2024年高考数学复习：26 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型(原卷版)

26圆锥曲线压轴大题【题型一】五个方程题型框架【典例分析】已知圆C经过两点A(2，2)，B(3，3)，且圆心C在直线x－y+1=0上.（1）求圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+1与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，求|MN|的值.【经验总结】“五个方程”（过去老高考对韦达定理型的直观称呼。）参考【典例分析】一直一曲俩交点。直线有没有？是那种未知型的？已知过定点。则可设为，同时讨论k不存在情况。如3.曲线方程有没有？俩交点：设为4.联立方程，消y或者消x，建立一元二次方程，同时不要忘了判别式或者得到对应的韦达定理或目标，就是把题中问题转化为第六个关于韦达定理的方程或者不等式，代入求解【变式演练】1.椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.（1）当P为椭圆C的上顶点时，求；（2）若，求满足条件的点P的个数；（直接写答案）（3）直线与椭圆C交于A，B，若，求k.2.已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．3.设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.【题型二】直线设法【典例分析】已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点.（1）求抛物线的焦点坐标及准线方程；（2）证明：以线段为直径的圆过原点.【经验总结】如果所过定点在x轴上，为（m，0），也可以设为，此时包含了斜率不存在的情况，但是反而不包含x轴这条直线。【典例分析】把两种设法都展示出来供参考。选择不同直线的设法，是因为：1.避免对k不存在情况讨论，可以把k不存在的情况包含在里边。2.两种直线形式设法，有时候在计算中可以降低参数的计算量：如过点（1,0）直线，设成与代入到圆锥曲线中，明显的后边这种设法代入计算时要稍微简单点。3.2011年以来，最早出现这种设直线法的高考题是2012年的重庆试卷压轴大题，教师授课时可搜集补充教学。4.授课时，如有可能，尽量把两种设法，都让学生同时做做，做个对比，既能看出这种设法在某些试题中的计算优势，又不过分拔高这种设法的效果。如【典例分析】。建议授课时，把班里学生分为两组，每组挑出一个代表上讲台演版分别用着不同方法做这道题。【变式演练】1.已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设过点（0，-1)直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2.已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.3.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程【题型三】双变量直线核心理解【典例分析】已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．【经验总结】当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。（1）（2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。（3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。（4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。【变式演练】1.在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.2.已知抛物线的准线方程为.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线相交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：为常数，并求出此常数.3.已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.(=1\*ROMANI)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(=2\*ROMANII)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.【题型四】直线过定点【典例分析】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【经验总结】直线过定点：1、直线多为y=kx+m型2.目标多为求：m=f（k）3.一些题型，也可以直接求出对应的m的值，如本小专题【变式演练】第3题【变式演练】1.已知椭圆两点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．2.在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.3.已知椭圆C：（）的上顶点与右焦点连线的斜率为，C的短轴的两个端点与左、右焦点的连线所构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的标准方程．（2）已知点，若斜率为k（）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当直线AP，BP的倾斜角互补时，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．【题型五】圆过定点【典例分析】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为､，点为椭圆上的动点，当点为短轴顶点时，△的面积为，椭圆短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过定点且与椭圆交于不同的两点，，点是椭圆的右顶点，直线，分别与轴交于､两点，试问：以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【经验总结】圆过定点，有常见几方面的思维利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算利用对称性，可以猜想出定点，并证明。通过推导求出定点（难度较大）【变式演练】1.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．2.已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3.已知抛物线的焦点F与椭圆C：的一个焦点重合，且点F关于直线的对称点在椭圆上．求椭圆C的标准方程；过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【题型六】面积的几种求法【典例分析】已知抛物线关于轴对称，且过点（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的方程【经验总结】圆锥曲线中求面积常规类型（1）(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。【变式演练】1.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.（1）求AB弦长；（2）求△FAB的面积.2.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点的直线与抛物线分别交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.3.已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.【题型七】面积最值【典例分析】已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.【经验总结】面积最值，实际上是处理最终的“函数最值”。各类型“函数式”最值规律：分式型：以下几种求最值的基本方法一元二次型：注意自变量取值范围高次型：整体换元或者求导【变式演练】1.已知椭圆C：=1(a>b>0)的焦点F在直线上，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若O为坐标原点，过点M(0，2)作直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值.2.已知点是已知椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，面积达到最大，且最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的取值范围.3.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆上焦点，且与直线相切．（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．【题型八】定值【典例分析】已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．【经验总结】求定值问题常见的思路和方法技巧：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题【变式演练】1.已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.（1）求双曲线C的方程；（2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；（3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.2.已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点．（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值．3.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，．求证：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．【题型九】最值与范围【典例分析】已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（）求双曲线的方程；（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．【经验总结】求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意注意变量的范围。式子转化为求值域或者求最值的专题复习【变式演练】1.已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围.2.已知双曲线C的方程为（），离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线交曲线于两点，求的取值范围.3.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，△的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q，是否存在点，使得?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.【题型十】第六个方程的积累【典例分析】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点且与平行的直线与椭圆交于点.求的值.【经验总结】在一直一曲五个方程（韦达定理代入型）题型中，主要的难点在于怎么转化出“第六个方程”。具有明显的可转化为韦达定理特征的。属于较容易的题。隐藏较深的条件，需要用一些技巧，把条件转化为点坐标之间的关系，再转化为韦达定理。没有固定的转化技巧，可以在训练中积累相关化归思想。【变式演练】1.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别