七年级数学考点大串讲（人教版）：期中真题必刷压轴60题（12个考点专练）（解析版）

期中真题必刷压轴60题（12个考点专练）一．有理数（共1小题）1．（2022秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1．（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴＝＝1．【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．二．数轴（共7小题）2．（2022秋•珠海校级期中）在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2016在数轴上表示的数是﹣1．【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．【解答】解：∵点A1在数轴表示的数是，∴A2＝＝2，A3＝＝﹣1，A4＝＝，A5＝＝2，A6＝﹣1，…，2016÷3＝672，所有点A2016在数轴上表示的数是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．3．（2022秋•西安期中）问题背景数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．问题探究（1）若|x﹣3|＝1，则x＝4，2．（2）若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝1．（3）若|x﹣3|+|x+1|＝8，则x＝5，﹣3．问题解决（4）若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足|m+5|+|m﹣2|＝9且|n+2|+|n+3|+|n﹣6|的值最小，则两个点M、N之间的距离是4，8．【分析】绝对值的几何意义，是数轴上两点间的距离，利用数形结合是很好的解题方法．【解答】解：（1）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，∴x＝4或x＝2．（2）分三种情况讨论：①x＞3时，|x﹣3|＝|x+1|化简为：x﹣3＝x+1，无解；②﹣1≤x≤3时，|x﹣3|＝|x+1|化简为：3﹣x＝x+1，解得x＝1；③x＜﹣1时，|x﹣3|＝|x+1|化简为：3﹣x＝﹣（x+1），无解．故x＝1．（3）分三种情况讨论：①x＞3时，|x﹣3|+|x+1|＝8，化简得：x﹣3+x+1＝8，解得x＝5；②﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|＝8，化简得：3﹣x+x+1＝8，无解；解得③x＜﹣1时，|x﹣3|+|x+1|＝8，化简得：3﹣x﹣（x+1）＝8，解得x＝﹣3．故x＝5或x＝﹣3．（4）分三种情况讨论：①m＞2时，|m+5|+|m﹣2|＝9，化简m+5+m﹣2＝9，解得m＝3；②﹣5≤m≤≤2时，|m+5|+|m﹣2|＝9，化简﹣（m+5）+m﹣2＝9，无解；③m＜﹣5时，|m+5|+|m﹣2|＝9，化简﹣（m+5）﹣（m﹣2）＝9，解得m＝﹣6．故m为3或﹣6．由数轴上的点，两点之间相等最短可知，当|n+2|+|n+3|+|n﹣6|的值最小时，n＝﹣2，故MN＝|3﹣（﹣2）||＝5，或MN＝|﹣6﹣（﹣2）|＝4．【点评】本题考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，特别是最后一题需用到两点之间线段最短．4．（2022秋•和平区校级期中）数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足：|a+6|+（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣2．（1）填空：a＝﹣6，c＝1；在数轴上描出点A，B，C；（2）若点M在数轴上对应的数为m，且满足|m﹣1|+|m+6|＝15，则m＝﹣10或5；（3）若A，B两点同时沿数轴正方向匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍时，点A对应的数是多少？【分析】（1）根据非负数的性质得出a、c的值，再在数轴上描点即可得；（2）分m＜﹣6、﹣6≤m≤1、m＞1三种情况去绝对值符号，再解所得方程可得；（3）设运动时间为t，则点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，根据点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍列出方程|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，解之可得．【解答】解：（1）∵|a+6|+（c﹣1）2＝0，∴a+6＝0且c﹣1＝0，解得：a＝﹣6、c＝1，如图所示：，故答案为：﹣6、1；（2）若m＜﹣6，则1﹣m﹣m﹣6＝15，解得：m＝﹣10；若﹣6≤m≤1时，1﹣m+m+6＝5≠15，此情况不存在；若m＞1，则m﹣1+m+6＝15，解得：m＝5；综上，m＝﹣10或5，故答案为：﹣10或5；（3）设t秒时，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，则此时点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，则|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，整理，得：|2t﹣7|＝3|t﹣3|，∴2t﹣7＝3（t﹣3）或2t﹣7＝﹣3（t﹣3），解得：t＝2或t＝，∴点A表示的数为﹣2或，答：点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，点A对应的数为﹣2或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5．（2022秋•南明区校级期中）已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；（2）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．【解答】解：（1）∵2×5＝10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4＝10，Q处于：1﹣2+3﹣4＝4﹣6＝﹣2；（2）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则＝20，解得n＝39，∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39，＝1+2+3+…+39，＝＝780，∴时间＝780÷2＝390秒（6.5分钟）；②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则＝20，解得n＝40，∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|，＝1+2+3+…+40，＝＝820，∴时间＝820÷2＝410秒（6分钟）．【点评】本题考查了数轴的知识，（2）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是解题的关键，可以动手操作一下便不难得解．6．（2022秋•法库县期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为﹣2；点B表示的数为4；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝3；乙小球到原点的距离＝2；当t＝3时，甲小球到原点的距离＝5；乙小球到原点的距离＝2；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0；∴a＝﹣2，b＝4，∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，故答案为：﹣2，4；（2）①当t＝1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离＝3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离＝4﹣2＝2，故答案为：3，2；当t＝3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离＝5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离＝2．②当0＜t≤2时，得t+2＝4﹣2t，解得t＝；当t＞2时，得t+2＝2t﹣4，解得t＝6．故当t＝秒或t＝6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．故答案为：5，2．【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．7．（2022秋•天河区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P在AB之间，AP＝14×＝，﹣24+＝﹣，点P的对应的数是﹣；②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P的对应的数是4；（3）设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4，当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3a+4＝14+a，解得a＝5；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3a﹣4＝14+a，解得a＝9；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+a+4+3a﹣34＝34，a＝12.5；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+a﹣4+3a﹣34＝34，解得a＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．8．（2022秋•鲤城区校级期中）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）（2）小明家与小刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油0.2升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？【分析】（1）根据向东为正向西为负，和距离标出各个位置．（2）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可．（3）这辆货车一共行走的路程，实际上就是4+1.5+8.5+3＝17（千米），货车从出发到结束行程共耗油量＝货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．【解答】解：（1）如图所示：（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣3）＝7（千米）；（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+8.5+3）×0.2＝3.4（升）．答：小明家与小刚家相距7千米，这辆货车此次送货共耗油3.4升．【点评】考查了数轴，本题是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．如工程问题、行程问题等都是这类．三．绝对值（共3小题）9．（2022秋•江油市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝1或﹣5；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和．即可求解；（3）根据|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和．即可求解．【解答】解：（1）3，5，1或﹣5；（2）因为|a+4|+|a﹣2|表示数轴上数a和﹣4，2之间距离的和．又因为数a位于﹣4与2之间，所以|a+4|+|a﹣2|＝6；（3）根据|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和．所以当a＝1时，式子的值最小，此时|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的最小值是9．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，就是表示两点之间的距离．10．（2022秋•颍州区校级期中）先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为﹣2.5和1，B，C两点间的距离是3.5；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|；如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2．【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．11．（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝7；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝﹣1.5（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．四．倒数（共1小题）12．（2022秋•将乐县期中）若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．（1）分别求出a2，a3，a4的值；（2）求a1+a2+a3+…+a3600的值．【分析】（1）根据差倒数的定义进行计算即可得解；（2）根据计算可知，每三个数为一个循环组循环，求出每一个循环组的三个数的和，再用2160除以3求出正好有720个循环组，然后求解即可．【解答】解：（1）∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣；（2）根据（1）可知，每三个数为一个循环组循环，∵a1+a2+a3＝﹣++4＝，3600÷3＝1200，∴a1+a2+a3+…+a3600＝×1200＝5300．【点评】本题是对数字变化规律的考查，读懂题意，理解“差倒数”的定义是解题的关键，（2）观察得到每三个数为一个循环组循环非常关键．五．有理数大小比较（共2小题）13．（2022秋•东城区校级期中）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|＝|c|．（1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c；（2）化简：|a+b|﹣2|a|﹣|b+c|．【分析】（1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小即可判断；（2）利用绝对值的性质即可解决问题；【解答】解：（1）根据数轴得：b＜a＜0＜c；（2）由图可知：a＜0，a+b＜0，b+c＜0，a与c互为相反数，即a+c＝0，∴原式＝﹣a﹣b+2a+b+c＝a+c＝0．【点评】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题．14．（2022秋•杏花岭区校级期中）已知有理数a，b，其中数a在如图的数轴上对应的点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5．（1）a＝2，b＝﹣3.5．（2）将﹣，0，﹣2，b在如图的数轴上表示出来，并用“＜”连接这些数．【分析】（1）根据M点的位置可直接写出a表示的数，再由b到原点的距离为3.5且b为负数可得出b的值；（2）在数轴上表示出各点，从左到右用“＜”连接起来即可．【解答】解：（1）∵由图可知，点M在2处，∴a＝2；∵b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5且b为负数，∴b＝﹣.3.5．故答案为：2，﹣3.5；（2）如图所示．，故b＜﹣2＜﹣＜0．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．六．有理数的乘方（共1小题）15．（2022秋•鲤城区校级期中）阅读以下内容，并解决所提出的问题．我们知道，23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以：23×25＝（2×2×2）×（2×2×2×2×2）＝28．（1）根据上述信息，试计算填空：53×56＝5（），a2•a5＝a（），am•an＝a（），（2）已知2m＝3，2n＝5，试根据（1）问的结论计算：2m+n+1的值．【分析】（1）利用题中的方法求出所求即可；（2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意得：53×56＝59；a2•a5＝a7；am•an＝am+n；（2）∵2m＝3，2n＝5，∴原式＝2m×2n×2＝30．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．七．有理数的混合运算（共7小题）16．（2022秋•龙海市校级期中）用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a．如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）求（﹣2）⊕3的值；（2）若（⊕3）⊕（﹣）＝8，求a的值．【分析】（1）原式利用题中新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出a的值．【解答】解：（1）根据题中新定义得：（﹣2）⊕3＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32；（2）根据题中新定义得：⊕3＝×32+2××3+＝8（a+1），8（a+1）⊕（﹣）＝8（a+1）×（﹣）2+2×8（a+1）×（﹣）+8（a+1）＝2（a+1），已知等式整理得：2（a+1）＝8，解得：a＝3．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．17．（2022秋•和平区校级期中）观察下列各式：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：12+22+32+42+52＝＝55；（2）请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32+…+n2＝；（3）根据发现的规律，请计算算式512+522+…+992+1002的值（写出必要的解题过程）【分析】（1）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+42+52等于分母是6，分子是5×6×11的分数的大小．（2）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+…+n2等于分母是6，分子是n（n+1）（2n+1）的分数的大小．（3）用12+22+…+992+1002的值减去12+22+…+492+502的值，求出算式512+522+…+992+1002的值是多少即可．【解答】解：（1）12+22+32+42+52＝＝55．（2）12+22+32+…+n2＝．（3）512+522+…+992+1002＝（12+22+…+992+1002）﹣（12+22+…+492+502）＝﹣＝338350﹣42925＝295425故答案为：＝55；．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．18．（2022秋•兴仁市期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a．如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）求（﹣2）☆3的值；（2）若（☆3）＝8，求a的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值．【解答】解：（1）（﹣2）☆3＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣32；（2）☆3＝×32+2××3+＝8a+8＝8，解得：a＝0．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•天宁区校级期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣）⑤＝﹣8；（2）关于除方，下列说法错误的是CA．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C．3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝（﹣2）8．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝；（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．【分析】【概念学习】（1）分别按公式进行计算即可；（2）根据定义依次判定即可；【深入思考】（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；（2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×n﹣1；（3）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【解答】解：【概念学习】（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣8故答案为：，﹣8；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则3④≠4③；所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；【深入思考】（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×＝；5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝；同理得：（﹣）⑩＝（﹣2）8；故答案为：；；（﹣2）8；（2）aⓝ＝n﹣2；（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33，＝144÷（﹣3）2×（﹣）3﹣（﹣3）4÷33，＝144××﹣81÷27，＝16×（﹣）﹣3，＝﹣2﹣3，＝﹣5．【点评】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．20．（2022秋•射洪市校级期中）观察算式：﹣，﹣﹣，﹣﹣﹣；…（1）按规律填空：①＝；②＝；③如果n为正整数，那么＝；（2）计算（由此拓展写出具体过程）：①；②1﹣﹣﹣﹣…﹣．【分析】（1）根据题意找出规律，根据此规律即可得出结论；（2）把所给的式子进行化简，找出规律即可．【解答】解：∵观察算式：﹣，﹣﹣，﹣﹣﹣；…∴（1）①＝1﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；②＝+…+﹣＝1﹣＝；③如果n为正整数，那么＝1﹣＝．故答案为：，；．（2）①∵+＝+＝；++＝++＝…；1﹣＝＝2×；1﹣＝＝2×…，∴＝（1﹣）＝；②∵1﹣﹣＝，1﹣﹣﹣＝…，1﹣﹣＝1﹣（1﹣）﹣（﹣）＝，1﹣﹣﹣＝1﹣﹣﹣＝，∴1﹣﹣﹣﹣…﹣＝1﹣﹣﹣﹣…﹣＝．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．21．（2022秋•上蔡县期中）我们规定运算符号⊗的意义是：当a＞b时，a⊗b＝a﹣b；当a≤b时，a⊗b＝a+b，其他运算符号意义不变，按上述规定，请计算：﹣14+5×[（﹣）⊗（﹣）]﹣（34⊗43）÷（﹣68）．【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝﹣1+5×（﹣﹣）﹣（81﹣64）÷（﹣68）＝﹣1﹣+＝﹣5．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2022秋•将乐县期中）如图所示，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题；（1）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？（2）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？（3）若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号，使得结果为24，请写出运算式．（只需写出1种）【分析】（1）找出两张卡片，使其差最小即可；（2）找出两张卡片，使其积最大即可；（3）找出四张卡片，利用24点游戏规律列出算式即可．【解答】解：（1）抽取的2张卡片是﹣8、6，差的最小值是﹣8﹣6＝﹣14；（2）抽取的2张卡片是﹣4、﹣8，它们积最大，最大值是（﹣4）×（﹣8）＝32；（3）抽取的4张卡片是3、﹣4、6、﹣8，算式为（﹣8+6）×3×（﹣4）＝24（答案不唯一）．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．八．列代数式（共16小题）23．（2022秋•前郭县期中）在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处理费共为N元．（1）分别用x表示M，N；（2）若交费时间为12个月，哪种方案更合适，并说明理由．【分析】（1）根据总费用＝购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出M、N与x的函数关系式；（2）将x＝12代入后求值比较即可．【解答】解：（1）由题意，得M＝250x+3000，N＝500x+1000；（2）当x＝12时，M＝250x+3000＝250×12+3000＝6000元，N＝500x+1000＝500×12+1000＝7000元，所以方案一更合算．【点评】本题考查了列代数式及代数式求值的知识，解题的关键是正确的根据题意列出代数式．24．（2022秋•夷陵区期中）某剧场座位的排数与每排的座位数如下表：第几排1234…7…座位数m2525+125+225+3…m…（1）求出第7排的座位数m的值；（2）写出用排数n表示座位数m的式子；（3）利用上面（2）中得到的式子计算：当n＝12时座位数m的值．【分析】（1）由表格中的座位数规律，即可得出第7排的座位数；（2）根据上述规律，用n表示出m即可；（3）将n＝12代入表示出的m中，即可求出m的值．【解答】解：（1）根据表格得：第7排的座位数m＝25+6＝31；（2）归纳总结得：第n排的座位数m＝25+n﹣1＝n+24；（3）当n＝12时，m＝12+24＝36．【点评】此题考查了列代数式，以及代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．25．（2022秋•息县期中）如图，将长为2a+3、宽为2a的长方形分割成四个形状、大小完全相同的直角三角形（如图1），然后拼成“赵爽弦图”（如图2）．（1）用关于a的式子表示图2中较小正方形的边长；（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？【分析】（1）读懂题意，找到三角形的两直角边，列代数式表示出来，再列代数式表示图2中较小正方形的边长；（2）由（1）得到的代数式，代入数据求值即可．【解答】解：（1）图2中较小正方形的边长：2a+3﹣a＝a+3；（2）∵a＝3，∴图2中较小正方形的边长：a+3＝3+3＝6，∴小正方形的面积是：6×6＝36．【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式．26．（2022秋•成县期中）如图，正方形ABCD和正方形ECGF．（1）写出表示阴影部分面积的代数式．（2）求a＝4cm，b＝6cm时，阴影部分的面积．【分析】（1）阴影部分面积可视为大小正方形减去空白部分（即△ABD和△BFG），把对应的三角形面积代入即可得S＝a2﹣ab+b2．（2）直接把a＝4cm，b＝6cm代入（1）中可求出阴影部分的面积．【解答】解：（1）S＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝a2﹣ab+b2．（2）当a＝4cm，b＝6cm时S＝×42﹣×4×6+×62＝14cm2．【点评】本题考查列代数式．要求对图形间的关系准确把握，找到阴影部分的面积是哪些规则图形的面积差是解题的关键．在考查代数式的同时也考查了学生的读图能力，培养了思维的缜密性和数形结合能力．27．（2022秋•惠州期中）如图所示，在一个长方形的休闲广场的四个角都设计出一块边长相同的正方形花坛（阴影部分），若广场长为a米，宽为b米，正方形花坛的边长为c米．（1）请列代数式表示广场空地的面积S；（2）若休闲广场的长为40米，宽为20米，正方形花坛的边长为3米，求广场空地的面积．【分析】（1）用长方形的面积减去4个小正方形的面积；（2）由（1）得到的代数式，代入数据求值即可．【解答】解：（1）广场空地的面积S＝（ab﹣4c2）平方米；（2）∵a＝40米，b＝20米，c＝3米，∴ab﹣4c2＝40×20﹣4×32＝800﹣36＝764（平方米），答：广场空地的面积为764平方米．【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式．28．（2022秋•金牛区校级期中）给出新定义如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3；根据上述知识，解下列问题：（1）若x＝﹣2，y＝3，则f（x）+g（y）＝12；（2）若f（x）+g（y）＝0；求2x﹣3y的值；（3）若x＜﹣3，化简：f（x）+g（x）；（结果用含x的代数式表示）（4）若f（x）+g（x）＝5，求x的值．【分析】（1）把x＝﹣2，y＝3分别代入f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|即可求解；（2）根据绝对值得非负性可得2x﹣2＝0，y+3＝0，求出x、y的值，代入2x﹣3y即可求解；（3）根据绝对值的性质即可求解；（4）由f（x）+g（x）＝5得出|2x﹣2|+|x+3|＝5，分x≥1，﹣3＜x＜1，x≤﹣3三种情况进行解答．【解答】解：①∵f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|，∴当x＝﹣2，y＝3时，f（x）+g（y）＝f（﹣2）+g（3）＝|2×（﹣2）﹣2|+|3+3|＝6+6＝12；故答案为：12；②∵f（x）+g（y）＝|2x﹣2|+|y+3|＝0，∴2x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝1，y＝﹣3，∴2x﹣3y＝2×1﹣3×（﹣3）＝11，∴2x﹣3y的值为11；③若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝|2x﹣2|+|x+3|＝2﹣2x﹣x﹣3＝﹣1﹣3x；④∵f（x）+g（x）＝5，∴|2x﹣2|+|x+3|＝5，当x≥1时，2x﹣2+x+3＝5，解得：x＝，当﹣3＜x＜1时，2﹣2x+x+3＝5，解得：x＝0，当x≤﹣3时，2﹣2x﹣x﹣3＝5，解得x＝﹣2（舍去）；∴x的值为或0．【点评】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值，弄清题中的新定义是解本题的关键．29．（2022秋•大连期中）窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是acm，计算：（1）窗户的面积；（2）窗户的外框的总长．【分析】（1）根据图示，用边长是acm的4个小正方形的面积加上半径是acm的半圆的面积，求出窗户的面积是多少即可．（2）根据图示，用3条长度是2acm的边的长度和加上半径是acm的半圆的周长，求出窗户的外框的总长是多少即可．【解答】解：（1）窗户的面积是：4a2+πa2÷2＝4a2+0.5πa2＝（4+0.5π）a2（cm2）（2）窗户的外框的总长是：2a×3+πa＝6a+πa＝（6+π）a（cm）【点评】此题主要考查了列代数式问题，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握正方形、圆的周长和面积的求法．30．（2022秋•江夏区期中）有一根弹簧原长10厘米，挂重物后（不超过50克），它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：质量（克）1234…n伸长量（厘米）0.511.52…总长度（厘米）10.51111.512…（1）要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？（2）当所挂重物为x克时，用代数式表示此时弹簧的总长度．（3）当x＝30克时，求此时弹簧的总长度．【分析】（1）当弹簧上挂1g重物后，弹簧伸长0.5cm，变为10.5cm，即可得出使弹簧伸长5厘米，应挂重物的克数；（2）当弹簧上挂1g重物后，弹簧伸长0.5cm，变为10.5cm，那么弹簧不挂重物时长10cm，挂1g在10的基础上加1个0.5，挂xg，就在10的基础上加x个0.5；（3）把x＝30代入计算即可．【解答】解：（1）由表格可知弹簧每伸长1厘米，需挂2克重物，所以要使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．（2）弹簧的总长度为（10+0.5x）厘米．（3）将x＝30代入10+0.5x．得弹簧的总长度为25厘米．【点评】此题考查列代数式问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，本题需注意应先求出弹簧不挂重物时的长度．31．（2022秋•南昌期中）台儿庄区新兴服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x＞30）．（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款3000元，T恤需付款50（x﹣30）元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款2400元，T恤需付款40x元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？【分析】（1）根据夹克每件定价100元，购买夹克30件，求出方案①夹克需付款数；根据买一件夹克送一件T恤和T恤每件定价50元，T恤x件，得出T恤需付款数；根据方案②和夹克和T恤都按定价的80%付款，可得出夹克需付款数和T恤需付款数；（2）把x＝40代入（1）求出的式子，再进行比较即可．【解答】解：（1）该客户按方案①购买，夹克需付款30×100＝3000（元），T恤需付款50（x﹣30），夹克和T恤共需付款100x+3000；若该客户按方案②购买，夹克需付款30×100×80%＝2400（元），T恤需付款50×80%×x＝40x，故答案为：3000，50（x﹣30），2400，40x；（2）当x＝40时，按方案①购买所需费用＝30×100+50（40﹣30）＝3000+500＝3500（元）；按方案②购买所需费用＝30×100×80%+50×80%×40＝2400+1600＝4000（元），所以按方案①购买较为合算．【点评】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．32．（2022秋•卫滨区校级期中）“十一”黄金周期间，贵州省锦屏县隆里古城在7天假期中每天接待的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），把9月30日的游客人数记为a万人．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化（单位：万人）+1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.2（1）请用含a的代数式表示10月2日的游客人数；（2）请判断七天内游客人数最多的是哪天，有多少人？（3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间隆里古城门票收入是多少元？【分析】（1）10月2日的游客人数＝a+1.6+0.8．（2）分别用a的代数式表示七天内游客人数，再找出最多的人数，以及对应的日期即可．（3）先把七天内游客人数分别用a的代数式表示，再求和，把a＝2代入化简后的式子，乘以10即可得黄金周期间该公园门票的收入．【解答】解：（1）a+2.4（万人）；（2）七天内游客人数分别是a+1.6，a+2.4，a+2.8，a+2.4，a+1.6，a+1.8，a+0.6，所以3日人最多．（3）（a+1.6）+（a+2.4）+（a+2.8）+（a+2.4）+（a+1.6）+（a+1.8）+（a+0.6）＝7a+13.2＝7×2+13.2＝27.2（万人），∴黄金周期间该公园门票收入是27.2×10000×10＝2.72×106（元）．【点评】本题主要考查了列代数式和正负数的意义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列式计算，注意单位的统一．33．（2022秋•香洲区期中）某公园中一块草坪的形状如图中的阴影部分．（1）用整式表示草坪的面积；（2）若a＝2米，b＝5米，求草坪的面积．【分析】（1）草坪的面积＝大矩形的面积﹣两个空白矩形的面积，应该根据图中数据逐一进行计算，然后求差．（2）代入求值即可．【解答】解：（1）（1.5b+2.5b）（a+2a+a+2a+a）﹣2.5b×2a×2＝18ab．答：草坪的面积为18ab平方米；（2）当a＝2米，b＝5米时，18ab＝18×2×5＝180（米2）．答：草坪的面积是180平方米【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解决这类问题首先要从简单图形入手，认清各图形的关系，然后求解．34．（2022秋•凌海市期中）某公园准备修建一块长方形草坪，长为30米，宽为20米．并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，回答下列问题：（1）修建的十字路面积是多少平方米？（2）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？【分析】（1）根据修建的十字路面积＝两条路的面积和﹣重叠部分的面积得出；（2）根据长方形草坪的面积﹣十字路的面积＝草坪（阴影部分）的面积得出．【解答】解：（1）30x+20x﹣x2＝50x﹣x2．答：修建十字路的面积是（50x﹣x2）平方米．（2分）（2）600﹣50x+x2＝600﹣50×2+2×2＝504答：草坪（阴影部分）的面积504平方米．（4分）【点评】本题应熟记长方形的面积公式．另外，整体面积＝各部分面积之和；阴影部分面积＝原面积﹣空白的面积．35．（2022秋•吉安期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款（200x+16000）元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款（180x+18000）元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；（3）根据题意先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带更合算．【解答】解：（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．方案一费用：200x+16000，方案二费用：180x+18000．故答案为：（200x+16000），（180x+18000）．（2）当x＝30时，方案一：200×30+16000＝22000（元），方案二：180×30+18000＝23400（元），所以，按方案一购买较合算．（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带．则20000+200×10×90%＝21800（元）．【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．36．（2022秋•市南区期中）如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为r米，广场长为a米，宽为b米．（1）请列式表示广场空地的面积；（2）若休闲广场的长为400米，宽为100米，圆形花坛的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留π）．【分析】（1）观察可得空地的面积＝长方形的面积﹣圆的面积，把相关数值代入即可；（2）把所给数值代入（1）得到的代数式求值即可．【解答】解：（1）空地的面积＝ab﹣πr2；（2）当a＝400，b＝100，r＝10时，空地的面积＝400×100﹣π×102＝（40000﹣100π）（平方米）．【点评】考查列代数式及代数式的相关计算；得到空地部分的面积的关系式是解决本题的关键．37．（2022秋•湘潭期中）已知：c是最小的两位正整数，且a，b满足（a+26）2+|b+c|＝0，请回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值：a＝﹣26，b＝﹣10，c＝10（2）在数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C①记A、B两点间的距离为AB，则AB＝16，AC＝36；②点P为该数轴的动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP＝x+26，PC＝10﹣x；（3）在（1）（2）的条件下，若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M移动时间为t秒，当点N开始运动后，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离．【分析】（1）根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题；（2）①根据数轴上两点的距离公式：AB＝xB﹣xA，可得AB和AC的长；②同理可以表示AP和PC的长；（3）先计算t的取值，因为点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，且AC＝36，所以需要36秒完成，又因为当点M运动到B点时，即16秒后，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，所以点N还需要运动24秒，所以一共需要40秒，再分别计算M、N两次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示MN的长．【解答】解：（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足（a+26）2+|b+c|＝0，∴c＝10，a+26＝0，b+c＝0，∴a＝﹣26，b＝﹣10，c＝10，故答案为：﹣26，﹣10，10；（2）①∵数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，∴点A表示的数是﹣26，点B表示的数是﹣10，点C表示的数是10，所画的数轴如图1所示；∴AB＝﹣10+26＝16，AC＝10﹣（﹣26）＝36；故答案为：16，36；②∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x，∴AP＝x+26，PC＝10﹣x；故答案为：x+26，10﹣x；（3）点N运动的总时间为：2（36÷3）＝12×2＝24，24+16＝40，设t秒时，M、N第一次相遇，3（t﹣16）＝t，t＝24，分五种情况：①当16＜t≤24时，如图3，M在N的右侧，此时MN＝t﹣3（t﹣16）＝﹣2t+48，②当24＜t≤28时，如图7，M在N的左侧，此时MN＝3（t﹣16）﹣t＝2t﹣48，③M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：t+3（t﹣16）＝36×2，t＝30，当28＜t≤30时，如图4，点M在N的左侧，此时MN＝36×2﹣t﹣3（t﹣16）＝﹣4t+120，④当30＜t≤36时，如图5，点M在N的右侧，此时MN＝3（t﹣16）﹣36﹣（36﹣t）＝4t﹣120，⑤当36＜t≤40时，如图6，点M在点C处，此时MN＝3（t﹣16）﹣36＝3t﹣84，【点评】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型．38．（2022秋•夷陵区期中）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为2，求阴影部分的面积．【分析】如图所示，S阴影＝S梯形FECD+S△BCD﹣S△BEF，由此代入字母和数据数据即可求解．【解答】解：S阴影＝S梯形FECD+S△BCD﹣S△BEF，＝（a+2）×2+×a×a﹣（a+2）×2＝a2．【点评】此题考查列代数式，解答此题的关键是弄清楚，阴影部分的面积可以由哪些图形的面积差或和求得．九．代数式求值（共14小题）39．（2022秋•裕安区校级期中）若多项式2x2+3x+2的值为5，则多项式6x2+9x﹣1的值为8．【分析】将2x2+3x+2＝5化简得：2x2+3x＝3，则等式两边同乘3得：6x2+9x＝9，再代入6x2+9x﹣1即得答案．【解答】解：∵2x2+3x+2＝5，∴2x2+3x＝3，∴6x2+9x＝9，∴6x2+9x﹣1＝9﹣1＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了代数式求值，关键在于学生要认真读题再代数求解．40．（2022秋•黔西南州期中）已知x+2y＝7，4m﹣3n＝8，则代数式（9n﹣4y）﹣2（6m+x）+3的值为﹣35．【分析】代数式（9n﹣4y）﹣2（6m+x）+3＝9n﹣4y﹣12m﹣2x+3＝﹣3（4m﹣3n）﹣2（x+2y）+3，将x+2y＝7，4m﹣3n＝8整体代入即可求出所求的结果．【解答】解：（9n﹣4y）﹣2（6m+x）+3＝9n﹣4y﹣12m﹣2x+3＝﹣3（4m﹣3n）﹣2（x+2y）+3，将x+2y＝7，4m﹣3n＝8代入，﹣3（4m﹣3n）﹣2（x+2y）+3＝﹣24﹣14+3＝﹣35．【点评】本题考查了代数式求值的方法，还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力，题目有一定难度．41．（2022秋•内乡县期中）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z）•（﹣4★z）的值为9．【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：当z＝﹣3时，原式＝【﹣2★（﹣3）】×【﹣4★（﹣3）】＝3×3＝9，故答案为：9．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．42．（2022秋•让胡路区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的值．【分析】根据题意，找出其中的等量关系a+b＝0cd＝1|m|＝2，然后根据这些等式来解答即可．【解答】解：根据题意，知a+b＝0①cd＝1②|m|＝2，即m＝±2把①②代入原式，得原式＝0+4m﹣3×1＝4m﹣3（1）当m＝2时，原式＝2×4﹣3＝5；（2）当m＝﹣2时，原式＝﹣2×4﹣3＝﹣11．所以，原式的值是5或﹣11．【点评】主要考查倒数、相反数和绝对值的概念及性质．注意分类讨论思想的应用．43．（2022秋•南票区期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元，“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示）（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；（3）根据题意考可以得到先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉更合算．【解答】解：（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元），（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；（2）当x＝30时，方案一：200×30+6000＝12000（元），方案二：180×30+7200＝12600（元），所以，按方案一购买较合算．（3）先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，共10×800+200×20×90%＝11600（元）．【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．44．（2022秋•鲤城区校级期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．请你根据以上材料解答以下问题：（1）若x2﹣3x＝2，x2﹣x﹣1的值为0；（2）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值；（3）当x＝2022时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣2022时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值（用含m的式子表示）．【分析】（1）化简整理代数式，整体代入求值；（2）把x＝1代入代数式，化简整理，再把x＝﹣1代入代数式，化简整理，整体代入求值；（3）把x＝2022代入代数式，化简整理，再把x＝﹣2022代入代数式，化简整理，整体代入求值．【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝2，∴x2﹣x﹣1＝（x2﹣3x）﹣1＝×2﹣1＝1﹣1＝0，故答案为：0；（2）∵x＝1，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为：﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3，∴当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为﹣3；（3）∵x＝2022时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，∴ax5+bx3+cx﹣5＝m，设A＝ax5+bx3+cx＝m+5，∴当x＝﹣2022时，代入代数式就是﹣A﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣10，∴当x＝﹣2022时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为﹣m﹣10．【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入法求值．45．（2022秋•鲤城区校级期中）如图是某窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为a米．（1）求窗户的面积；（2）求窗框材料的总长；（3）若a＝1，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米30元，窗框每米20元，窗户的厚度不计，求制作这种窗户需要费用是多少？（π取3.14，结果精确到个位）【分析】（1）窗户的面积为4个小正方形面积加半圆的面积；（2）窗框材料的总长为半圆弧长加大正方形6个边长；（3）由（1）得窗户的面积，由（2）得窗框长，代入数据，各自乘以单价，相加得总费用．【解答】解：（1）窗户的面积为：πa2+2a×2a＝（a2+4a2）平方米；（2）窗框材料的总长为：×2πa+6×2a＝（πa+12a）米；（3）a＝1，窗户上安装的玻璃费用为：（×12+4×12）×30＝（+4）×30＝167.1（元），窗框的费用为：（πa+12a）×20＝（3.14×1+12×1）×20＝302.8（元），∴总费用为：167.1+302.8＝469.9≈470（元），答：制作这种窗户需要费用470元．【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确代数式．46．（2022秋•南安市期中）有一长为20米的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图所示的园子，园子的宽为x米，园子开了一扇门，门的宽度为1米．（1）用关于x的代数式表示园子的面积；（2）当x＝5时，求园子的面积．【分析】（1）根据题意和图形可以用代数式表示出园子的面积；（2）将x＝5代入（1）中的代数式即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，园子的面积为：（20﹣2x+1）x＝（21﹣2x）x＝（﹣2x2+21x）m2；（2）当x＝5时，﹣2x2+21x＝﹣2×52+21×5＝﹣2×25+105＝﹣50+105＝55m2，答：园子的面积是55m2．【点评】本题考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值．47．（2022秋•皇姑区校级期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是630，S2﹣S1的值为﹣63．（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S2﹣S1的值；（3）若AB长度为定值，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而S2﹣S1的值总保持不变，则a、b满足的关系是a＝4b．【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出S1和S2的面积，相减即可；（2）用含a、b的式子表示出S1和S2的面积，即可求得结论；（3）用含a、b、AD的式子表示出S2﹣S1，根据S2﹣S1的值总保持不变，即与AD的值无关，整理后，依据AD的系数为0即可得到结果．【解答】解：（1）长方形ABCD的面积为30×（4×3+9）＝630；S2﹣S1＝（30﹣3×3）×9﹣（30﹣9）×4×3＝﹣63；故答案为：630；﹣63；（2）∵S1＝（40﹣a）×4b，S2＝（40﹣3b）×a，∴S2﹣S1＝a（40﹣3b）﹣4b（40﹣a）＝40a﹣160b+ab；（3）∵S2﹣S1＝a（AD﹣3b）﹣4b（AD﹣a），整理，得：S2﹣S1＝（a﹣4b）AD+ab，∵若AB长度不变，AD变长，而S2﹣S1的值总保持不变，∴a﹣4b＝0，即a＝4b．即a，b满足的关系是a＝4b．【点评】此题考查了整式的加减以及代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．整式加减的应用时：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．48．（2022秋•新会区校级期中）小明房间窗户的装饰物如图所示，它们由两个四分之一圆组成（半径相同）．（1）请用代数式表示装饰物的面积（结果保留π）；（2）请用代数式表示窗户能射进阳光部分面积（结果保留π）；（3）若a＝1，b＝，请求出窗户能射进阳光的面积的值（取π＝3）【分析】（1）由于装饰物为两个圆心角为90度的扇形，所以可利用圆的面积公式表示它的面积；（2）用矩形的面积减去装饰物的面积；（3）把a、b的值代入（2）中的代数式值进行计算即可．【解答】解：（1）装饰物的面积＝•π•（b）2＝πb2；（2）窗户能射进阳光部分面积＝ab﹣πb2；（3）a＝1，b＝，ab﹣πb2＝1×﹣×3×（）2＝．所以窗户能射进阳光的面积为．【点评】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．49．（2022秋•湖口县期中）新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：（1）每本书的高度为0.5cm，课桌的高度为85cm；（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（85+0.5x）cm（用含x的代数式表示）；（3）桌面上有55本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有18名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离．【分析】（1）让高摞书距离地面的距离减去低摞书距离地面的距离后除以3即为每本数的高度；让低摞书的高度减去3本书的高度即为课桌的高度；（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；（3）把x＝55﹣18代入（2）得到的代数式求值即可．【解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；课桌的高度为：86.5﹣3×0.5＝85cm．故答案为：0.5；85；（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，∴高出地面的距离为85+0.5x（cm）．故答案为：（85+0.5x）cm；（3）当x＝55﹣18＝37时，85+0.5x＝103.5cm．故余下的数学课本高出地面的距离是103.5cm．【点评】考查列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点，也是解题的关键．50．（2022秋•泗水县期中）如图所示，池塘边有块长为20m，宽为10m的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是xm的小路，中间余下的长方形部分做菜地，用含x的式子表示：（1）菜地的长a＝（20﹣2x）m，菜地的宽b＝（10﹣x）m；菜地的周长C＝（60﹣6x）m；（2）求当x＝1m时，菜地的周长C．【分析】（1）根据图形中的数据求出菜地的长、宽、周长即可；（2）把x＝1代入求出即可．【解答】解：（1）菜地的长a＝（20﹣2x）m，菜地的宽b＝（10﹣x）m，菜地的周长为2（20﹣2x+10﹣x）＝（60﹣6x）m，故答案为：（20﹣2x），（10﹣x），（60﹣6x）；（2）当x＝1时，菜地的周长C＝60﹣6×1＝54（m）．【点评】本题考查了求代数式的值和列代数式，能够正确列出代数式是解此题的关键．51．（2022秋•九龙坡区校级期中）已知|ab﹣2|与|a﹣1|互为相互数，试求下式的值：+++…+．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式并裂项解答即可．【解答】解：∵|ab﹣2|与|a﹣1|互为相互数，∴|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，∴ab﹣2＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝2，因此，原式＝+++…+，＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，＝1﹣，＝．【点评】本题考查了代数式求值，绝对值非负数的性质，难点再利用裂项．52．（2022秋•庄浪县期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案①购买，需付款（40x+3200）元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款（3600+36x）元（用含x的代数式表示）；（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？【分析】（1）方案①需付费为：西装总价钱+20条以外的领带的价钱，方案②需付费为：西装和领带的总价钱×90%；（2）把x＝30代入（1）中的两个式子算出结果，比较即可．【解答】解：（1）方案①需付费为：200×20+（x﹣20）×40＝（40x+3200）元；方案②需付费为：（200×20+40x）×0.9＝（3600+36x）元；（2）当x＝30元时，方案①需付款为：40x+3200＝40×30+3200＝4400元，方案②需付款为：3600+36x＝3600+36×30＝4680元，∵4400＜4680，∴选择方案①购买较为合算．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．一十．多项式（共2小题）53．（2022秋•新郑市期中）已知多项式xm+1y2+2xy2﹣4x3+1是六次四项式，单项式26x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同，求（﹣m）3+2n的值．【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出关于m与n的等式进而得出答案．【解答】解：由于多项式是六次四项式，所以m+1+2＝6，解得：m＝3，单项式26x2ny5﹣m应为26x2ny2，由题意可知：2n+2＝6，解得：n＝2，所以（﹣m）3+