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文档简介
江西上饶市2025届数学高二上期末检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在空间四边形OABC中,,,,点N为BC的中点,点M在线段OA上,且OM=2MA,则()A. B.C. D.2.中国古代有一道数学题:“今有七人差等均钱,甲、乙均七十七文,戊、己、庚均七十五文,问戊、己各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,所分得的钱数构成等差数列,甲、乙两人共分得77文,戊、己、庚三人共分得75文,则戊、己两人各分得多少文钱?则下列说法正确的是()A.戊分得34文,己分得31文 B.戊分得31文,己分得34文C.戊分得28文,己分得25文 D.戊分得25文,己分得28文3.已知,是双曲线的左、右焦点,点A是的左顶点,为坐标原点,以为直径的圆交的一条渐近线于、两点,以为直径的圆与轴交于两点,且平分,则双曲线的离心率为()A. B.2C. D.34.已知函数,则满足不等式的的取值范围是()A. B.C. D.5.设是可导函数,当,则()A.2 B.C. D.6.若数列是等比数列,且,则()A.1 B.2C.4 D.87.已知点,是椭圆:的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,且,则的离心率为()A. B.C. D.8.已知直线与直线垂直,则实数()A.10 B.C.5 D.9.若函数单调递增,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.10.直线x﹣y+3=0的倾斜角是()A.30° B.45°C.60° D.150°11.如图,在直三棱柱中,,,E是的中点,则直线BC与平面所成角的正弦值为()A. B.C. D.12.某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则等于()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在区间上随机取1个数,则取到的数小于2的概率为___________.14.过点作圆的切线,则切线方程为______.15.如图,一个小球从10m高处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的,若已知小球经过的路程为,则小球落地的次数为______16.已知直线,圆,若直线与圆相交于两点,则的最小值为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,,且,(1)求证:平面平面;(2)若是等边三角形,底面是边长为3的正方形,是中点,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知椭圆经过点,左焦点为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若是椭圆的右顶点,过点且斜率为的直线交椭圆于两点,求的面积.19.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,过右焦点作直线交于,其中的周长为的离心率为.(1)求的方程;(2)已知的重心为,设和的面积比为,求实数的取值范围.20.(12分)已知抛物线的焦点为,直线与抛物线的准线交于点,为坐标原点,(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线交于,两点,求的面积21.(12分)等比数列的各项均为正数,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列前项和.22.(10分)已知点,圆C:,l:.(1)若直线过点M,且被圆C截得的弦长为,求该直线的方程;(2)设P为已知直线l上的动点,过点P向圆C作一条切线,切点为Q,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】解:∵N为BC的中点,点M在线段OA上,且OM=2MA,且,,,故选:D.2、C【解析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为,,,,,,,再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为,,,,,,,则,解得,所以戊分得(文),己分得(文),故选:C.3、B【解析】由直径所对圆周角是直角,结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知,,,所以,因为,所以又因为平分,所以,由,得,所以,即所以故选:B4、A【解析】利用导数判断函数的单调性,根据单调性即可解不等式【详解】由则函数在上单调递增又,所以,解得故选:A5、C【解析】由导数的定义可得,即可得答案【详解】根据题意,,故.故选:C6、C【解析】根据等比数列的性质,由题中条件,求出,即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列,由,得,所以,因此.故选:C.7、D【解析】设,先求出点,得,化简即得解【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上,如图所示,设,则,∵为等腰三角形,且,∴.过作垂直轴于点,则,∴,,即点.∵点在过点且斜率为的直线上,∴,解得,∴.故选:D【点睛】方法点睛:求椭圆的离心率常用的方法有:(1)公式法(求出椭圆的代入离心率的公式即得解);(2)方程法(通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解).8、B【解析】根据两直线垂直,列出方程,即可求解.【详解】由题意,直线与直线垂直,可得,解得.故选:B.9、D【解析】根据函数的单调性,可知其导数在R上恒成立,分离参数,即可求得答案.【详解】由题意可知单调递增,则在R上恒成立,可得恒成立,当时,取最小值-1,故,故选:D10、C【解析】先求斜率,再求倾斜角即可【详解】解:直线的斜截式方程为,∴直线的斜率,∴倾斜角,故选:C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率,属于基础题11、D【解析】以,,的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出答案.【详解】解:由题意知,CA,CB,CC1两两垂直,以,,的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为,则令,得.因为,所以,故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选:D.12、D【解析】设该设备第年的营运费为万元,利用为等差数列可求年平均盈利额,利用基本不等式可求其最大值.【详解】设该设备第年的营运费为万元,则数列是以2为首项,2为公差的等差数列,则,则该设备使用年的营运费用总和为,设第n年的盈利总额为,则,故年平均盈利额为,因为,当且仅当时,等号成立,故当时,年平均盈利额取得最大值4.故选:D.【点睛】本题考查等差数列在实际问题中的应用,注意根据题设条件概括出数列的类型,另外用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设“区间上随机取1个数”,对应集合为,区间长度为3,“取到的数小于2”,对应集合为,区间长度为1,所以.故答案为:14、【解析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.【详解】因为点在圆上,故切线必垂直于切点与圆心连线,而切点与圆心连线的斜率为,故切线的斜率为,故切线方程为:即.故答案为:.15、4【解析】设小球从第(n-1)次落地到第n次落地时经过的路程为m,则由已知可得数列是从第2项开始以首项为,公比为的等比数列,根据等比数列的通项公式求得,再设设小球第n次落地时,经过的路程为,由等比数列的求和公式建立方程求解即可.【详解】解:设小球从第(n-1)次落地到第n次落地时经过的路程为m,则当时,得出递推关系,所以数列是从第2项开始以首项为,公比为的等比数列,所以,且,设小球第n次落地时,经过的路程为,所以,所以,解得,故答案为:4.16、【解析】求出直线过的定点,当圆心和定点的连线垂直于直线时,取得最小值,结合即可求解.【详解】由题意知,圆,圆心,半径,直线,,,解得,故直线过定点,设圆心到直线的距离为,则,可知当距离最大时,有最小值,由图可知,时,最大,此时,此时.故的最小值为.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)根据线面垂直的判定定理,结合面面垂直的判定定理进行证明即可;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式,结合线面角定义进行求解即可.【小问1详解】∵,∴,,又,∴,∵,面,∴面,平面ABCD,平面平面【小问2详解】∵平面平面,交AD于点F,平面,平面平面,∴平面,以为原点,,的方向分别为轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,设平面的法向量为,则,求得法向量为,由,所以直线与平面所成角的正弦值为.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义求出的值,由求出,代入,得到椭圆的方程;(Ⅱ)由点斜式求出直线的方程,设,联立直线与椭圆方程,求出的值,再算出的面积试题解析(Ⅰ)由椭圆的定义得:又,故,∴椭圆的方程为:.(Ⅱ)过的直线方程为,,联立,设,则,∴的面积.点睛:本题主要考查了求椭圆的方程,直线与椭圆相交时弦长的计算等,属于中档题.在(Ⅱ)中,注意的面积的计算公式19、(1)(2)【解析】(1)已知焦点弦三角形的周长,以及离心率求椭圆方程,待定系数直接求解即可.(2)第一步设点设直线,第二步联立方程韦达定理,第三步条件转化,利用三角形等面积法,列方程,第四步利用韦达定理进行转化,计算即可.【小问1详解】因为的周长为,的离心率为,所以,,所以,,又,所以椭圆的方程为.【小问2详解】方法一:,,的面积为,的面积为,则,得,①设,与椭圆C方程联立,消去得,由韦达定理得,.令,②则,可得当时,当时,所以,又解得③由①②③得,解得.所以实数的取值范围是.方法二:同方法一可得的面积为,的面积为,则,得,①设,与椭圆C方程联立,消去得,由韦达定理得,.所以因为,所以解得②由①②解得.所以实数的取值范围是.20、(1)(2)【解析】(1)根据题意建立关于的方程,解得的值即可.(2)联列方程组并消元,韦达定理整体思想求的长,再求点到直线的距离,进而求面积.【小问1详解】由题意可得,,则,因为,所以,解得,故抛物线的方程为【小问2详解】由(1)可知,则点到直线的距离联立,整理得设,,则,从而因为直线过抛物线的焦点,所以故的面积为21、(1);(2).【解析】(1)根据题意求出首项和公比即可得出通项公式;(2)可得是等差数列,利用等差数列前n项和公式即可求出.【详解】解:(1)设等比数列的公比为,则,由题意得,解得,因此,;(2),则,所以
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