福建省厦门市外国语学校海沧附属学校高三数学文测试题含解析

福建省厦门市外国语学校海沧附属学校高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平行向量与共线向量．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选：B．2.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数z可取（

）A.2 B.－1 C.i D.参考答案：B【分析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值.【详解】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选：B.3.设满足约条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（

）A. B. C. D.4

参考答案：A略4.已知sin（）=则cos（x）等于(

) A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：D考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后即可求值．解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．5.已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(

)

(A)锐角三角形

(B)钝角三角形

(C)直角三角形

(D)答案不确定参考答案：C设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为，化得2x-(s+t)y+2st=0．

由于直线BC过点(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)=-4．

因此，.

所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．6.设向量，，给出下列四个结论：①；②；③与垂直；④，其中真命题的序号是

(

)A.①

B.③

C.①④

D.②③参考答案：B7.已知，有解，，，则下列选项中是假命题的为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：复合命题的真假8.设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B． C． D．2参考答案：A【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．9.设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y＝x＋的图象上，则a2014＝（

）A．2014

B．2013

C．1012

D．1011参考答案：A试题分析：点（n，）（n∈N*）均在函数y＝x＋的图象上，所以，即，考点：数列与函数的综合运用，以及等差数列的通项公式和等差关系的确定10.设变量x、y满足约束条件，则目标函数的取值范围为

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足则z=3x+y的最大值为．参考答案：48【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件实数x，y满足可行域如下图中阴影部分所示：则z=3x+y，经过A时，目标函数取得最大值，由，解得A（14，6）∴ZA=42+6=48，故Z=3x+y的最大值是48，故答案为：48．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．12.已知

.参考答案：

13.若f（x）=xa是幂函数，且满足=3，则f（）=．参考答案：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：14.函数是定义在R上以3为周期的奇函数,若,.则实数a的取值范围是________________.参考答案：15.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于______．参考答案：－1略16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．参考答案：20π17.已知两条直线，互相垂直，则m=__________.参考答案：12三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底边BC上的一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1﹣ABED，且C1A=AB．（1）求证：C1A⊥平面ABED；（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）设AD=AB==1，利用勾股定理的逆定理可以判断C1A⊥AD，C1A⊥AE；（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，明确平面的法向量的坐标和的坐标，利用直线与平面的法向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．【解答】解：（1）设AD=AB==1，则C1A=1，C1D=，∴，∴C1A⊥AD，…又∵BE=，C1E=∴AE2=AB2+BE2=∴∴C1A⊥AE…又AD∩AE=E∴C1A⊥平面ABED；…（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，…则B（1，0，0），C1（0，0，1），E（1，，0），D（0，1，0），∵M是C1E的中点，∴M（），∴=（），…设平面C1DE的法向量为=（x，y，z），，由即，令y=2，得=（1，2，2）…设直线BM与平面C1DE所成角为θ，则sinθ=||=∴直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．19.二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成点（﹣2，4），求矩阵M2．参考答案：解：设，则由，得，即a+b=8，c+d=8．由，得，从而﹣a+2b=﹣2，﹣c+2d=4．由a+b=8，﹣a+2b=﹣2，c+d=8，﹣c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4∴，．略20.已知椭圆的焦点坐标为（-1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.参考答案：解：(Ⅰ)设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1

………………1分

由PQ|=3，可得=3，

……………2分解得a=2，b=，

………………３分故椭圆方程为=1

……………4分(Ⅱ)设M，N,不妨>0,<0,设△MN的内切圆的径R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，

………6分，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，

由题意显然成立

………８分得，，则（）==，

……………9分令t=,则t≥1,则,

………10分令f（t）=3t+，则f′(t)=3-，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4,≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3,=4R，∴=，

………11分这时所求内切圆面积的最大值为π.故存在直线l:x=1，使△AMN内切圆面积的最大值为π……12分21.已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．（1）求抛物线G的方程；（2）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|?|BD|为定值；（3）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．参考答案：（1）x2＝4y；（2）详见解析；（3）2.【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求P；（2）设直线AB方y＝kx+1，与抛物线联立消去，结合焦半径公式化简从而得到定值；（3）欲求面积之和的最小值，利用直线AB的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题．【详解】（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1＝0，故1所以抛物线C的方程为x2＝4y．（2）当直线AB的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故直线AB的斜率一定存在，设直线AB方y＝kx+1交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1，所以|AC|＝y1，|BD|＝y2，由得x2﹣4kx﹣4＝0，显然△＞0，则x1+x2＝4k，x1?x2＝﹣4，所以y1?y21，所以|AC|?|BD|为定值1．（3）由x2＝4y，yx2，x，得直线AM方程yx1（x﹣x1）（1），直线BM方程yx2（x﹣x2）（2），由（2）﹣（1）得（x1﹣x2）x，所以x（x1+x2）＝2k，∴y＝﹣1所以点M坐标为（2k，﹣1），点M到直线AB距离d2，弦AB长为|AB|4（1+k2），△ACM与△BDM面积之和，S（|AB|﹣2）?d（2+4k2）×22（1+2k2），当k＝0时，即AB方程为y＝1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．【点睛】本题主要考查直