2025年中考数学复习之锐角三角函数

2025年中考数学复习热搜题速递之锐角三角函数

选择题（共10小题）

1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NA8C的正切值是（）

2.如图，ZXABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,。是线段BE上的一个动点，则CO+恪2。

的最小值是（）

A.2V5B.4V5C.5V3D.10

3.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（)

2V5

4.如图，点A为Na边上的任意一点，作ACLBC于点C,CD,42于点。，下列用线段比表示cosa的

B

BDBCADCD

A.—B.—C.—D.—

BCABACAC

5.小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则NA08的正弦值是（）

3V1011Vio

A.-------B.-C.一D.-----

102310

ZA=35°,则直角边3C的长是（）

mm

C.---------D.---------

sm35°cos35°

若角A,3满足|cosA-纤(1-tanB)2=0,

7.在△ABC中,则NC的大小是（

A.45°B.60°C.75°D.105°

8.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点。为边AC的中点，OEJ_8C于点E,连接3。，贝Utan

NDBC的值为（）

34

9.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos/ABC等于（）

10.如图，在△ABC中，AC±BC,NABC=30°，点。是CB延长线上的一点，5.BD^BA,则tan/ZMC

的值为（)

A

C.3+V3D.3V3

二.填空题(共5小题)

11.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A,B,C,。都在格点处，A8与C。

相交于。，贝Utan/BOD的值等于.

B

1

12.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8.若NBPC=^ZBAC,贝I]tan/8PC=

13.如图,P(12,a)在反比例函数y=苧图象上,PH_L无轴于H,则tan/尸。”的值为

,NB=45°,AC=2®则AB的长为.

,坡顶的平地BC上有一棵小树AB,当太阳光线与水平线夹角成60°

时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=W米,则小树AB的高

是

三.解答题（共5小题）

16.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰

角为45°,已知04=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=l：2,且。、A、8在同一条

直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测倾器高度忽略不计，结果保留根

号形式）

17.如图，是△A8C的中线，tanB=cosC=芋AC=V2.求:

(1)BC的长;

(2)sin/AOC的值.

18.如图,在△ABC中，ZC=150°,AC=4,tanB=

（1）求BC的长；

（2）利用此图形求tanl5°的值（精确到0.1,参考数据：V2~1.4,V3~1.7,V5«2.2）

19.如图，在正方形ABCD中，M是的中点，BE=3AE,试求sin/ECM的值.

20.如图，△ABC中，AD1.BC,垂足是。，若BC=14,AD=12,tanZBAD=求sinC的值.

2025年中考数学复习热搜题速递之锐角三角函数（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NA8C的正切值是（）

1

D.

2

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【专题】压轴题；网格型.

【答案】D

【分析】根据勾股定理，可得AC、A8的长，根据正切函数的定义，可得答案.

【解答】解：如图:

由勾股定理，得

AC=五,AB=20,BC^V10,

...△ABC为直角三角形，

tanZJ5=第=

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、A8的长，再求正切函数.

2.如图，ZXABC中，4B=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,。是线段BE上的一个动点，则。。+甯8。

的最小值是（）

A

A.2V5B.4V5C.5V3D.10

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用.

【答案】B

【分析】如图，作。于孙CM_L4B于M.由tanA=黑=2,设BE=2a,利用勾股定

理构建方程求出。，再证明推出CD+恪由垂线段最短即可解决问题.

【解答】解：如图，作于H,CM_LAB于

AZAEB=90°,

RF

VtanA==2,设AE=〃，BE=2a,

则有：100=〃2+4/，

/.〃2=20,

・・・〃=2遥或-2遥（舍弃），

BE=2（2=4V5,

9

：AB=ACfBELAC,CM±AB,

:・CM=BE=4小（等腰三角形两腰上的高相等）,

•：NDBH=NABE,/BHD=/BEA,

・./nouDHAE75

■■smZDBH=BD=AB=T'

：.DH=~BD,

：.CD+CD+DH,

：.CD+DH>CM,

.•.CZ）+造8024底

：.CD+^-BD的最小值为4V5.

V5

方法二：作于交BE于点、D,则点。满足题意.通过三角形相似或三角函数证得三

DM,从而得到CO+杀。=。1/=4后

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

3.如图，己知△ABC的三个顶点均在格点上则cosA的值为（）

:।___Ck：____：।___：।____：।：;

■>1111।,

V3V52V32V5

A.—B.一C.D.

3535

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理;勾股定理的逆定理.

【专题】网格型.

【答案】D

【分析】过8点作AC,得43的长，4。的长，利用锐角三角函数得结果.

【解答】解：过B点作3DLAC,如图，

由勾股定理得，

AB=V12+32=V10,

AD=V22+22=2V2

故选：D.

【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关

键.

4.如图，点A为Na边上的任意一点，作AC,8。于点C,CD,A3于点。，下列用线段比表示cosa的

BDBCADCD

A.—B.—C.—D.—

BCABACAC

【考点】锐角三角函数的定义.

【答案】c

【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出Na=NACD,进而利用锐角三角函数关系得出答案.

【解答】解：VACXBC,CDLAB,

：.Na+N3C£)=ZACD+ZBCD,

：.Za=ZACD,

cosa=cos/AC£>=器=骼=胎

只有选项。错误，符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出Na=NACD是解题关键.

5.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则NAO8的正弦值是（）

11V10

A.-----B.C.一D.-----

102310

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.

【专题】网格型.

【答案】D

【分析】取格点C，连接AC,BC,观察图象可知，O,B,C共线，NACO=90°,利用勾股定理求得

AC和A。的长，根据正弦的定义即可求解.

【解答】解：取格点C,连接AC,BC,观察图象可知，。，B,C共线，ZACO=9Q°,

V2,A0=V22+42=V20=2A/5,

AC_y/2

sinXAOB=

而=猫=W

故选：D.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻

边比斜边，正切为对边比邻边.

ZA=35°,则直角边8C的长是（）

mm

C.---------D.---------

stn35°cos35°

【考点】锐角三角函数的定义.

【答案】A

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边。与斜边c的比叫做NA的正弦可得答案.

【解答】解：sin/A=第，

'：AB=m,NA=35°,

BC=msin35°,

故选：A.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义.

7.在△ABC中，若角A,8满足|cosA—亨|+（1-tanB）2=0,则NC的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.

【答案】D

【分析】根据非负数的性质得出cosA=号，tanB=l,求出NA和的度数，继而可求得NC的度数.

【解答】解：由题意得，cosA=字，tanB=l,

则NA=30°,ZB=45°,

则/C=180°-30°-45°=105°.

故选：D.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

8.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为边AC的中点，OEL8C于点E,连接BZ）,则tan

NDBC的值为（）

1

A.-B.V2-1C.2-V3D.-

34

【考点】解直角三角形；等腰直角三角形.

【答案】A

E=EC=^-DC,然后通过解直角△DBE

【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=V2AC,D

来求tanZDBC的值.

【解答】解：：在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,

：.ZABC=ZC=45°,BC=V2AC.

又：点。为边AC的中点，

，AD=DC=1AC.

EJ_BC于点E,

:./CDE=/C=45°,

:.DE=EC=孝。C=^AC.

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质.通过解直角三角形，可求出相关的

边长或角的度数或三角函数值.

9.如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos/ABC等于（）

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】压轴题；网格型.

【答案】B

【分析】找到NA3C所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得/A8C的邻边与斜边之

比即可.

【解答】解：由格点可得NABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,

斜边为〃22+4?=2"\/^.

cosNABC=

故选：B.

【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得NABC所在的直角三角形的斜边长，关键是

理解余弦等于邻边比斜边.

10.如图，在△ABC中，AC±BC,ZABC=30°，点。是C8延长线上的一点，MBD=BA,贝UtanND4c

【考点】解直角三角形.

【答案】A

【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、A2间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan/

D4c的值.

【解答】解：如图，•.•在△A8C中，AC±BC,ZABC=30°,

：.AB=2AC,BC=-^5=V3AC.

L/Ci＞，CVz

'：BD=BA,

：.DC=BD+BC=(2+V3)AC,

,+/r\\r-DC_(2+V5)ZC_与

・・tanND4C==------------=2o+A/3.

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题.

二.填空题(共5小题)

11.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A,B,C,。都在格点处，与C。

相交于O,贝I]tan/BOQ的值等于3.

【考点】解直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan/3。。的值,

本题得以解决.

【解答】解：方法一：平移C。到C'D,交AB于。'，如图所示，

则N80'D'=/BOD,

tanZBOD=tanZBO'D',

设每个小正方形的边长为a,

则B=Ja2+(2a)2=逐a,O'D'=V(2a)2+(2a)2=2V2a,BD'=3a,

作BE，。'D'于点E,

BD'-O'F_3a-2a_3g

则BE=O'D'=272^=-2-

222

：.O'E=^O'B-BE=J(V5a)-(号与2=学,

FBE窄&

tanBOfE=阮=亘=3,

r

tanZB0£)=3,

故答案为：3.

方法二：连接AM、NL,

在△CA”中，AC=AH,

则AALLCH,

同理，在AMNH中,NM=NH,

则NL1MH,

：.ZAMO=ZNLO=90°,

ZAOM^ZNOL,

：.AAOMsANOL,

.AMOM

••一,

NLOL

设图中每个小正方形的边长为a,

则AM=2缶，NL=42a,

.AM2y[2a

••―=2,

NLV2a

OM

-----=2,

OL

.OL1

••—―,

LM3

■:NL=LM,

NL

—=3,

OL

：.tanZBOD=tanZNOL=黑=3,

故答案为：3.

方法三：连接AE、EF,如图所示,

则AE■〃处

/.ZFAE=ZBOD,

设每个小正方形的边长为a,

则AE=V2a,AF=2V5a,EF=3近a,

V(V2a)2+(3V2a)2=(2V5a)2,

...△砌£是直角三角形，ZFEA=90°,

../"人口_EF_3j2a_

••tanFAE一人厂—7=—3,

AEV2a

即tanZBOD—3,

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等

积法解答.

14

12.如图，在△ABC中，AB=AC=5,8c=8.若NBPC="BAC,则tan/BPC=1.

/3

【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

1

【分析】先过点A作AEJ_BC于点E,求得N8AE=W/8AC,故NBPC=/BAE.再在RtZkBAE中,

由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan/BPC=tan/BAE=黑=彳

【解答】解：过点A作AE_L8c于点E,

111

：.BE=Jx8=4,/BAE=^/BAC,

1

ZBPC=专NBAC,

：.ZBPC=ZBAE.

在RtZ\B4E中，由勾股定理得

AE=7AB2-BE2=V52-42=3,

RF4

tanZBPC=tanZBAE=器=/

4

故答案为：­.

【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或

者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.

13.如图，P(12,a)在反比例函数y=如图象上，PH_Lx轴于H,贝Utan/POH的值为三.

%TZ

【考点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan/尸。"为/尸。"的对边比邻边，求出即可.

【解答】解：TP(12,〃)在反比例函数y=三图象上，

・_60__

••a-12-3,

轴于H,

:.PH=5,08=12,

：.tanZPOH=

故答案为：卷.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形

中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

14.如图，在△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AC=2V3,则AB的长为3+遮.

【考点】解直角三角形.

【专题】几何图形问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】过C作于。，求出推出2D=C。，根据含30度角的直角三角形求出

CD,根据勾股定理求出A。，相加即可求出答案.

【解答】解：过C作于。，

VZB=45°,

：.ZBCD^ZB^45°,

:.CD=BD,

VZA=30°,AC=2V3,

CD=V3,

：.BD=CD=V3,

由勾股定理得：AD=y/AC2-CD2=3,

：.AB=AD+BD=3+43.

故答案为：3+V3.

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应

用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.

15.如图，坡面的坡比为1：V3,坡顶的平地上有一棵小树A3,当太阳光线与水平线夹角成60°

时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米,斜坡上的树影8=百米,则小树AB的高是4旧米.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】几何综合题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图(如图)，得RtA

CED,然后由RtZ\CE。，和坡面CD的坡比为1：V3,求出CE和即，再由RtZWfD和三角函数求出

AF.进而求出A3.

【解答】解：由已知得RtZiAFD,RtAC£Z),如图，且得：ZADF=60°,FE=BC,BF=CE,

在RtzXCED中，设CE=x米，由坡面8的坡比为1：V3,得：

DE=<3x,则根据勾股定理得：

X2+(V3X)2=(V3)2，

得天=土冬-苧不合题意舍去，

所以，上=空米，贝！J,£。=泳

■2Q

那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+]=乔,

在RtZXAfD中，由三角函数得：

AF

—=tanZADF,

FD

：.AF=FDnm6Q°=2乂遍=孥米，

：.AB=AF-BF=AF-CE=竽一孚=4百米,

故答案为：4百米.

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是把实际问题转化为解

直角三角形问题，由

RtAAFZ）,RtZkCE。求出AB.

三.解答题（共5小题）

16.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰

角为45°,已知。4=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=l：2,且。、A、8在同一条

直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测倾器高度忽略不计，结果保留根

号形式）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】在图中共有三个直角三角形，即RtAAOC>RtAPC尸、RtAE4£,利用60°、45°以及坡度比,

分别求出C。、CF、PE,然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决.

【解答】解：作PEL08于点E,PFLC。于点尸，

在RtZXAOC中，40=100,ZCAO=60°,

.•.CO=AO・tan60°=100A/3（米）.

设PE=X米，

PF1

VtanXPAB=荏=2,

.\AE=2x.

在Rt2\PC尸中，NCPF=45°,CF=100V3-x,PF=OA+AE=100+2xf

•;PF=CF,

1・100+2x=100V3—x,

解得吗zD

答：电视塔oc高为100b米，点P的铅直高度为（米）.

【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结

合图形利用三角函数解直角三角形.

17.如图，是△ABC的中线，tanB=cosC=孝，AC=V2.求：

(1)的长；

(2)sin/AOC的值.

A

RDC

【考点】解直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)过点A作AELBC于点E，根据cosC=¥，求出/C=45°,求出AE=CE=1,根据tan8=

I，求出BE的长即可；

(2)根据A。是△ABC的中线，求出2。的长，得到。E的长，得到答案.

【解答】解：(1)过点A作AE_L8C于点E,

.._42

•cosOr—2，

：.ZC=45°,

在RtZiACE中，CE=AC・cosC=l,

.\AE=CE=1,

[AE1

在RtAABE中，tanB=即一=

3BE3

：.BE=3AE=3f

：.BC=BE+CE=4；

(2),・•A。是△ABC的中线，

1

:.CD=7C=2,

：.DE=CD-CE=\,

*：AELBC,DE=AE,

：.ZADC=45°,

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角

三角函数的概念的正确应用.

18.如图，在△A3C中，ZC=150°,AC=4,tanB=j.

(1)求3C的长；

(2)利用此图形求tanl5°的值(精确到0.1,参考数据：V2«1.4,V3«1.7,V5«2.2)

Bc

【考点】锐角三角函数的定义.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)过A作AOLBC,交BC的延长线于点由含30°的直角三角形性质得AD=±AC=2,

由三角函数求出C£)=2W，在中，由三角函数求出BD=16,即可得出结果；

(2)在8C边上取一点使得CN=AC,连接AM■，求出NAMC=/AMC=15°,tanl5°=tanZAMD=

铭即可得出结果.

【解答】解：(1)过A作交BC的延长线于点D,如图1所示：

在中，AC=4,

VZACB=150°,

AZACD=30°,

1

：.AD=加C=2,

CD=AC-cos30°=4x^=2后

AH21

在Rt^ABO中，tan5=^=丽=6

：.BD=16,

：.BC=BD-CD=16-2V3；

(2)在8。边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示:

VZACB=150°,

ZAMC=ZMAC=15°,

tanl5°=tan/AMO=镭=^=^=2—皆皿3

【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质

等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键.

19.如图，在正方形ABC。中，M是AD的中点，BE=3AE,试求sin/ECM的值.

【考点】锐角三角函数的定义；正方形的性质.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】依题意设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM^2x,C£)=4x,先证明△CEM是直角三角形，再

利用三角函数的定义求解.

【解答】解：设A£=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,

EC=J(3久尸+(4久尸=5x,

EM—y/x2+(2x)2=V5x,

CM=J(2x)2+(4久/=2V5X,

:.EM2+CM2=CE2,

...△CEM是直角三角形，

sinAECM==洛.

【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法.关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转

化到直角三角形中求解.

20.如图，△A8C中，ADLBC,垂足是。，若BC=14,AD=12,tanZBA£>=求sinC的值.

4

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据tan/A4O=梳，求得2。的长，在直角△AC£>中由勾股定理得AC,然后利用正弦的定义

求解.

【解答】解：：在直角△A3。中，tan/54O=盥=',

3

：.BD=ADnmZBAD=12x^=9,

4

：.CD=BC-BD=14-9=5,

：.AC=y/AD2+CD2=V122+52=13,

AD12

..SinC==TTT.

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系.

考点卡片

1.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为。时，则其中的每一项

都必须等于0.

2.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

3.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y="x1为常数，20)的图象是双曲线，

①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值匕即肛=%

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y="x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|川.

4.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么次+62=02.

(2)勾股定理应用的