华东理工大学概率论与数理统计课件第六章

第6章参数估计期望与方差的点估计期望、方差的区间估计点估计法6.1点估计标准一:无偏性

设为θ的一个点估计,若则称为θ的一个无偏估计.注意无偏估计若存在，则可能不唯一.衡量估计量好坏的标准:标准三:相合性(一致性)

设统计量是未知参数的点估计量,样本容量为n,

若对任意

则称为的相合估计,又称一致估计.标准二:有效性

设和是的两个无偏估计,若

称比更有效例1：

设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,验证下列μ的估计量哪个更有效.解=EX=μ=DX/2=σ2/2同理所以为无偏估计量,更有效.例2：验证:是总体X方差的一个无偏估计;不是方差的无偏估计.解=DX所以,S2为DX的无偏估计量.ES2=DX,故所以,不是DX的无偏估计量.1.矩估计法将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数的点估计的方法.6.1点估计例

设总体,为取自该总体的样本,

求未知参数θ的矩估计量.解所以参数θ的矩估计量为无偏估计例

设总体的概率密度函数为

为取自该总体的样本.求(1)未知参数的矩估计量;(2)解(1)所以参数θ的矩估计量为例:设总体X~U(a,b),X1,X2,…,Xn为取自该总体的样本,求a,b的矩估计量.解因为所以令得方程组解得(1)似然函数(样本的联合密度函数)

设总体X为连续型，X～f(x;θ1,θ2,…θm),θi为待估参数(i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的样本,则Xi～f(xi;θ1,θ2,…θm),(i=1,2,…,m)（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为(似然函数)2最大似然估计法

例

X~E(λ),即则矩估计设总体X为离散型,P(X=x)=P(x;θ1,θ2,…θm),θi为待估参数(i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的s.r.s,则P(Xi=xi)=P(xi;θ1,θ2,…θm),(i=1,2,…,m)（X1,X2,…,Xn）的联合概率函数为(似然函数)例

X~P(λ),即矩估计(2)基本思想:最大似然估计就是通过样本值来求得总体的分布参数,使得取值为的概率最大.若似然函数在取到最大值,则称分别为的最大似然估计.最大似然估计:(3)方法与步骤:设总体的分布密度(或概率密度)其中是待估参数.

①写出似然函数(即样本的联合密度函数)②写出对数似然函数（对似然函数取对数）③写出似然方程④求解似然方程并写出估计量(只有一个待估参数时求)例

设总体其中,

()是未知参数,已知有样本观测值-1，0，0，0，0，1，1，1。(1)求

的矩法估计值；（2）求

的极大似然估计值。-101

的概率分布为例:X~N(μ,σ2),求参数μ,σ2的最大似然估计.解注意:不是无偏估计.例:设X服从[0,θ]区间上的均匀分布,参数θ>0,求θ的最大似然估计.解由题意得:无解.基本方法失效.要使L取值最大,θ应最小,而取此时,L取值最大,所以,最大似然估计为应用最大似然估计基本思想:L越大,样本观察值越可能出现.矩估计量为矩估计量为例

求参数为p的0-1分布的最大似然估计.解P(X=0)=1-pP(X=1)=pP(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1)P(X=x)=px(1-p)1-x解得最大似然估计为注意:为p的无偏估计量.例

设总体X～解由题意得:当时，所求最大似然估计为其中是未知参数.是来自总体的一个容量为n的s.r.s,求的最大似然估计所以另一方面故设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的s.r.s,如果能够找到两个统计量,使得随机区间包含达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参数的区间估计.即当成立时,

称概率为置信度或置信水平;

称区间是的置信度为的置信区间;

分别称为置信下限和置信上限.6.3区间估计的定义

①选择包含μ的分布已知函数:②构造Z的一个1-a区间：

③μ的1-α置信区间:设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn

为一组样本，

(1)σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间即1.单正态总体数学期望的区间估计

α/2

α/2Xφ(x)1-αZ1-α/2P(|Z|<λ)=1-α1-α/2例:设正态总体的方差为1,根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5,求总体均值的置信度为0.95的置信区间.解已知σ2=1,α=0.05,求μ的1-α置信区间：设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn

为一组样本，

(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间

①从点估计着手构造变量:②构造T的一个1-α区间:

③μ的1-α置信区间:Xf(x)α/2α/21-α例:某种零件的重量服从正态分布.现从中抽取容量为16的样本,其观测到的重量(单位:千克)分别为4.8,4.7,5.0,5.2,4.7,4.9,5.0,5.0,4.6,4.7,5.0,5.1,4.7,4.5,4.9,4.9.需要估计零件平均重量,求平均重量的区间估计,置信系数是0.95.解未知σ2,α=0.05,求μ的1-α置信区间:应用t分布,需要计算Xf(x)

①构造枢轴变量:②构造Q的一个1-α区间:③解不等式得到σ2的1-α置信区间: