． B． C． D．23.已知，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形的周长C与面积S满足则该双曲线的离心率的平方为（

）A． B． C． D．【题型十】多曲线交点3：双曲线和椭圆【典例分析】已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A． B． C．2 D．2.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则A． B．C． D．3.已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为A． B． C． D．【题型十一】双曲线特性1：渐近线【典例分析】已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，且平分，则的离心率为(

)A．2 B． C．3 D．2.已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【题型十二】双曲线特性2：内心【典例分析】已知双曲线，直线与C交于A、B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为（

）.A． B． C． D．【变式演练】1.设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2.已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．【题型十三】难点1：借助向量构造【典例分析】已知双曲线的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（

）2.椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3.已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（

）．A． B． C． D．【题型十四】难点2：小题大做型【典例分析】已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（

）