多项式杨亲福

數學單元:多項式

任課教師:彭于玲

授課班級:高一丙

日期:94.12.27

準備好,上課了!多項式(一)多項式之定義(二)多項式的四則運算(三)餘式定理與因式定理(一)多項式之定義f(x)= ……其中n

為正整數或零：an，an-1，…，a1，a0為實數。(1)

ak為多項式f(x)

中k次項的係數，a0為多項式f(x)

的常數項。(2)當an≠0時，稱為f(x)

的領導係數，此時n

為f(x)

的次數，以符號degf(x)=n

表示。若an=an-1=…….…=a1=0，a0≠0即f(x)=a0

稱為零次多項式。 若an=an-1=……….…=a1

=a0=0，即f(x)=

0

稱為零多項式。這兩種統稱為常數多項式。設多項式f(x)=(a-5)x3+2x2+3x+5(1)若a=5(2)若a≠5，分別求此多項式的次數(1)a=5，∴f(x)=2x2+3x+5，degf(x)=2(2)a

≠5，∴a-5≠0，degf(x)=3若f(x)=(a+2)x2+(b-3)x+(c-2)為零次多項式，求a、b、c的值。∵

f(x)為零次多項式∴a+2=0，b-3=0，c-2≠0=>a=-2，b=3，c

≠2降冪排列

我們將多項式的每一項按照X次方之順序，由大到小排列，稱為降冪排列。Ex.

f(x)=x3+

2x2-

3x

+

5升冪排列

我們將多項式的每一項按照x

次方之順序，由小到大排列，稱為降冪排列。Ex.f

(x)=

5

-

3x

+

2x2

+

x3多項式的值

多項式f(x)中，若指定一實數a為變數

x的值，則所得的結果稱為當x=a

時，這個多項式的值，以f(a)表示。設f(x)=4x2-5x4+2–3x+x5+6x3，試以降次和升次排列之。(1)f(x)=x5-5x4+6x3+4x2-3x+2(降次)(2)f(x)=2–3x+4x2+6x3-5x4+x5(升次)設

f(x)=x3+2x2–3x+5，試求f(2)的值。

f(2)=23+2×22-2×3+5=8+8-6+5=15設多項式f(x)=4x2+6x+k，若f(1)=3，求：(1)k的值 (2)f(-2)的值(1)f(1)=4×12+6×1+k=3=>4+6+k=3=>k=-7(2)f(-2)=4×(-2)2+6×(-2)-7 =16-12-7=-3(二)多項式的四則運算1.多項式的加減法同類項：單項式中，變數與次數均相同者， 叫做同類項。例如：-3x2，2x2為同類項，2x5，2x3不為同 類項，3x2，3y2亦不為同類項，因為 變數不同。多項式加減法唯一規則：同類項才可相加減。兩多項式和與差的次數不會大於原來的次數。

(6x3-2x+1)-(2x2+x+6)=?(1)橫式計算法：原式=

6x3-2x+1-2x2-2x-6 =6x3–2x2–(2+1)x+(1-6) =6x3–2x2–3x-5(2)直式計算法：

6x3-2x+1

-)2x2+x+66x3-2x2-3x

-5(3)分離係數法：同直式計算法，但不寫出變數x

遇缺項即補0

。

6+0–2+1

-)2+1+66–2-3-5設f(x)為多項式，且(-x2–5x

-4)+f(x)=-2x2+3x+5

，求

f(x)=?(-x2–5x

-4)+f(x)=-2x2+3x+5f(x)=(-2x2+3x+5)–(-x2–5x

-4)=-2x2+3x+5+x2+5x+4=-x2+8x+92.多項式的乘法兩多項式f(x)= +…+ g(x)= +…+其乘積f(x)．g(x)= +…+若f(x)，g(x)都不是零多項式，則deg(f(x)．g(x))=degf(x)+degg(x)求f(x)=x2+4x–6與g(x)=3x–7的乘積f(x)‧g(x)。f(x)‧g(x)=(x2+4x–6)(3x–7)=(x2+4x–6)‧(3x)+(x2+4x–6)‧(-7)〔分配律〕

=(3x3+12x2-18x)+(-7x2-28x+42)〔分配律及指數律〕=3x3+5x2–46x+42〔多項式相加〕

【另解】計算過程有時也會用直式來寫：有一個長方形盒子，其長、寬、高分別為(x+2)、(x-2)、(2x-1)公分，試以x的多項式表示盒子的體積，並求當

x=4時，此盒子的體積。長方形體積=長×寬×高

=(x+2)×(x-2)×(2x-1)=(x2-4)(2x-1)=2x3-x2–8x+4∴體積的多項式f(x)=2x3-x2–8x+4(2)當x=4時，

f(4)=2×43–42-8×4+4 =128-16-32+4=84(cm3)利用分離係數法求(x2+1)(4-

x+2x2)令f(x)=x2+1=1x2+0‧x+1g(x)=4-x+2x2=2x2-x+4則∴(x2+1)(4-

x+2x2)=2x4–x3+6x2–x+43.多項式的除法多項式除法定理設

f(x)，g(x)為任意兩個多項式，且g(x)不為零多項式，則恰有一組多項式q(x)和r(x)滿足：f(x)=g(x)‧q(x)+r(x)其中r(x)=0或r(x)的次數小於g(x)的次數，(degr(x)<degg(x))

1.若除式為x–b，則用

b

運算綜合除法。2.若除式為x+b，則用–b

運算綜合除法。3.若除式為ax+b，則用運算綜合除法，所得之商式除以

a，即為原欲求之商式，所得之餘式即為欲求之餘式。4.若除式為ax–b，則用運算綜合除法，所得之商式餘以a，即為原欲求之商式，所得之餘式即為欲求之餘式。以2x-1除2x3+5x2+x

-2仿照數的除法：所以(2x3+5x2+x

-2)÷(2x-1)=x2+3x+2如果利用分離係數法，則演算式為：設f(x)=x5-3x4+6x3-10x+5，且g(x)=x2-3x+1，試求f(x)÷g(x)的商式及餘式。我們用分離係數法解之：商式q(x)=x3+5x+15、餘式r(x)=30x–10degr(x)=1<degg(x)=3求x-1除3x4+x+1的商式和餘式。首先，先注意下面演算式中用圓圈起來的四個數：、、、綜合除法的演算方式:(令除式為零,求出x=1來除之)求(3x3-11x2+18x-3)÷(3x+2)的商式和餘式。則商式q(x)= =

餘式r(x)=(三)餘式定理與因式定理1、餘式定理餘式定理多項式

f(x)

除以

x–

a

的餘式為

f(a)設

a≠0，多項式

f(x)

除以

ax–b

的餘式為

f(a)通常遇到數字很大的式子時，使用綜合除法會比餘式定理更快得到餘式。求(x3+3x2-x+4)÷(x+3)的餘式。設f(x)=x3+3x2–x+4，則由餘式定理知所求餘式為：f(-3)=(-3)3+3‧(-3)2–(-3)+4=-27+27+3+4=7求(4x2+x-5)÷(2x+1)的餘式。設f(x)=4x2+x-5，則由餘式定理知所求餘式為：求(359x5+697x4-38x3+13x2+27x+49)÷(x+2)的餘式。

此題若使用餘式定理將x=–2代入被除式，將會遭遇數字太大不易計算之問題，所以我們