河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第三章第3节一次函数的应用

第三节一次函数的应用【课标要求】☆结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式．☆能用一次函数解决简单实际问题．【教材对接】人教：八下第十九章P94～101；冀教：八下第二十一章P99～105；北师：八上第四章P89～96.一次函数的实际应用1．用一次函数解决实际问题的一般步骤：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过列方程(组)用待定系数法求一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)检验所求解是否符合实际意义；(6)作答．2．常见的类型(1)文字型问题：从题干中提取两组有关量(自变量和因变量)作为一次函数图象上两点，应用待定系数法求出解析式．对于阶梯收费问题，注意选取的关系量应是同一标准的．(2)表格型问题：分析表格中数据，从表格中提取两组量求函数解析式．(3)图象型问题：从函数图象上找出两点，找到其坐标代入求解析式；若函数图象为分段函数，注意要取同段函数图象上的两点，依此方法分别求各段函数图象的解析式，最后不要忘记加上对应的自变量取值范围．注意：①对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为：根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一件事物的取值范围，再根据另一件事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．②方案选取问题：一般题中含有两种函数解析式．a．根据解析式分类讨论，比较两个方案在不同取值下的最优结果；b．根据题意列不等式求出自变量的取值范围，然后选取符合题意的自变量的取值范围，分别代入两个一次函数解析式中比较，设计或选择最优方案．【方法点拨】求最值(最优方案)问题，解法有两种：(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第(2)种方法更简单快捷．【基础练】(1)随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36(kPa)时，y＝108(g/m3)，请写出y与x的函数关系式y＝3x．(2)(2021·河北模拟)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380m的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．施工时间/天123456789累计完成施工量/m3570105140160215270325380下列说法错误的是(D)A.甲队每天修路20mB.乙队第一天修路15mC.乙队技术改进后每天修路35mD.前七天甲、乙两队修路长度相等eq\a\vs4\al(文字型问题)【例1】(2021·石家庄模拟)某旅游团乘坐旅游中巴车以50km/h的速度匀速从甲地到相距200km的乙地旅游．行驶了80km时，车辆出现故障，与此同时，得知这个情况的乙地旅行社立刻派出客车以80km/h的速度前来接应．相遇后，旅游团用了18min从旅游中巴换乘到客车上，随后以v(km/h)的速度匀速到达乙地．设旅游团离开甲地的时间为x(h)，旅游中巴车距离乙地的路程为y1(km)，客车在遇到旅游团前离开乙地的路程为y2(km).(1)若v＝80km/h，①y1与x的函数表达式为______________________________________________；②求y2与x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)设旅游团从甲地到乙地所用的总时间为T(h)，求T(h)与v(km/h)的函数关系式(不写v的取值范围)；(3)旅游团要求到达时间比按原来的旅游中巴正常到达乙地的时间最多晚1h，问客车返回乙地的车速至少为每小时多少千米？【解题思路】(1)①根据题意求出车辆出现故障时的x的值，列出y1与x的函数表达式即可；②求出客车到达故障地时x的值，列出y2与x的函数表达式即可；(2)旅游团从甲地到乙地所用的总时间为T(h)＝车辆出现故障时的x的值＋18min＋客车到达故障地时x的值＋返回乙地的时间，列式化简即可求解；(3)求出原来的旅游中巴正常到达乙地的时间，代入(2)中的函数关系式求解即可解答．【解答】解：(1)①y1＝200－50x(0≤x≤eq\f(8,5))；②eq\f(200－80,80)＝eq\f(3,2)(h)，即客车用eq\f(3,2)h到达故障地，∴x＝eq\f(8,5)＋eq\f(3,2)＝eq\f(31,10)(h).∴y2＝80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))＝80x－128(eq\f(8,5)≤x≤eq\f(31,10))即y2＝80x－128(eq\f(8,5)≤x≤eq\f(31,10))；(2)T＝eq\f(8,5)＋eq\f(3,2)＋eq\f(18,60)＋eq\f(200－80,v)＝eq\f(120,v)＋eq\f(17,5)，即T＝eq\f(120,v)＋eq\f(17,5)；(3)原来的旅游中巴正常到达乙地的时间为200÷50＝4(h)，则现在最多用4＋1＝5(h)，当T＝5时，eq\f(120,v)＋eq\f(17,5)＝5.解得v＝75.答：客车返回乙地的车速至少为每小时75km.1．(2021·保定顺平县一模)学校计划拿出一笔钱给一些班级配置篮球和排球．若给每班1个篮球和2个排球，花完这笔钱刚好配置30个班；若给每班2个篮球和1个排球，花完这笔钱刚好配置20个班．设每个篮球a元，每个排球b元．(1)用含b的代数式表示a；(2)现在给每班x个篮球和y个排球，花完这笔钱刚好配置10个班．①求y与x的函数解析式；②怎样的配置方案，可以使每班配置的排球最少？解：(1)由题意，得30(a＋2b)＝20(2a＋b).化简，得a＝4b；(2)①由题意，得30(a＋2b)＝10(xa＋yb)[或20(2a＋b)＝10(xa＋yb)].把a＝4b代入上式，化简得y＝－4x＋18；②∵y＝－4x＋18，－4＜0，∴y随x的增大而减小．又x，y都是正整数，∴当x＝4时，y最小＝2.∴给每个班4个篮球和2个排球，可以使每班配置的排球最少．eq\a\vs4\al(表格型问题)【例2】(2021·石家庄一模)某市在全体居民居家封闭期间，需从甲、乙两家超市紧急调配生鲜食品供应A，B两个小区．已知甲、乙超市现存生鲜食品分别是200kg和300kg，A，B两个小区分别急需生鲜食品240kg和260kg，所需配送费如下表中的数据．设从乙超市送往A小区的生鲜食品为xkg.配送费/(元/kg)A小区B小区甲超市0.20.25乙超市0.150.18(1)甲超市送往B小区的生鲜食品为________kg(用含x的式子表示)；(2)求当甲、乙两个超市配送费相等时，x的值；(3)设甲、乙两个超市的总配送费是y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解题思路】(1)从乙超市送往A小区的生鲜食品为xkg，A小区急需生鲜食品240kg，可得甲超市运往A小区的生鲜食品是(240－x)kg，则甲超市运往B小区的生鲜食品是[200－(240－x)]kg；(2)分别用x的代数式表示甲、乙两个超市的配送费，列方程即可解得x的值；(3)根据(2)列出的方程，由配送的生鲜食品质量为非负数即可得自变量的取值范围．【解答】解：(1)(x－40)；(2)当甲、乙两个超市配送费相等时，列方程，得0．2(240－x)＋0.25(x－40)＝0.15x＋0.18(300－x).解得x＝200.∴当甲、乙两个超市配送费相等时，x的值是200；(3)由(2)，得y＝0.2(240－x)＋0.25(x－40)＋0.15x＋0.18(300－x)，化简，得y＝0.02x＋92.∵配送的生鲜食品质量为非负数，∴自变量x的取值范围是40≤x≤240.∴y＝0.02x＋92(40≤x≤240).2．某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200kg.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800kg，乙养殖场每天最多可调出900kg，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表：到超市的路程/km运费/(元/kg·km)甲养殖场2000.012乙养殖场1400.015设从甲养殖场调运鸡蛋xkg，总运费为W元．(1)试写出W与x的函数关系式；(2)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？解：(1)由题可得，从乙养殖场调运了(1200－x)kg鸡蛋．根据题意，解得300≤x≤800.总运费W＝200×0.012x＋140×0.015×(1200－x)＝0.3x＋2520(300≤x≤800)；(2)∵W随x的增大而增大，∴当x＝300时，W最小＝0.3×300＋2520＝2610(元).答：每天从甲养殖场调运300kg鸡蛋，从乙养殖场调运900kg鸡蛋，总运费最省为2610元．eq\a\vs4\al(图象型问题)【例3】随着“低碳环保，绿色出行”的理念深入人心，越来越多的人选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时骑车去图书馆，爸爸先以150m/min的速度骑行一段时间，休息了5min，再以mm/min的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人骑行的路程y(m)与时间x(min)的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题：(1)填空：a＝________，b＝________，m＝________；(2)求线段BC所在直线的解析式；(3)若小军的速度是120m/min，求小军第二次与爸爸相遇时距图书馆的距离．【解题思路】(1)根据爸爸的速度和行驶的路程可求出a的值，然后用a＋5即可得到b的值，利用路程除以时间即可得出m的值；(2)根据(1)中的结果和图象中的数据利用待定系数法求得线段BC所在直线的解析式；(3)由题意得出直线OD的解析式，与直线BC的解析式联立求出交点坐标，再用总路程减去交点纵坐标即可得出答案．【解答】解：(1)10；15；200；[由图象可得，a＝1500÷150＝10，b＝10＋5＝15，m＝(3000－1500)÷(22.5－15)＝1500÷7.5＝200.](2)设线段BC所在直线的解析式为y＝kx＋c.将点B(15，1500)，C(22.5，3000)代入上式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋c＝1500，22.5k＋c＝3000.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝200，c＝－1500.))∴线段BC所在直线的解析式为y＝200x－1500；(3)∵小军的速度是120m/min，∴线段OD所在直线的解析式为y＝120x.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝120x，y＝200x－1500.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18.75，y＝2250.))∴3000－120×18.75＝750(m).∴小军第二次与爸爸相遇时距图书馆的距离是750m．3．(2021·石家庄模拟)甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案：甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是(D)A.甲园的门票费用是60元B.草莓优惠前的销售价格是40元/kgC.乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折D.若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同4．(2021·邯郸模拟)甲、乙两地间有一条高速公路．一辆小轿车从甲地出发匀速开往乙地，同时一辆货车从乙地出发匀速开往甲地．设货车行驶的时间为x(h)，图中的折线表示货车与小轿车之间的距离y(km)与x(h)之间的函数关系，根据图象回答下列问题．(1)甲、乙两地之间的距离为________km，小轿车的速度为________km/h；(2)求两车相遇后y(km)与x(h)之间的函数关系式；(3)求货车出发多长时间时，两辆车之间的距离为675km.解：(1)900；150；(2)货车的速度为900÷12＝75(km/h).则点B的横坐标为900÷(150＋75)＝4，即点B的坐标为(4，0).则点C的纵坐标为(150＋75)×(6－4)＝450，即点C的坐标为(6，450).设BC段对应的函数解析式为y＝kx＋b，则即BC段对应的函数解析式为y＝225x－900.设CD段对应的函数解析式为y＝mx＋n，则即CD段对应的函数解析式为y＝75x.综上可得，两车相遇后y(km)与x(h)之间的函数关系式是(3)设货车出发th时，两辆车之间的距离为675km.相遇前：900－675＝(75＋150)t，解得t＝1；相遇后：75t＝675，解得t＝9.∴货车出发1h或9h时，两辆车之间的距离为675km.一次函数的实际应用(5年3考)1．(2019·河北中考)长为300m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进．如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为S头(m).(1)当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围)；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲(m)，求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)；(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．解：(1)①排头走的路程为2tm，则S头＝2t＋300；②甲从排尾赶到排头时，有4t＝2t＋300.解得t＝150.此时，S头＝2×150＋300＝600.甲从排头返回的时间为(t－150)s，则S甲＝600－4(t－150)＝－4t＋1200；(2)设甲从排尾赶到排头用时为t1(s)，则2vt1＝vt1＋300.∴t1＝eq\f(300,v).设甲返回到排尾用时为t2(s)，则t2＝eq\f(300,2v＋v)＝eq\f(100,v).∴T＝t1＋t2＝eq\f(400,v).∴队伍行进的路程是Tv＝eq\f(400,v)·v＝400(m).2．(2020·河北中考)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(cm)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.(1)求W与x的函数关系式；(2)如图，选一块厚度为6cm的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(cm)，Q＝W厚－W薄．①求Q与x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]解：(1)由题意，可设W＝ax2.当x＝3时，W＝9a＝3.∴a＝eq\f(1,3).∴W与x的函数关系式为W＝eq\f(1,3)x2；(2)①由(1)可得Q＝W厚－W薄＝eq\f(1,3)(6－x)2－eq\f(1,3)x2＝eq\f(1,3)(x2－12x＋36－x2)＝－4x＋12，即Q与x的函数关系式为Q＝－4x＋12；②由题意，得－4x＋12＝3×eq\f(1,3)x2.解得x1＝2，x2＝－6(舍去).∴当x＝2时，Q是W薄的3倍．3．(2021